Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения Чувашской Республики

 «Чебоксарский медицинский колледж»

Министерства здравоохранения Чувашской Республики в городе Канаш

Методическая разработка теоретического занятия

событие, вероятность события. сложение и умножение вероятностей.

учебная дисциплина БД. 04 Математика

специальность 34.02.01Сестринское дело

(базовая  подготовка)

Канаш, 2021

Аннотация

            Данная методическая разработка по теме «Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей.» является уроком изучения нового материала. Урок построен так, чтобы обучающиеся, опираясь на ранее полученные знания, могли вывести формулы сами. Материал урока направлен на  решение элементарные комбинаторные задачи, связанные с составлением различный соединений из имеющихся элементов.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 3

1. МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК.. 4

1.1. Учебно-методическая карта. 4

1.2. Технологическая карта. 8

2.ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК 10

2.1. План лекции. 10

2.2.Теоретическая часть. 11

2.3. Глоссарий. 18

3. КОНТРОЛИРУЮЩИЙ БЛОК.. 19

ВВЕДЕНИЕ

        Данная методическая разработка по теме «Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей» является уроком изучения нового материала. Урок построен так, чтобы обучающиеся, опираясь на ранее полученные знания, могли вывести формулы сами. Материал урока направлен на развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей обучающихся. Структура урока: постановка цели и задач урока; повторение умений и навыков, являющихся опорой для восприятия новой темы; проведение проверочных упражнений (устная работа); Упражнения на закрепление данного алгоритма;  тренировочные упражнения по образу и подобию в виде самостоятельной работы; самоконтроль обучающихся.
         Создание проблемных ситуаций на уроках математики повышает интерес к предмету, вносит разнообразие и эмоциональную окраску в учебную работу, снимает утомление, развивает внимание, сообразительность.

1. МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК

1.1. Учебно-методическая карта

1.2. Технологическая карта

Структура комбинированного урока

2. информационный блок

2.1. План лекции

2.2. Теоретическая часть.

       Проверка домашнего задания
Провести фронтальный опрос в виде ответов на вопросы:

1. Что такое комбинаторика?
2. Какие задачи называются комбинаторными?
3. Назовите основные понятия комбинаторики.
4. Что такое размещения, перестановки, сочетания?
5. Что называется выборкой объема k? Какие выборки считают различными?
6. Дайте определение символа n!.
7. Какие формулы существуют для нахождения числа размещений, числа перестановок, числа сочетаний?
8. Какими свойствами обладают числа ?

Проверить решение упражнений:

1. Вычислить:  
2. Найти число размещений из 10 элементов по 4.
3. Решить уравнение: 
4. Решить задачу:
• Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
• Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
• 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

             Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

- события, испытания, вероятность, случайное событие, невозможного и достоверного события;

- понятие классической вероятности события;

- поиск вероятности случайного события, пользуясь определением классической вероятности;

- поиск вероятности суммы событий.

          Пространство элементарных событий Ω — множество всех различных исходов произвольного испытания.

Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.

Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.

Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.

Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.

Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Её ещё называют статистической вероятностью события.

Равновозможные события - такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.

Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.

Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

                  Теоретический материал. Рассмотрим пример:

В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти?

Варианты ответов:

1) вынутый предмет окажется клубком

2) вынутый предмет окажется красным клубком

3) вынутый предмет окажется зеленым клубком

4) вынутый предмет не окажется клубком

Ответ: первое и третье.

        Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей.

Определение: Испытанием называется осуществление определенных действий.

Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.

Любой результат испытания называется исходом.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…).

Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения.

1. Процесс доставания предмета из коробки является испытанием.
2. Результат доставания предмета из корзины является событием.
3. Событие «вынутый предмет окажется клубком» является достоверным событием.
4. События «вынутый предмет не окажется клубком» или «вынутый предмет окажется красным клубком» являются невозможными событиями.
5. Событие «вынутый предмет окажется зеленым клубком» является вероятным событием.

А={вынутый предмет оказался клубком}.

В={вынутый предмет не оказался клубком.

С={вынутый предмет оказался зеленым клубком}.

D ={вынутый предмет оказался красным клубком}.

2. Определим еще несколько важных понятий теории вероятностей

Определение: Пространство элементарных событий Ω— множество всех различных исходов произвольного испытания.

Например, при броске одной игральной кости пространство элементарных событий Ω= {w ₁, w ₂, w ₃, w ₄, w ₅, w₆}, где w_i- выпадение i очков.

Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.

Например, при бросании монеты не могут одновременно выпасть «Орёл» и «Решка».

Простейшим примером несовместных событий  является пара противоположных событий.

Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.

Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху.

Например:

• A – сдал экзамен по математике;
• Ᾱ – не сдал экзамен по математике.

Определение.

Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.

      Пример .

Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий.

Элементарными событиями являются:

- Выпало два «орла»

- Выпало две «решки»

- Выпал один «орел» и одна «рещка».

3. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит.

Определение: Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.

Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.

Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события.

Статистическая вероятность события рассчитывается опытным путем.

      Пример.

Еще со времен Древнего Китая за 2238 лет до нашей эры на основании метрик демографы обнаружили, что на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков.

Это означает, что Вероятность рождения мальчика составляет 0,514.

1. Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий.

К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.

Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны.

Рассмотрим произвольный эксперимент.

Пусть n- число всех исходов эксперимента, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется число 

Согласно определению вероятности наименьшее значение вероятности принимает невозможное событие, так как оно не может наступить и для него m=0, значит и вероятность равна 0.

Наибольшее значение принимает достоверное событие. В силу того, что оно гарантированно произойдет, для него m=n, Р=m/n=n/n=1.

2 .Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.

Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

Например:

1. Пусть А - идет дождь, B - идет снег, тогда А + В – «идет снег или дождь»
2. При 3-х выстрелах по мишени события: А₀ – «попаданий нет», А₁ – «одно попадание», А₂ – «два попадания», тогда А=А₀+А₁+А₂ - «произошло не больше двух попаданий»
3. Пусть С - из урны вынули белый шар, D - из урны вынули белый шар, тогда C⋅D - из урны вынули два белых шара
4. Пусть С - из урны вынули белый шар, D - из урны вынули белый шар, тогда C⋅- из урны вынули два  шара: белый и не белый

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

         Известна история о том, как однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении насущного вопроса: какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?

Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3;

10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.

Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различными способами (по 6 способов для первого, второго, пятого вариантов суммы, по 3 способа для третьего и четвертого вариантов, 1 способ для последнего варианта 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различными способами (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся друг к другу как 25:27, что и вызвало затруднения солдата.

Таким образом, чаще выпадает сумма 10.

Пример 2. 

      В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем таких игра был француз шевалье де Мере. Страстного игрока в кости, придворного французского короля шевалье де Мере можно отнести к числу «основателей» теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Он хотел разбогатеть при помощи игры в кости. Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль. В 1654 г. шевалье де Мере обратился к Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем, связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей.

Одна из задач была поставлена следующим образом: Игральная кость бросается четыре раза. Шевалье бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для шевалье? Ответ округлите до десятых.

Решение:

Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет  6 · 6 · 6 · 6 = 1296.

Среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не выпадет ни разу.

В 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, что чуть больше 0,5.

               Определение: Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.
 – вероятность случайного события
1)Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е.   0≤P(A)≤1
2)Невозможному событию соответствует вероятность P(A)=0, а достоверному – вероятность P(A)=1

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий,  безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Для трех совместных событий имеет место формула:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

            Событие, противоположное событию A (т.е. не наступление события A), обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P()=1

Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при условии B и обозначается (A) или P(A/B).
Если A и B – независимые события, то
P(B)-(B)=(B).

            События A,B,C,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или не наступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

         Теорема умножения вероятностей независимых событий.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB)=P(A)•P(B)

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:
P()=P()•P()… P().

              Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
P(AB)=P(A)• (B)=P(B)•(A)

            Применение знаний при решении типовых задач
     Задача 1: В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение: Событие A-билет выигрышный. Общее число различных исходов есть n=1000
Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)=, получим P(A)==  = 0,2

   Задача 2: Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Решение: Событие A-появление черного шара. Общее число случаев n=5+3=8
Число случаев m, благоприятствующих появлению события A, равно 3
P(A)=  =  = 0,375

    Задача 3: Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
            Решение: Событие A- появление двух черных шаров. Общее число   возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12+8) по 2
n==  = 190
Число случаев m, благоприятствующих событию A, составляет
n==  = 28

P(A)=  =  =  = 0,147

         Задача 4: в ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

         Задача 5: найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно

          Задача 6: В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение: пусть A - появление белого шара из первой урны, а B – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события A и B независимы. Найдем P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, получим
P(AB)=P(A)•P(B)= (1/3)•(1/4)=1/12=0,083

            Задача 7: в ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение: введём следующие обозначения: A – первая взятая деталь стандартная; B – вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет P(A)=8/12=2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события B, равна (B)=7/11.
Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:
P(AB)=P(A)•(B)=(2/3)•(7/11)=14/33=0,424

4. Решение задач упражнения 1115,1134 и 1145 (не четные).

5. Домашнее задание. Решение 1115,1134 и 1145 – четные пункты.

2.3. Глоссарий

4.      Контролирующий блок

Вариант 1:

Задача 1.Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.

Задача 2: Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.

Задача 3.

Из города М. в город Р. ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,64. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,46. Найдите вероятность того, что в этот день пассажиров будет от 10 до 14.

Вариант 2:

Задача 1. Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит.

Задача 2. В гостинице стоят два кулера. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого кулера. Определите вероятность того, что хотя бы один из этих кулеров исправен.

Задача 3.

На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Механика», равна 0,25. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Электричество», равна 0,3. Вопросов, которые относились бы сразу к двум темам, нет. Найдите вероятность того, что студенту попадётся вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Вариант 1:

Задача 1.Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.

Решение

Вероятность того, что аккумулятор заряжён, равна 1-0,15 = 0,85.1−0,15=0,85. Найдём вероятность события «оба аккумулятора заряжены». Обозначим через A и B события «первый аккумулятор заряжён» и «второй аккумулятор заряжён». Получили P(A) = P(B) = 0,85.P(A)=P(B)=0,85. Событие «оба аккумулятора заряжены» — это пересечение событий A \cap B,A∩B, его вероятность равна P(A \cap B) =P(A∩B)= P(A)\cdot P(B) =P(A)⋅P(B)= 0,85\cdot 0,85 =0,85⋅0,85= 0,7225.0,7225.

Ответ

0,7225

Условие

Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.

Решение

Вероятность того, что ручка исправная, равна 1-0,05 = 0,95.1−0,05=0,95. Найдём вероятность события «обе ручки исправны». Обозначим через A и B события «первая ручка исправна» и «вторая ручка исправна». Получили P(A) = P(B) = 0,95.P(A)=P(B)=0,95. Событие «обе ручки исправны» — это пересечение событий A\cap B,A∩B, его вероятность равна P(A\cap B) =P(A∩B)= P(A)\cdot P(B) =P(A)⋅P(B)= 0,95\cdot 0,95 =0,95⋅0,95= 0,9025.0,9025.

Ответ

0 Условие

Стоянка освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Найдите вероятность того, что за год хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение

Сначала найдём вероятность события «обе лампы перегорели в течение года», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первая лампа перегорела в течение года» и «вторая лампа перегорела в течение года». По условию P(A) = P(B) = 0,4.P(A)=P(B)=0,4. Событие «обе лампы перегорели в течение года» — это A \cap B,A∩B, его вероятность равна P(A \cap B) =P(A∩B)= P(A) \cdot P(B) =P(A)⋅P(B)= 0,4 \cdot 0,4 =0,4⋅0,4= 0,160,16 (так как события A и B независимы).

Искомая вероятность равна 1 - P(A \cap B) =1−P(A∩B)= 1 - 0,16 =1−0,16= 0,84.0,84.

Ответ

0,84,9025

Условие

В гостинице стоят два кулера. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого кулера. Определите вероятность того, что хотя бы один из этих кулеров исправен.

Решение

Сначала найдём вероятность события «оба кулера неисправны», противоположного событию из условия задачи. Обозначим через A и B события «первый кулер неисправен» и «второй кулер неисправен». По условию P(A) = P(B) = 0,2.P(A)=P(B)=0,2. Событие «оба кулера неисправны» — это A \cap BA∩B, пересечение событий A и B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04P(A∩B)=P(A)⋅P(B)=0,2⋅0,2=0,04 (так как события A и B независимы). Искомая вероятность равна 1-P(A \cap B)=1-0,04=0,96.1−P(A∩B)=1−0,04=0,96.

Ответ

0,96

Условие

На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Механика», равна 0,25. Вероятность того, что этот вопрос на тему «Электричество», равна 0,3. Вопросов, которые относились бы сразу к двум темам, нет. Найдите вероятность того, что студенту попадётся вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

Пусть событие A означает, что студенту достался вопрос по теме «Механика», событие B — вопрос по теме «Электричество». По условию P(A) = 0,25,P(A)=0,25, P(B) = 0,3,P(B)=0,3, также по условию события A и B несовместны. Искомая вероятность события «студенту попадётся вопрос по одной из этих двух тем» равна

P(A\cup B) = P(A) + P(B) = 0,25 + 0,3 = 0,55.P(A∪B)=P(A)+P(B)=0,25+0,3=0,55.

Ответ

0,55

Условие

Из города М. в город Р. ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,64. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,46. Найдите вероятность того, что в этот день пассажиров будет от 10 до 14.

Решение

Обозначим через A событие «в автобусе окажется меньше 10 пассажиров» и через B событие «число пассажиров будет от 10 до 14». Они несовместны, и их объединением является событие «в автобусе окажется меньше 15 пассажиров», поэтому сумма вероятностей событий A и B равна вероятности события A\cup B,A∪B, то есть P(A\cup B) = P(A)+P(B).P(A∪B)=P(A)+P(B). Искомая вероятность равна P(B) = 0,64-0,46 = 0,18.P(B)=0,64−0,46=0,18.

Ответ

0,18

Скачано с www.znanio.ru