Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением называется уравнение , в котором содержится независимая переменная х ,искомая функция у и ее производные ( или дифференциалы функции и аргумента).
дифференциальное уравнение порядка.
Порядком дифференциального уравнения является наивысший порядок производных, входящих в данное уравнение. Общим решением дифференциального уравнения называется функция
y=) , обращающая данное уравнение в тождество. Количество постоянных зависит от порядка уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях постоянных
Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными
Пусть -дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Заменим у′= , тогда уравнение примет вид:,
разделим переменные проинтегрируем обе части уравнения
Получим общее решение:
Пример 1. Решение уравнение и найти его частное решение, удовлетворяющее условие y=3, при
Решение: т.к. Разделим переменные
Интегрируя обе части уравнения, получим
Пропотенцировав, получим - общее решение. Найдем частное решение при
Частное решение имеет вид
Ответ:
Пример 2. Решение дифференциальное уравнение 2-го порядка
его частное решение при
Решение: Уравнения такого типа решается методом двойного интегрирования.
Обозначим
Проинтегрируем данное уравнение Получим Заменим
Проинтегрируем уравнение
Подставим в уравнение
Подставим в общее решение значения и найдем значение
Подставим значения в общее решение и получим частное решения
Ответ: – общее решение,
схема решения дифференциального уравнения первого порядка с разделенными переменными
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.