Сследовательская работа по математике"Секреты быстрого счёта" (6 класс)

XVII Всероссийская конференция учащихся «ШАГИ В НАУКУ» Секция: Математика Секреты быстрого счета Автор работы:  ученица 6 класса МБОУ СОШ №8  Беляева Екатерина Место выполнения работы:  МБОУ СОШ № 8, г. Калуга Научный руководитель: Петрунина Е. В. 2 2017 Оглавление 3 Введение...........................................................................................3 Гипотеза исследования; цель работы; задачи.........................................................3 Актуальность. Новизна...................................................................................4 Глава 1. Изучение приемов быстрого счета .......................................................5 Сложение и вычитание чисел...........................................................................5 Умножение и деление чисел..........................................................................7 Глава 2. Экспериментальная часть...............................................................11 Заключение.........................................................................................13 Список литературы................................................................................14 Приложение 4 Счет и вычисления – основа порядка в голове.  Песталоцци Введение Человек   считает   столько,   сколько   он   существует.   Навыки   быстрого   счета   играют большую роль в развитии всего человечества. Нужно ли современному человеку уметь считать в уме? Может быть, с распространением смартфонов, располагающих калькуляторами, этот навык стал   неактуальным?   Эти   вопросы   разделили   людей   на   два   лагеря:   одни   умеют   считать,   и уверены, что навык устного счета им просто необходим, а другие не умеют считать, и не видят в этом необходимости. Однако, если говорить про нас, детей, то польза устного счета для нас очевидна:   он   развивает   умение   воспринимать   информацию   зрительно   и   на   слух,   тренирует память, улучшает реакцию и повышает способность концентрироваться. Современные ученые обнаружили,   что   у   моего   поколения   происходит   снижение   умственных   способностей.   Мозг человека очень ленив и всегда пытается упростить свою работу или переложить её на что­то другое или кого­то другого. Вот поэтому тысячи моих ровесников предпочитают производить вычисления с помощью различной техники. А ведь активизировать работоспособность мозга, ускорить мыслительные процессы очень просто: нужно как можно больше считать устно. Даже решение самых простых примеров на сложение и вычитание, умножение и деление повышает работоспособность мозга и развивает интеллект ребенка. При выполнении устного счета развивается внимательность, сосредоточенность, быстрота реакции, память, особенно краткосрочная, способность к восприятию сказанного на слух. Смысл упражнений в устном счете не только в развитии математического аппарата, но и в тренинге всех интеллектуальных способностей. Упражнения на устный счет рекомендуются для повышения гибкости ума, улучшения памяти и просто как один из способов держать свой мозг в «тонусе». Даже сейчас, когда компьютерные системы ведут расчеты миллионов компаний, автоматизируют все сложные операции на предприятиях, заводах, аэропортах и даже в магазинах – быстрый счет не потерял и не потеряет своей актуальности! 5 исследования:  владение   приемами   быстрого   счета   повышает Гипотеза  работоспособность мозга и дает возможность экономить время вычислений. Цель  работы:  найти   и   исследовать   приемы   быстрого   счета   для   повышения   качества вычислительных навыков у одноклассников. Задачи 1.Изучить приемы быстрого счета, которые можно использовать, упрощая вычисления. 2.Составить памятку для учащихся 5­6 классов для применения приемов быстрого счета. Объект исследования: рациональные приемы быстрого счета Предмет исследования: процесс вычислений Методы исследования: опрос (анкетирование), анализ (статистическая обработка  данных), работа с источниками информации, практическая работа, наблюдения. Актуальность По моему мнению, актуальность моей работы состоит в том, что большинство учащихся в наше время при счете допускают много вычислительных ошибок, используя калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно. А ведь изучение математики развивает у человека логическое мышление, память, гибкость ума, приучает его к точности, к умению видеть главное,   сообщает   необходимые   сведения   для   понимания   сложных   задач,   возникающих   в различных областях деятельности современного человека. В своей работе я хочу показать, как можно быстро и правильно считать, и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием. Использование нестандартных приемов в формировании вычислительных  навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей. Для подтверждения гипотезы и выполнения, поставленных нами задач были  проведены анкетирование  и  диагностика  уровня вычислительных  навыков  на базе  МБОУ СОШ №8   г. Калуги. Мы попытались выяснить, как обстоят дела с вычислениями у учащихся 5Б, 6А, 6Б классов нашей школы. Результаты моей исследовательской деятельности отражены во второй главе. Новизна Приемы устного счета не новы, но основательно забыты благодаря развитию современных технологий.   Новизна   моей   работы   заключается   в   изучении   данной   проблемы   на   примере учащихся 5­6 классов моей школы и в создании системы применения алгоритмов, методов и приёмов, направленных на повышение вычислительной культуры учащихся. 6 Глава 1. Изучение приемов быстрого счета Чем   же   должен   владеть   человек,   чтобы   овладеть   способностью   быстрого   счета?   На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме. Познакомившись с некоторыми из них, можно выделить основные составляющие данного навыка: 1.Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.  2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации. Понимание   математических   законов,   эффективные   схемы   вычитания   и   умножения должны быть заложены в памяти как результат многократного опыта. Такие алгоритмы должны при необходимости «вспоминаться» и использоваться. 3.   Тренировка   и   опыт.   Постоянные   тренировки   и   постепенное   усложнение   решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета. Нужно отметить, что третий фактор имеет особое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если  знаете самый удобный алгоритм. Но не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, вы сможете «превзойти даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое количество времени. В  своей   работе  я  хочу  рассмотреть  приемы  быстрого   счета,  которые  не  изучаются   в школьном курсе математики и которые позволяют заменить сложные вычисления на простые.  Сложение и вычитание чисел. 7 На   уроках   математики   мы   изучили   основные   свойства   сложения   и   вычитания, использовали группировку чисел, приём округления и прикидку. Но мне было интересно найти приемы устного сложения и вычитания, которые упрощают поставленную задачу. Если описать найденный метод в двух словах, то можно сказать: "Слева направо". Вычисления в столбик заставляют нас получать представление о полученном результате с конца, т. е. справа налево, а это противоречит нашим навыкам чтения, ведь мы получаем всю информацию, читая ее слева направо. И это противоречие делает вычисления в голове более сложными. Фундаментальный принцип   устной   арифметики:   "упрощай   задачу,   разбивая   её   на   меньшие,   легче   выполнимые части" Рассмотрим самый легкий пример: 47+32= 47+30+2 = 77+2=79 Эта схема являет собой простой способ представления умственных процессов, задействованных  в получении правильного ответа с помощью нашего метода. Рассмотрим ещё примеры 67+28= 67+20+8 = 87+8 =95 84+57= 84+50+7=134+7= 141 Самое сложное в этих примерах, удержать некоторые цифры в уме.  Рассмотрим примеры с трехзначными числами 538+327= 538+300+27= 838+20+7= 858+7= 865 623+158= 623+100+50+8= 723+50+8= 773+8=781 При   такой   работе   надо   тренировать   способности   не   только  видеть  эти   числа,   но   и слышать их. Последний пример важно слышать как шестьсот двадцать три плюс сто пятьдесят восемь; выделяя слова сто, я понимаю с чего начать. Следующая моя задача семьсот двадцать три плюс пятьдесят восемь, и так далее. Умение слышать новую задачу приходит к нам с опытом, как и умение, видеть в примере рациональные приемы вычислений. Рассмотрим еще один пример, 759+496= 759+400+90+6= 1159+90+6=1249+6=1255 Однако,   если  заметить,  что  число  496  очень  близко  к  числу   500,  удобнее  выполнить задачу было бы следующим образом: 759+496=759+(500­4)= 759+500­4=1259­4=1255 Бояться подобных вычислений не нужно, надо лишь только тренировать свой мозг, как мы тренируем свое тело, и результат не заставит себя ждать. 8 Теперь разберемся, как этот метод работает на вычитании. Рассмотрим примеры: 86 ­25= 86­(20+5)= 86­20­5=66­5=61 96­29=96­(20+9)=96­20­9=76­9=67, но в этом примере, удобнее, на мой взгляд, следующие вычисления: 96­29=96­(30­1)= 96­30+1=66+1=67 Вот правило,   помогающее  решить какой   метод из   этих  двух  надо использовать:  если задача на вычитание требует "заёма", то надо округлить число, которое мы вычитаем. Вычесть округленное число, а потом прибавить разницу. 54­28=54­(30­2)= 54­30+2=24+2=26 А теперь рассмотрим вычитание трехзначных чисел 958­417= 958­(400+17)= 958­400­17=558­17=558­(10+7)=558­10­7=548­7=541 747­598=747­(600­2)= 747­600+2=147+2=149 Самое сложное в этом примере, "держать числа в уме",  преодолеть эту сложность можно ежедневными тренировками. Интересный метод вычитания из 1000 Чтобы   выполнить   вычитание   из   1000,   можно     пользоваться   следующим   простым   правилом: отнимите от 9 все цифры, кроме последней, а последнюю цифру отнимите от 101  Если мы преодолеем эти сложности, то можно приступить к освоению быстрых способов умножения и деления.  Умножение и деление чисел. Вам будет удивительно, но для умножения некоторых чисел необязательно знать таблицу умножения, достаточно лишь владеть следующими приемами.  Умножение многозначных чисел на 9, 99, 999 и т.д. Чтобы   умножить   любое   число   на   число,   написанное   девятками,   надо   к   первому множителю   приписать   справа   столько   нулей,   сколько   девяток   во   втором   множителе,   и   из результата вычесть первый множитель.2  Все знают, что очень легко умножать числа на 10, 100, 1000 и т.д. Достаточно приписать в конце второго множителя нужное количество нулей. Умножать на 11 чуть сложнее, чем умножать на 10. Закономерность здесь такая: 1 См. приложение, пример1 2 См. приложение, пример 2 когда   мы   умножаем   на   11   двузначное   число,   мы   замечаем   что   последней   цифрой произведения всегда остается цифра, стоящая в разряде единиц другого множителя; в разряд десятков произведения попадает сумма цифр этого множителя; а в разряде сотен чаще остается первая цифра нашего множителя, т.е. 9 32 11= ? 1) в разряде единиц произведения будет стоять цифра 2; 2) в разряде десятков 3+2=5 3) в разряде сотен цифра 3 4) Ответ: 32 11=352 Исключение   составляют   числа,   сумма   цифр   которых   выражена   двузначным   числом, например число 85: 8+5=13, а мы знаем, что в каждом разряде есть место только для одной цифры.   Значит,   в   разряд   десятков   пойдет   последняя   цифра   3,   а   единицу   мы   перекинем   в следующий разряд, т.е.8+1=9 85 = 9353  Можно сформулировать правило умножения на 11 всякого многозначного числа 1) в искомом произведении записать цифру единиц множимого; 2) складывать последовательно попарно рядом стоящие цифры множимого и записывать полученные суммы в очередных разрядах произведения (если получается сумма больше 9, то писать только последнюю цифру, а единицу относить в очередной разряд); 3) в наивысшем разряде произведения окажется наивысшая цифра множимого или на 1 больше. Например,  76 423  1) ....3; 2) 3+2=5; 3) 2+4=6; 4) 4+6=10; 3 См. приложение, пример 3 10 5) 1+6+7=14; 6) 1+7=8 76 423  Умножение на 111 Научившись умножать на 11, легко умножить на 111, 1111. и т. д. число, сумма цифр  которого меньше 10. Примеры: 24 × 111;                2 (2+4) (2+4) 4 ;             24 × 111 = 2664; 36 ×111;                 3 (3+6) (3+6) 6 ;             36 ×111 = 3996; 17 × 1111;              1 (1+7) (1+7) (1+7) 7;    17 × 1111 = 18887. Правило. Чтобы число умножить на 11, 111. и т. д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на один,  два, три и т. д. шагов, сложить цифры и записать между раздвинутыми цифрами. Умножение двузначных чисел на 101, трехзначных – на 1001 Правило.  Чтобы   двузначное   число   умножить   на   101,   надо   к   этому   числу приписать справа это же число. Примеры:   32 × 101 = 3232      48 × 101 = 4848; 56 × 101 = 5656. Правило. Чтобы трехзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число. Примеры: 324   1001 = 324324 648  1001 = 648648; 999   1001 = 999999. Для освоения следующих способов мы должны отлично знать таблицу умножения, хотя 11 бы в пределах 2. Умножение и деление на 4 Умножение, как и деление на 4 и 8, соответствуют двукратному и трехкратному умножению и  делению на 2 в каждом конкретном случае. Действия производятся последовательно 4 Следует так же помнить признаки делимости на 4 и на 8: 1) число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4.  2) число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8 Умножение на 5 Большинство людей быстро запоминают таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее. Этот   прием   невероятно   прост.  Математики   вывели   закономерность,   по   которой умножение на 5 практически приравнивается к делению на 2.5  Чтобы умножить число на 25, иногда проще его разделить на 4, а после увеличить в 100 раз (или приписать два нуля). Ведь умножение на 25 отчасти эквивалентно делению на 4: 8 25 = 8:4 100 = 200 Деление на 5  195 : 5 = 39  Делимое умножить на 2 195×2 = 390 Перенести  запятую влево на один знак 39,0 или просто 39. 2978 : 5 = 595,6 Делимое умножить на 2 Перености  запятую влево на один знак Быстрое возведение в квадрат 2978×2 = 5956 595,6 Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается  на 5.  4 См. приложение, пример 4 5 См. приложение, пример 5 12 Умножить  первую цифру первого множителя  на первую цифру, увеличенную на единицу,  второго множителя: 8   (8 + 1) = 72 Дописать к получившемуся результату 25 7225 45   45 = 2025 Умножить  первую цифру первого множителя  на первую цифру, увеличенную на единицу,  второго множителя: 4   (4 + 1) = 20 Дописать  к получившемуся результату 25 2025 Глава 2. Экспериментальная часть Эксперимент №1 Изучение потребностей учеников 5­ 6 классов в изучении данной темы. Для того, чтобы выяснить актуальность исследуемой темы мы решили провести опрос   среди учащихся 5­6 классов нашей школы. Опрос проводился посредством анкетирования.  Респондентам были заданы следующие вопросы: 6 6 См. приложение, стр. IV 13 Рис.1. Анализируя ответы, хочу отметить: 1) почти половина опрошенных учащихся считают, что им приходится часто производить сложные математические вычисления; 2) 45% опрошенных считают, что они владеют навыками быстрого счета; 3) практически  все хотят повысить  свой  уровень вычислительных  навыков и готовы  это делать для своего интеллектуального развития; 4) учащиеся стараются не использовать при счете калькулятор, а лишь только проверяют с его помощью свои вычисления; 5) 68%   опрошенных   готовы   тратить   свое   свободное   время   на   ежедневные   тренировки вычислительных навыков. Вывод: у учащихся есть потребность в приобретении новых навыков быстрого счета и многие готовы потратить свободное время на их освоение. Эксперимент №2 Диагностика вычислительных навыков Практическая   часть   включает   в   себя   изучение   динамики   развития   вычислительных навыков.   Была   выдвинута   следующая   гипотеза:  владение   приемами   быстрого   счета   дает возможность   сократить   время   вычислений,   и   повышает   работоспособность   мозга.  Объекты исследования: учащиеся 5б, 6а и 6б классов. Этапы исследования: 1. Проверка имеющихся навыков счета;  2. Изучить известные способы быстрого устного счета; 3. Провести повторную диагностику; 4. Подвести результаты исследования. Для проверки имеющихся навыков вычисления мы составили 16 примеров. На первом   этапе (октябрь  2016 года)  учащимся   было  предложено     найти  их  значения   за  5 минут,  но работа 14 показала,   что   за   отведённое   время   удалось   справится   лишь   с   8­9   примерами.   В   ходе эксперимента   было   решено   увеличить   время   вдвое.   При   проверке   было   зафиксировано: практически все примеры выполнялись в столбик. Результаты работы приведены в приложении. 7 Следующим этапом нашей работы (октябрь­декабрь) был поиск, изучение  и отработка способов облегчающих   вычисления.   После     этого   (январь   2017   года)   был   проведен   повторный   срез, который показал, что учащиеся в 1,5 раза быстрее справились со своими заданиями, допустив гораздо меньше ошибок и действий выполненных в столбик было в 2 раза меньше. Результаты работы приведены в приложении. 8 В работах  учащихся    уверенно прослеживается  динамика  развития вычислительных  навыков приемов  быстрого счета. Рис.2. Динамика развития вычислительных навыков учащихся  Вывод: наша гипотеза о том, что приемы быстрого счета существуют и с их помощью можно улучшить вычислительные навыки, верна, необходимо  лишь постоянно тренировать свои умения.  Способность  считать     быстро  в уме  надо  развивать,  независимо  от  математических способностей. Заключение Незаметно для себя мы утрачиваем навыки быстрого и точного счета и порой с большим опозданием понимаем, что это наше слабое место. Однако умение быстро считать в уме является неоспоримым   преимуществом   и   достоинством   того,   кто   таковым   умением   обладает. Способности   к   вычислениям   будут   постоянно   поддерживать   человека     в   хорошей   форме   и развивать его умственные способности, что особенно важно в период обучения. 7 См. приложение, стр.V 8 См. приложение, стр. VI 15 Для   этого   нам   понадобится   каждый   день   тренировать   свой   мозг.   Если   уделять упражнениям устного счета по 15­20 минут в день, мы уже в первые дни заметим результат. В процессе счета очень   важную роль играет развитие памяти. Чем лучше развита память, тем быстрее запоминаются наиболее частые комбинации. Я считаю, что необходимо знать технику быстрых вычислений и уметь применять их в практической   деятельности.   В   данной   работе   я  разобрала   некоторые   нестандартные   приемы вычислений. Вышеперечисленные  способы быстрого устного счета рассчитаны на "обычного" человека и не требуют уникальных способностей. Главное ­ более или менее продолжительная тренировка.   В   заключение   подчеркну,   что   устный   счет   развивает   механическую   память, быстроту  реакции,  умение  сосредоточиться,   а  поиски  и   обоснование  новых  приемов  служат формированию логических умений. Думаю, что полученные мной знания позволят мне избежать ошибок и сэкономить время при вычислениях. Нужно только стараться и усердно работать! Список литературы 1. 1. 2. 3.  Бенжамин А. Матемагия. Секреты ментальной математики: ­ (eBook), 2014 – 247 с. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5­6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.: ил. Зимовец К.А., Пащенко В.А. Интересные приемы устных вычислений. //Начальная школа. – 1990, №6. ­ с.44 ­ 46.  Коликов А.Ф., Коликов А.В. Изобретательность в вычислениях.­ М.: ДРОФА, 2003­ 80 с. 4. Минаева   С.С.   Вычисления   на   уроках   и   внеклассных   занятиях   по   математике.   ­   М.: Просвещение, 1983 – 183 с.  5. 6. http://matsievsky.newmail.ru/sys­schi/file15.htm  httphttp://gzomrepus.ru/exercises/production/   Упражнения   на   продуктивность   и   быстрый устный счет 16 Приложения Пример 1. Вычитание из 1000 1000­648 = 352 9­6=3 9­4=5 10­8=2 352 Пример 2. Умножение многозначных чисел на 9, 99, 999 и т.д. 167  Приписать справа к первому множителю  столько нулей, сколько девяток во втором  множителе 1670 Из результата вычесть первый множитель 1670­167 = 1503 26  Приписать справа к первому множителю  столько нулей, сколько девяток во втором  множителе 26000 Из результата вычесть первый множитель 26000­26 =25974 Пример 3. Умножение двузначных чисел на 11 53   11 = 583 ii 1. Сложить две цифры двузначного числа 2.  Поставить результат между двумя числами  двузначного числа 5 + 3 = 8 583 59   11 = 649 1. Сложить две цифры двузначного числа 5 + 9 = 14 2. Если сумма на предыдущем шаге оказалась больше 9,  перебросить единицу налево 3.На первый символ мы единицу уже перекинули,  получили 6. Далее у нас осталась 4, которую ставим в  центр, и дописываем 9: 5 + 1 = 6 (справа остается второй символ, в данном случае это четверка) 649 Пример 4. Умножение и деление  многозначных чисел 4 и 8 58×4 =232 2032:8 =254 Первый множитель умножить на 2  Умножить на 2 результат первого шага Делимое разделить на 2 Разделить на 2 результат первого шага Разделить на 2 результат второго шага 58×2=116 116 232 2032:2 =1016 1016:"2= 508 508:2=254 Пример 5. Умножение многозначных чисел 5 2682 ×5 =13410 iii Разделить на 2 первый множитель 2682 : 2 = 1341 Если в результате получилось целое число,  приписать  в конце 0. 13410 5887×5 = 29435 Разделить на 2 первый множитель 5887 : 2 = 2943,5 Опустить запятую 29435 Анкетирование 1 Вам часто требуется  производить сложные  математические  действия? 2  Умеете ли вы быстро  считать? 3 Хотели бы вы  научиться быстро  считать в уме? 4 Как часто Вы  пользуетесь  калькулятором?  5 Вам всегда удобно  пользоваться  калькулятором? 6  Нужно ли  современному  человеку быстро  считать в уме?  7 Вы бы стали учиться  считать быстро для  своего  интеллектуального  развития? 8 Вы готовы тратить  время на ежедневные  тренировки своих  навыков счета? Да­ не хочу Всего обработано 62 анкеты да количество нет % количество 30 28 57 3 7 61 59 48 45 92 5 11 98 95 19 24 4 37 45 1 3 % 31 39 6 60 72 2 5 42 68 19 31 iv % 21 16 0 35 5 0 0 2 иногда количество 13 10 0 22 3 0 0 1 v Анализ выполнения практической части работы: I этап (октябрь 2016 года) Пример Справились Не справ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16  2682 х 5  176 х 25  3241 х 9 2617х 99 1832х 999  57 х 11  76 х 22 152 : 2 164 : 4 98 х 50 29 х 111 36 х 101 45х 1001 85 х 85 87 х 4 135 : 5 77% 76% 63% 43% 32% 81% 77% 82% 71% 69% 73% 63% 58% 18% 31% 34% 23% 24% 37% 57% 68% 19% 23% 18% 29% 31% 27% 37% 42% 82% 69% 66% vi II этап (январь 2017 года) Пример  2682 х 5  176 х 25  3241 х 9 2617х 99 1832х 999  57 х 11  76 х 22 152 : 2 164 : 4 98 х 50 29 х 111 36 х 101 45х 1001 85 х 85 87 х 4 135 : 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Справил ись Не справ. 84% 81% 69% 53% 51% 87% 85% 90% 87% 90% 82% 79% 76% 55% 57% 65% 16% 19% 31% 47% 49% 13% 15% 10% 13% 10% 18% 21% 24% 45% 43% 35% Обработано 62 работы