Спецкурс по математике "Практико-ориентированные задачи" (8-9 класс)

- 1 - «Практико­ориентированные задачи» Спецкурс по математике для 8­9  классов Аннотация к спецкурсу «Практико­ориентированные задачи» Составители:  учитель математики Есикова Любовь Игоревна,  учитель физики Ушакова  Маргарита Борисовна, МБОУ СОШ № 11  нп. Раякоски, Мурманская область Разработанный нами спецкурс по математике для 8­9 классов  позволяет формировать у  I. Статистические характеристики Статистика – наука, которая занимается получением, обработкой и анализом  количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и  обществе. Слово «статистика» происходит от латинского слова status, которое означает  «состояние, положение вещей». Статистика изучает численность отдельных групп  населения страны и ее регионов, производство и потребление разнообразных видов - 2 - продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные  ресурсы и многое другое. Результаты статистических исследований широко используются  для практических и научных выводов. 1. Среднее арифметическое Среднее арифметическое ряда чисел – это сумма данных чисел, поделенная на  количество слагаемых. Среднее арифметическое ряда чисел ( хср ) – это частное от деления суммы этих  чисел ( х1 + х2 +…+ хn ) на их количество (n). Или, хср =( х1 + х2 + х3 +…+ хn¿ : n Среднее арифметическое называют средним значением числового ряда. Пример 1. На рынке помидоры реализуются 7 продавцами, причем цены за 1 кг распределены  следующим образом (в руб.): 60, 55, 54, 70, 65, 67, 63. Какова средняя цена помидоров на  рынке? Решение: семь продавцов предлагают семь цен, значит, n=7.   х1 =60;    х2 =55; …;  хn =63.   Теперь можем приступить к расчету средней цены хср =( х1 +   х2 +…+   хn ):n=(60+55+54+70+65+67+63):7=434:7=62 (рубля) Ответ: 62 рубля. Пример 2. В городе пять школ. В таблице приведен средний балл, полученный выпускниками каждой  из этих школ за экзамен по математике. Найдите средний балл выпускного экзамена по  математике по всему городу? Решение: - 3 - чтобы найти средний балл выпускного экзамена по математике по всему городу, нужно  сложить баллы всех выпускников и поделить на общее количество выпускников. 1. Общее количество выпускников равно60+70+30+50+70=280 2. Умножим количество учеников в школе на средний балл по школе,  получим сумму  баллов в каждой школе.  Сложим все такие произведения.  Полученная  сумма всех баллов  по городу равна 60∙ 60+70∙ 54+30∙ 68+50∙ 72+70 ∙54=3600+3780+2040+3600+3780 = 16800 3. Средний балл по городу равен 16800:280=60Ответ: 60. 2. Размах ряда Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. размах ряда =  хmax −  хmin Пример 1. Посчитать размах цен на чёрный хлеб в магазинах города. «Хлебушко"      Супермаркет "Солнышко"  "Свежая выпечка"  "Сдоба"   "Покупка в пять минут"    14 руб.50 к. 14 руб. 15 руб. 14 руб.80 к. 14 руб.10 к. Решение:  1)Самая высокая цена ­ 15 рублей в магазине "Свежая выпечка", самая низкая ­ в  супермаркете "Солнышко"­ 14 рублей.  2)Найдём разность этих значений: 15­14=1 (руб.)  Ответ: размах цен на чёрный хлеб­1 рубль. 3. Мода ряда Мода ряда чисел – это число, которое встречается в данном ряду чаще других. Ряд может иметь две моды, а может не иметь ни одной моды. - 4 - Пример 1. Во время выборов подсчитывают число голосов, отданных за ту или  иную партию, за того или иного кандидата. В таблице представлены данные о  результатах выборов пяти партий, условно обозначенных буквами А, Б, В, Г и Д. Указать моду этого распределения.   Название партии     А     Б     В     Г     Д     Итого     Число полученных голосов     Процент (%)   7515 14028 3507 17034 8016 50100 15 28 7 34 16 100 Решение: модой в этом наборе данных будет партия Г, она набрала больше всех голосов. Ответ: Г 4. Медиана ряда В упорядоченном ряде чисел: Медиана нечетного количества чисел – это число, записанное посередине. Пример: В ряде чисел 2, 5, 9, 15, 21 медианой является число 9, находящееся посередине. Медиана четного количества чисел – это среднее арифметическое двух чисел,  находящихся посередине. Пример: Найти медиану чисел 4, 5, 7, 11, 13, 19. Решение: Здесь четное количество чисел (6). Поэтому ищем не одно, а два числа,  записанных посередине. Это числа 7 и 11. Находим среднее арифметическое этих чисел:(7  + 11) : 2 = 9. Число 9 и является медианой данного ряда чисел. В неупорядоченном ряде чисел: Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего  упорядоченного ряда. Запишем алгоритм нахождения медианы набора чисел: 1. Упорядочить числовой набор. 2. Одновременно зачеркиваем “самое большое” и “самое маленькое” числа данного  набора чисел до тех пор, пока не останется одно число или два числа. 3. Если осталось одно число, то оно и есть медиана. - 5 - 4. Если осталось два числа, то медианой будет среднее арифметическое двух  оставшихся чисел.  . В небольшой фирме 10 сотрудников: 7 рабочих, мастер, бухгалтер, директор.  Задача 1   Зарплата у рабочих: 2000, у мастера 4000, у бухгалтера 16000, у директора 40000.  Найдите, чему будет равна средняя зарплата на этом предприятии? Достаточно ли этой  характеристики работнику, который устраивается работать рабочим?   Решение: Но достаточно ли этой характеристики работнику, который устраивается работать  рабочим?  Недостаточно, в  этом случае используют другую статистическую  характеристику – медиану. Медиана этого ряда – 2000, то есть наиболее вероятная  зарплата работника фирмы не 7400 руб, а 2000 руб. Задача 2. В таблице приведена информация о длине основных рек, протекающих по  территории округа Домодедово Московской области. Река Пахра Рожайка Битца Гнилуша Северка Конопелька а) Найдите среднюю длину рек (среднее арифметическое); Длина, км 900 51 24 31 98 13 б) Найдите медиану данных; в) По вашему мнению, какая из этих характеристик – среднее арифметическое или медиана – лучше описывает длину рек, протекающих в Домодедовском районе? Ответ объясните. Ответ: а) 186 км, б) 41 км, в) медиана, т.к. данные содержат значения сильно отличающиеся от всех прочих. Задача 3. В таблице представлено распределение личного состава подразделения по приведенным  воинским званиям. Найти медиану приведенной совокупности.   Звание     Число военнослужащих     Рядовой     Ефрейтор     25     18 - 6 -   Младший сержант     Сержант     Старший сержант     7     5     2   Решение.  Объем совокупности равен 57. Этот набор данных является порядковым, так  как для военнослужащих существует естественный порядок ­ старшинство воинского  звания. Медианой будет среднее значение ­ 29­е. В подразделении 25 рядовых, поэтому  медиана будет находиться за пределами этого звания. Рядовых и ефрейторов в  подразделении 25 + 18 = 43. Таким образом, медиана находится между  военнослужащими с номерами 26 и 43, т. е. медианой этого подразделения является  "ефрейтор". Это означает, что около половины личного состава подразделения имеют  воинское звание ефрейтор и ниже его, и примерно половина ­ ефрейтор и выше этого  звания. Задачи для самостоятельного решения 1. На курсы английского языка в понедельник пришло 15 человек, во вторник — 10, в  среду — 12, в четверг — 11, в пятницу — 7, в субботу — 14, в воскресенье — 8. Найти  среднюю посещаемость курсов за неделю.       Ответ:  11 человек в день. 2. В организации вели ежедневный учет поступивших в течение месяца писем. В результате  получили такой ряд данных:39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40,39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32.Для полученного ряда данных найдите медиану.       Ответ: 38 3. Президент компании получает зарплату 300000 руб., три его заместителя получают по  150000 руб., сорок служащих – по 50000 руб. и зарплата уборщицы составляет 10000 руб.  Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат в компании. Какую из этих  характеристик выгоднее использовать президенту в рекламных целях? Ответ: 61333,33 (руб.);  50000 руб., в  рекламных целях выгоднее использовать среднее  арифметическое зарплат, т.к. это число больше. 4.В таблице показан примерный объем воды крупнейших озер и водохранилищ России. Водоем Ладожское озеро Онежское озеро Объем воды в куб. км 900 290 Озеро Байкал Рыбинское водохранилище Куйбышевское водохранилище Цимлянское водохранилище Саяно­Шушенское водохранилище Волгоградское водохранилище Красноярское водохранилище Братское водохранилище Вопросы: - 7 - 23000 30 60 20 30 30 60 170 а) Найдите средний объем воды в данных водоемах (среднее арифметическое); б) Найдите объем воды в среднем по величине водоеме (медиану данных); в) По вашему мнению, какая из этих характеристик – среднее арифметическое или медиана – лучше описывает объем типичного крупного водоема России? Ответ объясните. г) На сколько самый крупный водоем отличается от самого мелкого по объему (размах  ряда)? Ответ:а) 2459 куб. км; б) 60 куб. км; в) медиана, т.к. данные содержат значения сильно  отличающиеся от всех прочих; г) 22980куб. км. 5.В Мурманской области множество рек. Самые крупные реки перечислены в таблице,  указаны длина и площадь водного бассейна:  Река Варзуга Длина (км) 254 мбаУУ 123 Нива 36 Вор ньяоУ Пон йоУ 155 426 Кола 83 Тул маоУ Тер берка иУ 64 190 Площадь  бассейна  реки (км²) 9 840 6 250 12 800 9 940 15 500 3 850 6 250 2 227 а) найдите среднюю длину реки среднюю площадь бассейна(среднее арифметическое); б) найдите для каждого ряда данных  медиану; г) на сколько самый крупный водоем отличается от самого мелкого по длине и площади  бассейна (размах ряда)? Ответ: а) 166, 375км;  8 332, 125км² ; б) 139 км; 8045км²; в) 390 км; 13273 км². 5.Частота и относительная частота - 8 - Частота представляет собой число повторений, сколько раз за какой­то период  происходило некоторое событие, проявлялось определенное свойство объекта либо  наблюдаемый параметр достигал данной величины. То есть частота определяет то, как часто повторяется та или иная величина в выборке. Относительная частота – это отношение частоты к общему числу данных в ряду. Как  правило, относительная частота выражается в процентах. Пример 1.  В обувном магазине за день продали 30 пар мужской обуви следующих размеров: 39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 42, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 39, 41, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 44.  Решение: Проведем группировку по отдельным значениям признака, то есть по размеру  обуви  размер частота 38 2 39 4 40 4 41 7 42 6 42 4 44 3 относительная  частота 2:30≈ 0,067 4:30≈ 0,133 4:30≈ 0,133 7:30≈ 0,233 6:30≈ 0,2 4:30≈ 0,133 3:30≈ 0,1 Сумма 30 1(100%) 1.3. В таблице представлено распределение скоростей автомобилей на одном из участков  шоссе (км/час).  Интервалы Частота Пользуясь таблицей, составьте таблицу относительных частот с точностью до 1%. 85 − 93  7  77 − 85  23  61 − 69  5  69 − 77  13  93 −101 2 6.Графическое изображение данных Очень часто для наглядности данные представляются в виде диаграмм и графиков.  Остановимся на рассмотрении основных из них: 1. 2. 3. столбчатая диаграмма, круговая диаграмма, гистограмма, 4. полигон. - 9 - Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят продемонстрировать динамику  изменения данных во времени или распределения данных, полученных в результате  статистического исследования. Круговая диаграмма Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой выборки удобно  использовать круговые диаграммы. Задача  Фирма «Буренка и компания» производит молоко разной жирности. Объемы продаж за  месяц сведены в диаграмме. а) Определите наиболее популярный сорт молока. б) Какой процент проданного количества молока составляет полностью обезжиренное? в) Считая, что всего было продано 40 000 литров молока, составьте таблицу частот. г) Определите средний процент жирности потребляемого молока. Решение. - 10 - а) Наиболее популярный сорт молока 3,5 % жирности. б) Полностью обезжиренное молоко составляет 10 %. в) Составим таблицу частот, считая, что было продано 40 000 литров молока. Жирность молока, % 0,0 0,5 1,0 1,5 2,5 3,5 5,0 Относительная частота, % 10 5 5 15 20 30 15 Частота (всего 40 000 литров  молока) 4  000 2  000 2 000 6  000 8  000 12  000 6 000 г) Средний процент жирности потребляемого молока. (4000 ∙ 0 + 0,5 ∙ 2 000 + 2 000 ∙ 1,0 + 1,5∙ 6 000 + 2,5 ∙ 8 000 + 3,5 ∙ 12 000 + 5 ∙ 6 000) : 40 000 = 104 000 : 40 000 = 2,6 %. Пример 1. На диаграмме показано распределение расходов семьи во время отдыха на море.  Определите, на что семья потратила больше всего? Ответ: проживание.  В течении двух кварталов отмечалось посещение бассейна по месяцам: январь – 685  человек, февраль – 790 человек, март – 1005 человек, апрель – 1560 человек, май – 1000 человек, июнь – 2545.Составьте круговую диаграмму посещения бассейна по  - 11 - месяцам. Полигон Динамику изменения статистических данных во времени часто изображают с помощью  полигона. Для построения полигона отмечают в координатной плоскости точки,  абсциссами которых служат моменты времени, а ординатами – соответствующие им  статистические данные. Соединив последовательно эти точки отрезками, получают  ломанную, которую называют полигоном. Пример 1. Даны среднемесячные температуры воздуха в Москве. Построим полигон:  на горизонтальной оси отметим месяцы,  на вертикальной – значения  температуры. Полигон, используют также для наглядного изображения распределения данных,  полученных в результате статистического исследования. - 12 - Пример 2. На рисунке жирными точками показана цена алюминия на момент закрытия биржевых  торгов во все рабочие дни с 7 по 20 августа 2014 года. По горизонтали указываются числа  месяца, по вертикали — цена тонны алюминия в долларах США. Для наглядности жирные  точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа цена алюминия  на момент закрытия торгов была наименьшей за данный период. Ответ: 14 Гистограмма Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограммы. Гистограмма  представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников.  Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота – частоте или  относительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отличие от обычной столбчатой  диаграммы, основания прямоугольника выбираются не произвольно, а строго определены  длиной интервала. Пример 1. На выставку по инновационным технологиям приехали представители 50 компаний. На  диаграмме показано распределение этих компаний по количеству персонала. По горизонтали представлено количество сотрудников в компании, по вертикали —  количество компаний, имеющих данное число сотрудников. - 13 - Задачи для самостоятельного решения 1.В ходе опроса 34 учащихся школы было выяснено, сколько времени (с точностью до 0,5 ч) в неделю они затрачивают на занятия в кружках и спортивных секциях. Получили следующие данные: 5,   1,5,   0,   2,5,   1,   0,   0,   2,   2,5,   3,5,   4, 5,   3,5,   2.5,   0,   1,5,   4,5,   3,   3,   5, 3,5,   4 3,5,   3,   2,5,   2,   1,   2,   2,   4,5,   4,   3,5,   2,   5. Представьте этот ряд данных в виде таблицы частот. Найдите, сколько времени в среднем тратят учащиеся на занятия в кружках и спортивных секциях. 2.В таблице показано распределение сотрудников отдела по стажу работы: Стаж   работы, лет 3 и менее 4 Относительная частота 8 12 5 16 6 24 7 и более 40 Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение сотрудников по стажу работы. 2010 3.За март в городе родилось 2348 мальчиков и 2027 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков и частоту рождения девочек. 4.В таблице показано, сколько курток изготовила мастерская за каждый квартал 2010 и 2011 гг.: год кварта л Число курток 780 2011 810 850 625 760 720 910 III 645 IV I II I II III IV Постройте   полигон,   иллюстрирующий   выработку   мастерской   в   2010   и   в   2011   гг.   (по кварталам). 5.Магазином за день было продано 45 пар мужской обуви следующих размеров: 39, 41, 40,  42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42, 41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44, 40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42. Составить таблицу частот и построить полигон частот, иллюстрирующий продажу обуви. 6. Через каждый час измерялось напряжение в электросети. При этом были получены  следующие значения (в вольтах): 227, 219, 215, 230, 232, 223, 220, 222, 218, 219, 222, 221, 227, 226, 226, 209, 211, 215, 218, 220, 216, 220, 221, 225, 224, 212, 217, 219, 220. Построить  гистограмму, полигон частот. - 14 - 7. На гистограмме представлены данные о распределении рабочих цеха по возрастным группам. Пользуясь гистограммой, найдите:  Число рабочих цеха в возрасте от 18 до 23 лет;  Возрастную группу, к которой относится наибольшее число рабочих;  Общее число рабочих. частота 25 20 15 10 5 0 Источники: 18 23 28 33 38 43 48 53 58 возраст 1. Боярский А. Я., Громыко Г. Л., Трудова М. Г. Общая теория статистики. ­ М.:  Издательство МГУ, 1985. 2. Герчук Я. П. Графические методы в статистике. ­ М.: Статистика, 1968. 3. Шмойлова Р. А., Бесфамильная Е. Б., Голубкова Н. Ю. Теория статистики. ­ М.:  Финансы и статистика, 1996 http://festival.1september.ru/articles/600022/ http://youclever.org/matematika/elementy-statistiki-1/ http://www.pm298.ru/reshenie/re6fg.php - 15 - Логические задачи Приведем примеры задач, в решении которых преобладает логический элемент. Задача 1 «Определите профессии» Корнеев, Докшин, Мареев и Скобелев — жители нашего города. Их профессии — пекарь, врач,  инженер  и   полицейский,   Корнеев  и   Докшин  —  соседи  и   всегда   на  работу  ездят вместе. Докшин старше Мареева. Корнеев регулярно обыгрывает Скобелева в пинг­понг. Пекарь на работу всегда ходит пешком. Полицейский живет рядом с врачом. Инженер и полицейский встречались единственный раз, когда полицейский оштрафовал инженера за нарушение   правил   уличного   движения.   Полицейский   старше   врача   и   инженера. Определите, кто чем занимается. Решение: Здесь используем     метод составления «логического квадрата». Так как пекарь всегда ходит   на   работу   пешком,   а   Корнеев   и   Докшин   ездят,   можно   заключить,   что   фамилия пекаря — не Корнеев и не Докшин. Отметим этот вывод в квадрате. Теперь учтем, что полицейский   единственный   раз   встречался   с   инженером   и   не   является   соседом   врача. Отсюда   следует,   что   пара   соседей   «Корнеев   +Докшин»   не   может   быть   ни   парой «полицейский   +врач»,   ни   парой   «полицейский+инженер».   Следовательно,   Корнеев   и Докшин  — врач и  инженер. Только пока неизвестно, кто из  них врач, а кто инженер. Сделаем соответствующие пометки в квадрате. Обратим теперь внимание на возрастные данные. С учетом уже сделанных нами выводов и последнего из условий задачи можно сказать,   что   полицейский   старше   Корнеева   и   Докшина.   Известно   также,   что   Докшин старше   Мареева.   Следовательно,   Мареев   —   не   полицейский.   Значит,   полицейский   — Скобелев, а Мареев — пекарь. Теперь нетрудно сообразить, что партнер полицейский. Скобелева   по   пинг­понгу   врач,   а   не   инженер,   который   единственный   раз   встречался   с полицейским. Итак, Корнеев — врач, а, следовательно, Докшин — инженер.   Пекарь Врач Инженер Полицейский Корнеев Докшин Мареев Скобелев   ­ ­ + ­  + ­  ­ ­ ­   + ­ ­ ­ ­ ­ + Задача 2. - 16 - Из   трех     монет   одна   фальшивая,   она   легче   остальных.   За   сколько   взвешиваний   на чашечных весах без гирь можно определить, какая именно монета фальшивая? Решение: Требуется одно взвешивание: положим по одной монете на каждую чашку весов. Возможны два случая: 1) весы находятся в равновесии, тогда третья монета фальшивая; 2) равновесия нет,  в  этом  случае  фальшивая  монета там, где вес меньше. Задача 3.  Можно ли, имея два сосуда емкостью 3 л и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды? Решение: 1шаг 2шаг 3шаг 4шаг 5шаг 6шаг 7шаг Сосуд ёмкостью 3 л Сосуд ёмкостью 5 л 0 5 3 2 0 2 2 0 2 5 3 4 0 4   Задача 4. Перед футбольным турниром измерили рост каждого игрока футбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из футболистов этой команды больше 170 см и меньше 190 см. Выберите утверждения, которые следуют из данной информации. 1) В футбольной команде города N обязательно есть игрок, рост которого равен 180 см. 2) В футбольной команде города N нет игроков с ростом 169 см. 3) Рост любого футболиста этой команды меньше 190 см. 4) Разница в росте любых двух игроков футбольной команды города  N  составляет не более 20 см. Решение:  Первое утверждение неверно, в команде может и не быть игрока с ростом 180 см. Верные  утверждения 2,3 и 4. Задачи для самостоятельного решения: - 17 - 1)  В мешке 24 килограмма гвоздей. Как,   имея чашечные весы без гирь, отмерить 9 килограммов гвоздей? Ответ: Вначале имеем 24 кг. 1 шаг 2 шаг 3 шаг 4 шаг 1 куча            12 кг 12 кг 12 кг 6 кг +3 кг 2 куча 12 кг 6 кг 6 кг 3 куча 4 куча 6 кг 3 кг 3 кг 2)  Кондратьев, Давыдов и Федоров живут на нашей улице. Один из них — столяр, другой — маляр, третий — водопроводчик. Недавно маляр хотел попросить своего знакомого столяра сделать кое­что для своей квартиры, но ему сказали, что столяр работает в доме водопроводчика.   Известно   также,   что   Федоров   никогда   не   слышал   о   Давыдове. Кто чем занимается? Ответ: Федоров — водопроводчик. Давыдов ­ маляр. Кондратьев — столяр. 3) В офисе фирмы компьютеры работают только от сетевого электропитания. Если электричества нет, то компьютеры не работают. Выберите утверждения, которые  непосредственно следуют из этих данных: 1. Если электричество есть, то компьютеры работают. 2. Если компьютеры не работают, значит, в офисе нет электричества. 3. Если в офисе нет электричества и воды, то компьютеры не работают. 4. Если компьютеры работают, значит, электричество есть. Ответ: 3 и 4. 4)Как, имея пятилитровую   банку   и   девятилитровое   ведро, набрать из реки ровно три литра воды?              Ответ: Вместимость сосуда 5 9 Шаг 0 Шаг 1 Шаг 2 Шаг 3 Шаг 4 Шаг 5 Шаг 6 Шаг 7  0  9 5 4 0 4 4 0 4 9 5 8 0 8 5 3 - 18 - 5) За границу поехала группа туристов из 100 человек. 10 из них не знали ни немецкого, ни французского языка. 75 знали немецкий язык. 83 человека знали французский. Сколько туристов владело обоими иностранными языками. Ответ: 68 человек Элементы комбинаторики I.   Комбинаторные задачи Комбинаторика –   это   область   математики,   изучающая   вопрос,   сколько   разных комбинаций   (наборов)   можно   составить   из   элементов   заданного   множества.   При   этом нужные комбинации подчиняются определенным требованиям, что приводит к различным методам решения комбинаторных задач.   : из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Пример   Сергеев   и   Федоров,   тренер   выделяет   пару   для   участия   в   соревнованиях.   Сколько существует вариантов выбора такой пары? Решение:  составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ. Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две:  ГС, ГФ. Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая  пара только одна: СФ. Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже  составлены. Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ ГС, ГФ СФ. Значит, существует всего шесть вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной  группы. Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют  перебором возможных вариантов. Два основных правила комбинаторной теории. Теория комбинаторики опирается  на два основных принципа – это правило сложения и правило умножения. - 19 -  А    объект Правило сложения: пусть объект  А  мы можем выбрать из множества m способами, а объект В можно выбрать n способами, то объект «А+В» можно выбрать m+n способами. Пример: пусть   в   одном   ящике   есть m шариков,   а   во   втором   ящике   – n шариков. Сколькими способами можно вытащить шарик из одного этих ящиков. Очевидно, что один  шарик можно достать m+n способами.  В Правило   умножения: пусть   объект   то   оба   объекта   можно   выбрать mn способами. выбирается n способами, Все очень просто – каждый из m способов выбора объекта А комбинируется с каждым из n способов выбора объекта В, то есть количество способов просто умножается друг на друга.  Правило умножения для n элементов: Пусть имеется  n  элементов и требуется выбрать один за другим некоторые  k  элементов. Если  первый  элемент  можно выбрать  n1  способами,  после  чего  второй  элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению  n1∙n2∙n3∙… ∙nk. выбирается m способами, Задача 1. Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует  способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков? Решение: выбрать одну девочку из 22 мы можем 22­мя способами, а одного мальчика из 18 можно  18­тью способами. Тогда выбрать одного дежурного мальчика или девочку можно (18+22)  способами.  Ответ: 40 способов. Задача 2.  Сколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число должно быть  двузначным?  Решение: можно составить 90 чисел – первую цифру числа (объект А) можем выбрать 9  способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа (объект В)  можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого  получается 9∗10=90 чисел. Ответ: 90 Задачи для самостоятельного решения 1. На тарелке лежат 15 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод? (19 способами) 2. На тарелке лежат 15 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблока и апельсина? (20 способами) 3. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4 и 5? (27 способами) 4.  Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи только один раз?(100 способами) - 20 - 5. На каждом барабане игрального автомата изображены символы: «вишня», «лимон» и числа от 1 до 7. Автомат имеет три одинаковых барабана, которые вращаются независимо друг от друга. Сколько всего комбинаций может выпасть?  (729) II.   Перестановки Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества являются перестановки.  Пример 1. Представьте, что перед вами на столе яблоко, груша и банан. Выкладываем фрукты  слева направо в следующем порядке: яблоко, груша, банан. Сколькими способами их  можно переставить? Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает: яблоко / банан / груша  груша / яблоко / банан груша / банан / яблоко банан / яблоко / груша  банан / груша / яблоко Итого: 6 комбинаций или 6 перестановок, так как каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов. Ответ: 6 Перестановкой  из  n  элементов   называется   каждое   расположение   этих   элементов   в определенном порядке. Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается «Р из n»). Мы установили, что Р3 = 6. Пусть   мы   имеем  n  элементов.  Pn  =  n(n­1)(n­2)   ∙…∙3∙2∙1   т.е.   число   всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn = n!  Задача 1 Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом? Решение:  используем формулу количества перестановок: Ответ: 120 способами Задачи для самостоятельного решения 1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека; - 21 -  2) 5 человек?  (6; 120) 2. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг  стола: 1) 6 гостей на 6 стульях;  2) 7 гостей на 7 стульях? (720; 5040) 3.   Сколькими   способами   можно   с   помощью   букв     К,   L,   М,   N   обозначить   вершины четырехугольника?  (24)  4. Четыре друга купили билеты в кино: на 1­е и 2­е места в первом ряду и на 1­е и 2­е места во втором ряду.  Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в   кинотеатре? (24) 5. Сколько различных правильных (с точки зрения русского языка) фраз можно составить, изменяя порядок слов в предложении: 1) «Я пошел гулять»; 2) «Во дворе  гуляет кошка»? (6; 6) III. Размещения. Размещением  из  n  элементов по  k  (k  ≤  n)  называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. Число размещений из n элементов по k обозначают  (читают «А из n по k»). k nA =n(n – 1)(n – 2)∙…∙(n – (k – 1)),  например, что  =4∙3∙2=24. 3 4А k nA Задача 1 На соревнования по биатлону приехала команда из 10 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 3×100 м на первом, втором и третьем этапах? Решение.  В этом задании идет речь о размещениях из 10 элементов по 3. Таким образом, искомое число выбора спортсменок  равно  A10 3 =10·9·8=720  способов. Ответ: 720 Задача 2. Боря, Дима и Володя сели играть в карточную игру «очко». Сколькими способами им  можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт) Решение:  по формуле размещений:   способами можно раздать 3 карты игрокам. Ответ: 42 840 Задача 3. - 22 - Сколько существует семизначных телефонных номеров, в каждом из которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля? Решение.  В этом задании идет речь о размещениях из 10 элементов по 7, т.е.  . Но первая цифра 7 10А номера должна отличаться от нуля, т.е. размещение из 9 элементов по 6. Так как из всех размещений надо исключить те, которые начинаются с цифры 0, то имеем:   = 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4 – 9∙8∙7∙6∙5∙4 = 604800 – 60480 = 544320. Ответ: 544 320 А  7 6 10 А 9 Задачи для самостоятельного решения: 1.   Учащиеся восьмого класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было шесть различных предметов? (151200) 2. Сколькими различными способами можно распределить между 6 лицами две  различные путевки в санаторий? (30)   3. Из 30  учеников  9 класса надо выбрать старосту и редактора стенгазеты. Сколькими способами это можно сделать? (870) 4. В областных соревнованиях по футболу участвует 8 команд. Требуется определить,  сколькими способами можно составить группу из 4 команд? (6720) 5. На катере 6 свободных мест. Сколькими способами можно разместить 4 человек?  (360) IV. Сочетания Сочетанием из n элементов по k (00, b>0                            k<0, b>0                           k>0, b<0                            k<0, b<0                                 Частные случаи 1) y = kx   ­   прямая пропорциональность  График – прямая, походящая через  2) y = а  (а  R)            График – прямая,  параллельная оси Ох 3) х = а (а  R)             График – прямая,  параллельная оси Оу начало координат.   2. Обратная пропорциональность k x   (k ≠ 0, x ≠ 0, y ≠ 0)     y =   График – гипербола  k>0, график в I и III координатных четвертях - 28 - k<0, график во II и IV координатных четвертях 3. Квадратичная функция y = ax2 + bx+ c   (a, b, c  R; a≠0)     График – парабола  а>0, ветви вверх;   а<0, ветви вниз; А (хо, уо) – вершина параболы,  xo  ; y  o  xy o , b a 2 прямая х = хо – ось симметрии параболы Пример1. Для реки  экспериментально установили следующую зависимость скорости течения реки v(м/с) от глубины h (м)      V(h) = ­ h2+2h+8 Найдите максимальную глубину реки (т.е. глубину, где  v=0) и глубину с максимально сильным течением. Решение: Для решения задачи достаточно выяснить, какое значение ­ наибольшее - 29 - или наименьшее ­ принимает функция. Это значение равно ординате вершины параболы. Вершина (m:n):          m   1   b 2 a Ось симметрии h=1, V(h)=9. Ветви направлены  вниз. Нули функции h = ­ 2, h =4. Построим график: V м/с -2 0 1 4 h, м По графику ответим на вопросы задачи. Максимальная глубина реки 4 м;  глубина с максимально сильным течением 9 м/с равна 1м. Ответ: v=0, если h=­2 и h=4, т.е. максимальная глубина 4 м. Наибольшая скорость 9 м/с при h=1м. Пример 2. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр фигуры  равен 6м. Каковы должны быть размеры окна , чтобы окно пропускало наибольшее  количество света? Ответ округлите до десятых. Решение: Окно   будет   обладать   наибольшей   пропускной   способностью,   если   при   заданном D С   периметре будет иметь максимальную площадь. Пусть   AB=x ,   AD=y   ,   тогда   периметр   равен   сумме   трех   сторон А  В - 30 - прямоугольника и длины дуги  DC   P=AB+BC+AD+∪DC      Значит,  P=x+2y+0,5πx   6=x+2y+0,5πx   y=3−x   S=AB×BC+πx2 8   S=xy+ x2π 8 Из (1),  (2) следует, что       S(x)=−(π 8 + 1 2−πx 4       (1)           (2) 2)x2+3x Известно, что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при x=−b 2a  ,  то есть      x= 12 π+4  ,        y= 6 π+4  . Размеры окна     6 π+4  ,      12 π+4 . Ответ:    примерно ширина окна 0,8 м, а длина 1,7 м. Задачи для самостоятельного решения 1. Графическая задача. Ответьте на вопросы по графику. 1)Какому значению силы тока и напряжения соответствует точка А? 2)Какому значению силы тока и напряжения соответствует точка В? 3)Найдите сопротивление в точке А и в точке В. 4)Найдите по графику силу тока в проводнике при напряжении 8 В и вычислите  сопротивление в этом случае. Ответ: 1) сила тока = 0,4 А, напряжение – 4В. 2)сила тока = 0,6 А, напряжение – 6В.  3) сопротивление в точке А–10 Ом, в точке В –10 Ом. - 31 - 4) сила тока = 0,8 А, сопротивление – 10 Ом. 2. После начала торможения движение электропоезда описывается законом S = 16t ­ 0,1t2, а   скорость   меняется   по   закону  V=16­0,2t,   где  t  ­   время   (с),  v  ­   скорость   (м/с),  S  ­ пройденный   путь   (м).  Постройте   графики   этих   функций  S=S(t),  v=v(t).   Определите   по графику: через сколько секунд поезд остановится?  Каков его тормозной путь?  3. Зависимость температуры нагревательного элемента от времени имеет вид T(t) = T0 + at  + bt2 , где T0 = 100K, a = 37,5 K/мин, b = ­ 0,25 K/мин2 .                Прибор может испортиться при температуре свыше 100 К. Определите момент времени (в минутах), когда прибор необходимо отключить, чтобы он не вышел из строя. Ответ:  30минут. 4. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его   открытия   вода   начинает   вытекать   из   бака,   при   этом   высота   столба   воды   в   нем, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H0 ­  √2gH0 kt +  g 2 k2t2 где t время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,  H0  = 20 м – начальная высота столба воды, k =  1 400  отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/c2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды? Ответ:400секунд. Источники: 1. Камецкий С. Е., Орехов В. П., Методика решения задач по физике в средней школе: Кн. для учителя.­3­е изд., перераб.­М.: Просвещение, 1987.­ 336 с. 2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Алгебра: Геометрия: Прил.: Справ.  материалы: Учеб. пособие для учащихся.­М.: Прсвещение, 1986.­ 271с.