Справочник по геометрии 7-9

Справочник по геометрии 7­9 Справочник составили: учителя математики Есикова Л.И. и Ушакова М.Б. МБОУ СОШ № 11 п. РАЯКОСКИ 2012 ОГЛАВЛЕНИЕ 1 стр. 1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ  ПРЯМЫХ.   АКСИОМЫ      ………………………………...    3 2. УГЛЫ.   БИССЕКТРИСА УГЛА       ………………………………………………....    4 3. ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.  СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ   И УГЛАМИ  ТРЕУГОЛЬНИКА        …………………………………………………...    5 4. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА.      СВОЙСТВА    РАВНОБЕДРЕННОГО                ТРЕУГОЛЬНИКА      ……..………………………………………………………............   6  5. ПРИЗНАКИ  РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.   ПРИЗНАКИ   ПОДОБИЯ       ТРЕУГОЛЬНИКОВ      …………………………………………………………………….  7 6.  ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ    ………………………………..  8 7.  ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ    …….   9 8. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.   ПРИЗНАКИ   РАВЕНСТВА   ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ    ………………………….  10 9. ЗНАЧЕНИЯ  СИНУСА,  КОСИНУСА  И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ.  ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ    ……………………….……………………………………...  11 10. СВОЙСТВА  И  ПРИЗНАКИ  ПАРАЛЛЕЛОГРАММА    ………………………  12 11. ПРЯМОУГОЛЬНИК.  РОМБ.  КВАДРАТ    ………………………………………  13 12.  ТРАПЕЦИЯ      ……………………………………………………………………..  14 13. ОКРУЖНОСТЬ.  ВПИСАННЫЙ УГОЛ    ……………………………………….   15 14. СВОЙСТВА  ОКРУЖНОСТИ  И  ЕЕ  ЭЛЕМЕНТОВ  …………………………..  16 15. СВОЙСТВА  КАСАТЕЛЬНЫХ  И СЕКУЩИХ     ………………………………… 17 16. ВПИСАННАЯ  И  ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ     …………………………….  18 17. ПРАВИЛЬНЫЕ  МНОГОУГОЛЬНИКИ     ………………………………………..  19   18. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.  ВЕКТОРЫ.     ………………..  20 2 Справочник по геометрии 7­9 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ Прямые а и b пересечены секущей с 1 и  2; 3 и 4 – накрест лежащие углы  и  8;  3 и  5 ­ соответственные углы 2 и  7;  4 и  6 ­ соответственные углы  1 и  3; 2 и  4 ­  односторонние углы Признаки параллельности прямых 1= 2 а║b Если при пересечении двух прямых секущей  накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 1 = 8  а║b Если при пересечении двух прямых секущей  соответственные углы равны, то прямые параллельны. 1 + 3= а║b  Если при пересечении двух прямых секущей  сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны. а║b, а с║ с║b          а  с║b 7 1 5 4 a 3 b C 2 8 6 Свойства углов при параллельных прямых а║b  1 = 2 Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. а║b  1 =  8 Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.         а║b  1 +  3= Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна  . НЕКОТОРЫЕ АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ Через любые две различные точки Через точку, не лежащую на данной проходит прямая, и притом только одна. прямой, проходит только одна прямая, А а b параллельная данной. 3 А а В А    а        В   а                               а║b    А   а УГЛЫ Прямой угол Развернутый угол Тупой угол больше прямого угла Острый угол меньше прямого A угла h а D O С M k А b CDA< ab <  Смежные углы С А В D Вертикальные углы B A C D О hk =   AOM = Сумма смежных углов рав . Вертикальные углы равны. БИССЕКТРИСА УГЛА а с b с – биссектриса  ab aс =  сb Луч с делит угол ab  пополам 4 а с b А М В Свойство биссектрисы АМ  = ВМ Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон угла. ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Разносторонний  Равнобедренный  Равносторонний     все стороны  разной длины две стороны равны все стороны равны ∠ А=  В= =60 Р = 3а, где  а ­ сторона,  Р­ периметр Треугольник В Остроугольный  (все углы острые) А С Прямоугольный  (один из углов –  прямой) Тупоугольный  (один из углов –  тупой) СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА А с В b а С К Сумма углов треугольника равна 180  ̊. ∠ А+  В+ =180  ̊ Свойство внешнего угла: ∠ АСК = ∠ А +  В Неравенство треугольника а < b+с    b < а+с     с < а+b Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. а > b ­ с,   где   b>с 5 Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника  b > с  В > С    и     В > С     b > с В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Против большего угла лежит большая сторона. Теорема синусов Теорема косинусов с² =  а² + b²  а²  =  с² + b²  b²  =  с² + а²  2а― b  2 ― bс  2 ас― адиус описанной  где  окружности. Стороны треугольника  пропорциональны синусам  противолежащих углов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА А h a c В b С Площадь треугольника равна половине произведения его стороны   на высоту к этой стороне: S = ah Другие формулы: S =  ab  =   aс   =   сb S = где   ,  ­ полупериметр S =  r , где   r­ радиус вписанной в треугольник окружности S =    , где  R – радиус описанной окружности СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕНННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА 6 В равнобедренном треугольнике Биссектриса, проведенная к основанию, является углы при основании равны В В А А С С К  А =  С АС – основание АВ и ВС – боковые стороны медианой и высотой ВК –биссектриса ВК – биссектриса ВК – медиана  ВК  –высота ВК – медиана ВК - высота РАВНЫЕ И ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ  =  , значит,  подобен   , значит,               АВ =        СВ =       СА = С1А1     А =   А1        В =       С =  С1. А =   А1        В =       С =  С1 В В А А С С  =    =  ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА  ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ  ТРЕУГОЛЬНИКОВ 7 По двум сторонам и углу между ними В По двум углам С А А В С АВ =       СВ =        В =   А =   В =  =  Если две стороны и угол между ними  одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого  треугольника, то такие треугольники  равны.  По стороне и двум прилежащим углам В В С С А А ₂₂ ₂ А ₂ АС=        А =  С = =  Если сторона и два прилежащих к ней угла  одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам  другого треугольника, то такие  треугольники равны.  Если два угла одного треугольника  соответственно равны двум углам другого  треугольника, то такие треугольники  подобны.  По двум сходственным сторонам и углу  между ними  =  А =  Если две стороны одного треугольника  пропорциональны двум сторонам другого  треугольника и углы, заключенные между  этими сторонами, равны, то такие  треугольники подобны.  По трем сторонам По трем сходственным сторонам В В А А С С АВ =      СВ =      АС=  =  =    =  Если три стороны одного треугольника  Если три стороны одного треугольника  8 соответственно равны трем сторонам  другого треугольника, то такие  треугольники равны. пропорциональны трем сторонам другого  треугольника, то такие треугольники   подобны. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ с М В Р с М В b С К b С А m а А О а А  АВС АМ – медиана  точка М – середина ВС Свойство медиан СО:ОР = АО:ОМ = ВО:ОК = 2:1 Медианы треугольника пересекаются в одной  точке, которая делит каждую медиану в  отношении 2:1. АМ = m формула для вычисления медианы АН – высота  АН ­  перпендикуляр, опущенный из  точки А на прямую ВС С Н В Свойство высот Высоты треугольника пересекаются в одной точке треугольника. АЕ – биссектриса  2    ( САЕ =  ВАЕ) Свойства биссектрисы треугольника Биссектрисы треугольника пересекаются в одной  точке (центре вписанной окружности).  Биссектриса треугольника делит  противоположную сторону на отрезки,  пропорциональные прилежащим сторонам  9 С m . b Е 7 1 5 1 4 А 2 a n 3 a В 2 8 6 b C треугольника. =  А М В А а О С В N С Прямая  а – серединный перпендикуляр О   а     ОС = ОВ     а   ВС Свойство серединных перпендикуляров Серединные перпендикуляры пересекаются в  одной точке (центре описанной окружности) MN – средняя линия  точка М ­ середина АВ, N – середина ВС Свойство средней линии треугольника MN   АС;    MN =  АС Средняя линия параллельна одной из сторон и  равна её половине. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК Основные  соотношения в прямоугольном треугольнике С b h a А c Теорема Пифагора Пропорциональные отрезки    c²=а² + b² В Квадрат гипотенузы равен  сумме квадратов катетов. h² = а² =  b² =  h  10 В a С c b α А С = 900       А = α с = АВ – гипотенуза а = ВС  – катет,  противолежащий к α b = АС – катет,  прилежащий  к углу α СИНУС Отношение противолежащего катета к гипотенузе КОСИНУС Отношение прилежащего катета к гипотенузе ТАНГЕНС Отношение противолежащего катета к прилежащему КОТАНГЕНС Отношение прилежащего катета к противолежащему = Свойства прямоугольного треугольника  А+   В = 90  ̊ Сумма острых  углов в  прямоугольном треугольнике  равна 90  ̊  А =  а =   с а = с  А = m = c = R Катет прямоугольного  треугольника,  лежащий против угла в  равен половине  гипотенузы Если катет равен  половине гипотенузы, то угол, лежащий  против этого катета,  равен  3    Медиана,  проведенная к  гипотенузе, равна её  половине и является  радиусом описанной  окружности Признаки равенства прямоугольных треугольников 11 По катету и  прилежащему  острому углу По катету и противолежащему острому углу По гипотенузе и  острому углу По гипотенузе и  катету а1 с1 с с b а а а =     с =  А = А1      b =b1 А = А1   а = а1 А = А1     c = c1 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ + =1 – основное тригонометрическое тождество формулы приведен ия  (90  ̊–  cos(90  ̊ –    (180  ̊–  cos(180  ̊–  ) = α ) = α ) = α )  =α  –  ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ 30 ̊ 45 ̊ 60 ̊ 12 1 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ АВСD ­ четырехугольник А + В + С + D  = 360° О С D В А S = АС, ВD ­ диагонали ПАРАЛЛЕЛОГРАММ В О С А D ABCD­ параллелограмм AB  CD BC  AD Параллелограммом называется четырехугольник,  у которого стороны попарно параллельны. СВОЙСТВА  И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА В h b О С А H а D 13 Свойства параллелограмма                   Признаки параллелограмма 1) AB=CD; BC=AD    A= C;  B= D В параллелограмме противоположные  стороны и противоположные углы равны 2) AC BD = O, AO = OC,  BO = OD Диагонали параллелограмма делятся   точкой пересечения пополам. 3) А +  В = 1800 В параллелограмме сумма углов,  прилежащих к одной стороне, равна 1800 4) ² + ² = a² + b² + c² + d² где   = AC;   = BD – диагонали; a = AD;  b = AB;  c = BC; d = CD – стороны 5) P = 2(a + b) – периметр  параллелограмма, где  a = AD;  b = AB 1) (AB CD; AB = CD) (ABCD­ параллелограмм) Если в четырехугольнике две стороны равны  и параллельны, то этот четырехугольник –  параллелограмм. 2) (AB = CD; BC = AD) (ABCD­ параллелограмм) Если в четырехугольнике противоположные  стороны попарно равны, то этот  четырехугольник – параллелограмм 3) (AO = OC;  BO = OD,  (ABCD­ где O = AC BD) параллелограмм) Если в четырехугольнике диагонали  пересекаются и точкой пересечения делятся  пополам, то этот четырехугольник –  параллелограмм ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА S = ah, где a = AD – основание h = BH – высота S = ab , где а = AD, b = AB,  S =  a = BAD S= 4 ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Вид Свойства Формулы 14 ABCD –  прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы B b a A прямые A = B = C= D = 90° a a a C D = Диагонали прямоугольника равны. S =  S =   – площадь P = 2(a + b) ­ периметр d1² = a²+b² где d1, d2 –  диагонали,  а, b – стороны прямоугольника 1= 2,   3= 4, S = ABCD – ромб –  это параллелограмм,  у которого все стороны равны AB = BC = CD = AD B α Диагонали ромба взаимно C перпендикулярны и делят его углы пополам A 1 2 a a 3 4 d a d D a ABCD – квадрат ­  это прямоугольник,  у которого все стороны равны B AB = BC = CD = AD C = a a A d a Диагонали квадрата равны,   взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам. A= B= C= D =90° d a D S =    ­ площадь Р = 4а – периметр ² + ² = 4a² где d1, d2 ­  диагонали,  а – сторона ромба,  – угол ромба  S = a² –  площадь S =  S=  ,  где r – радиус вписанной окружности  Р = 4а ­ периметр = а   где d1, d2 ­  диагонали, 15 B h a H a M a А a b a a a C a N a D a а – сторона квадрата ТРАПЕЦИЯ ABCD ­ трапеция AD = a,  BC = b  –  основания AB, CD – боковые стороны BH = h ­ высота AD BC; S=  MN – средняя линия трапеции,  где М – середина АВ N – середина СD MN  BC;  MN   AD;  MN= Средняя линия трапеции параллельна  основаниям и равна их полусумме. Трапеция прямоугольная,  если один из углов прямой 16 Трапеция равнобедренная, если ее боковые стороны равны В равнобедренной трапеции:  1) диагонали равны; 2) углы при основании равны; 3) середины сторон являются вершинами  ромба. C Биссектрисы углов, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны B A D С ОКРУЖНОСТЬ B N О b Окр. (О; r)  т. О –  центр окружности OK = OB = OA = r – радиус AB = d – диаметр b  –  касательная AC –  хорда A MN ­   секущая B  ­ дуга окружности   d = 2r      L M   ­ длина окружности  K    ­ длина дуги 17 ­ дуга окружности АОВ ­ центральный угол В АОВ =  Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на С О которую он опирается. АСВ – вписанный угол А АСВ =   Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается. АСВ =   , если   меньше полуокружности Вписанные углы, опирающиеся на Вписанный угол, опирающийся на полуокружность одну и ту же дугу, равны. – прямой. ПЛОЩАДЬ Площадь круга Площадь сектора R ОО r S = S =  18 СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ И ЕЁ ЭЛЕМЕНТОВ D Свойство хорд B M AB; CD – хорды a AB  CD = M О AM ∙ MB = CM ∙ MD Если две хорды окружности пересекаются, A B то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой С хорды. Свойство касательной а ОМ – радиус М а – касательная М – точка касания  О ОМ    а  Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.  АТ – касательная АВ; АХ – секущие T АТ² = АХ ∙ АY О АТ² = АВ ∙ АС  С В X Y А 19 A M AM, AN – касательные M, N – точки касания 2 3 AM = AN 1 1 =  2;   3 =  4 4 O Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр N окружности. ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ  20 В О B O d В О А а A А В любой треугольник можно вписать  окружность. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника. r =   ­ радиус вписанной окружности a, b, c – стороны треугольника S – площадь треугольника В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, только если:  a + c = b + d,   где a, b,c, d­ стороны четырехугольника С b C c D ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Около любого треугольника можно  описать окружность.  Её центр – точка пересечения серединных  перпендикуляров к сторонам  треугольника. С R =   ­ радиус описанной окружности a, b, c – стороны треугольника S – площадь треугольника Около выпуклого  четырехугольника можно описать окружность, только если:  A+  С =  В +  D = 180° В А О С D 21 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у  которого все углы равны и все стороны равны. R r R r R r  вычисление угла           многоугольника       аn  сторона  многоугольника S =  ­  площадь n –  число сторон R – радиус описанной окружности r –   радиус  вписанной окружности  Р – периметр       треугольник квадрат шестиугольник 60° 90° 120° а R R =  R =  22 r r =   R r =  r =  ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Расстояние между точками А(х1; у1)   и   В(х2; у2) Координаты  (х; у)  середины отрезка   АВ с концами     А(х1; у1) и  В(х2; у2)     Общее  уравнение  прямой,  перпендикулярной  вектору   {a; b} Уравнение   окружности  с  радиусом R и  с  центром  в  точке  (х0; у0)  Если   А(х1; у1)  и  В(х2; у2),  то  координаты вектора  Сложение векторов     Умножение вектора      на  число    Скалярное произведение векторов:     и     Скалярное произведение векторов  {х2­х1; у2­у1} {а1; а2} +  {b1; b2} =  {a1 + b1;  a2 + b2} {а1; а2}    {b1; b2} =  {a1   b1; a2   b2}  ∙   =   ∙∣  ∣∙  где   ­  угол между векторами    и  {а1; а2} и    {b1; b2} ∙  = a1b1 + a2b2  23 Косинус угла между векторами:         {а1; а2}   и     {b1; b2} Необходимое и достаточное условие  перпендикулярности векторов  {a1; а2}      {b1; b2}    ∙   = 0    или    a1b1 + a2b2 = 0 Литература: 1. Математика:  Справ.  Материалы: Кн.  для учащихся, ­ М.: Просвещение, 2001­  416 с. 2. Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для  общеобразоват. учреждений/ (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.). – 20­е изд.­ М.: Просвещение, 2010.­ 384 с. 24