Статья на тему "Дифференциальные уравнения"

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение , в котором содержится независимая переменная х ,искомая функция у и ее производные ( или дифференциалы функции и аргумента).

 дифференциальное уравнение  порядка.

Порядком дифференциального  уравнения является  наивысший порядок производных, входящих в данное уравнение. Общим решением дифференциального уравнения  называется  функция

y=) , обращающая данное уравнение в тождество. Количество постоянных зависит от порядка уравнения.

Частным решением  дифференциального  уравнения  называется решение, полученное из общего решения  при фиксированных значениях постоянных

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

Пусть  -дифференциальное уравнение   с разделяющимися переменными. Заменим  у′= , тогда уравнение примет вид:,

разделим переменные  проинтегрируем обе части уравнения

Получим общее решение:  

Пример 1. Решение уравнение  и найти его частное решение, удовлетворяющее условие y=3, при

Решение: т.к.  Разделим переменные  

Интегрируя     обе части уравнения, получим   

Пропотенцировав, получим - общее решение. Найдем частное решение при  

Частное решение имеет вид

Ответ:  

Пример 2. Решение дифференциальное уравнение 2-го порядка  

его частное решение при  

Решение: Уравнения такого типа решается методом двойного интегрирования.

Обозначим

Проинтегрируем данное уравнение Получим  Заменим

Проинтегрируем уравнение

Подставим в уравнение

Подставим в общее решение значения  и найдем значение

Подставим значения  в общее решение и получим частное решения

Ответ:  – общее решение,

 схема решения дифференциального уравнения первого порядка с разделенными переменными