Статья "Изучение симметрии в школьном курсе математики"

Изучение симметрии в школьном курсе математики Перед учителем средней школы стоит задача формирования представления о таком феномене,   как   симметрия.   Изучение   осевой,   центральной   и   зеркальной   симметрии позволяет учащимся получить достаточно широкое представление о симметрии, причем не только на плоскости, но и в пространстве. Основные   цели   изучения   симметрии   в   курсе   средней   школы   можно   определить следующим образом:      дать представление о симметрии в окружающем мире; познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;  научить изображать симметричные фигуры;  расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанными с симметрией;  показать   возможности   использования   симметрии   для   геометрических построений. По преданию термин  «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский, живший в городе   Регул.   Отклонение   от   симметрии   он   определил   термином   «асимметрия».   О   нем   нам говорили как о первом скульпторе, в творчестве которого была сделана попытка соблюсти ритм и соразмерность. Кроме того, Пифагор прославился реалистическим изображением человеческих жил, вен и волос.  Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна. Считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, они делали вывод о сферичности Земли   и   её   движении   по   сфере   вокруг   некоего   «центрального   огня»,   где   двигались   также   6 известных   тогда   планет   вместе   с   Луной,   Солнцем,   звёздами.  Древнегреческий   философ   и математик   Пифагор   Самосский   (VI   в.   до   н.э.)   и   пифагорейцы   предпочитали   вместо   слова «симметрия»  пользоваться словом «гармония». Последователи Пифагора Самосского пытались связать  симметрию  с  числом.   Каждой   вещи,  учили  пифагорейцы,   соответствует   определённое отношение чисел, которое они называли логосом. Поэтому познание вещей заключалось для них познанием логоса. Гармония  является божественной и заключается в числовых отношениях. Широко используя идею гармонии и симметрии, учёные древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам, для построения которых они использовали   «золотое   отношение».   У   правильных   многогранников   грани   –   правильные многоугольники   одного   вида,   а   углы   между   гранями   равны.   Древние   греки   установили поразительный   факт:   существует   всего   пять   правильных   выпуклых   многогранников,   названия которых связаны с числом граней, ­ тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр.  Все правильные многогранники обладают и зеркальной, и поворотной симметрией. А идея симметрии   являлась   отправным   пунктом   для   учёных   прошлых   веков   в   теориях   о   строении материи и Вселенной. Правильные многогранники изучал и сам Пифагор Самосский (V в. до н.э.), математик, философ, религиозный авторитет, основатель одной из первых математических школ. Но   впервые   их   подробно   описал   Платон,   поэтому   математики   стали   называть   эти   фигуры Платоновыми   телами.   Платон   сводил   гармонию   к   пространственной   симметрии.   По   Платону космос сферичен, а в центре сферы расположена Земля. И пифагорейцы, и Платон полагали, что материя состоит из четырёх основных элементов – огня, земли, воздуха и воды. Согласно их теории, атомы этих элементов имели форму Платоновых тел: атомы огня – форму тетраэдра, земли – форму куба, воздуха – форму октаэдра, а атомы воды – форму икосаэдра. Додекаэдр считался местожительством богов, неким эфиром. Толковый   словарь   живого   великорусского   языка   В.И.Даля:   СИММЕТРИЯ   ж.   греч, соразмер,   соразмерность,  равно   (или   разно)   подобие,   равномерие,   равнообразие,   соответствие, сходность; одинаковость, либо соразмерное подобие расположенья частей целого, двух половин; сообразие,   сообразность;   противоравенство,   противоподобие.   Симметрическое   расположенье дома,   фасада,   равнообразное   на   обе   половины.   Полная   симметрия   докучает,   а   изящное разнообразие красит и тешит вкус. Словарь синонимов русского языка: Симметрия ­ см. согласие, соответствие. С понятием «симметрия» учащиеся знакомы из повседневной жизни, занятий рисованием, моделированием и т.п., поэтому, прежде чем переходить к математическому его толкованию, необходимо   вычленить   в   сознании   учащихся   общекультурное   понимание   этого   феномена. Демонстрируя   учащимся   различные   фотографии   и   слайды,   рисунки   и   репродукции   картин   с изображениями   проявлений   симметрии   в   природе   (бабочка,   снежинка,   кристалл   минерала),   в продуктах   человеческой   деятельности   (народные   орнаменты,   древнегреческие   амфоры, исторические   и   современные   здания),   учитель   формирует   представление   о   симметрии   как гармонии, соразмерности, порядке. Рассмотрим основные виды симметрии: 1. Осевая симметрия Понятие осевой симметрии является самым доступным и понятным для учащихся.      первые представления об осевой симметрии.  исследование   свойств   точек,   симметричных   относительно   прямой,   и   построение точки, симметричной данной относительно прямой  фигуры, симметричные относительно прямой.  построения,   выполняемые   циркулем   и   линейкой.   Следующим   упражнением, которое   может   быть   выполнено   с   опорой   на   рассмотренную   конфигурацию, является построение серединного перпендикуляра к отрезку. Последовательность необходимых действий в виде вербального и наглядного описаний (рис. 13) задана в учебнике. 2. Центральная симметрия Формирование представления о центральной симметрии целесообразно осуществлять по той же схеме, что и формирование представления об осевой симметрии:   наглядное   представление   о   центральной   симметрии   на   основе   предметного моделирования, в качестве которого используется поворот точки вокруг центра на 180о с помощью циркуля; свойства   точек,   симметричных   относительно   центра,   и   построение   точки, симметричной данной относительно некоторой точки;  фигуры, симметричные относительно точки;  центрально­симметричные фигуры. 3. Зеркальная симметрия Изучение   этого   раздела   не   только   позволяет   сформировать   достаточно   полное представление   о   симметрии,   но   и   «выйти   в   пространство»,   продолжить   формирование пространственного воображения. Для изучения темы необходимо, чтобы каждый учащийся имел   несколько   пространственных   тел,   вылепленных   из   пластилина.   Это   должны   быть конус, куб, цилиндр, шар. Напомните   учащимся,   что   есть   еще   один   вид   симметрии,   с   которым   они сталкиваются   ежедневно,   глядя   на   себя   в   зеркало.   Это   зеркальная   симметрия.   Здесь полезно провести  аналогию между осевой и  зеркальной симметриями: ось  и плоскость симметрии,   симметричные   фигуры   равны   (правда,   в   пространстве   равенство   проверить наложением нельзя). Учащиеся догадаются, что аналогично кругу на плоскости, имеющему бесконечно   много   осей   симметрии,   в   пространстве   бесконечно   много   плоскостей симметрии имеет шар. Далее учитель может переходить к обсуждению свойств шара, конуса, цилиндра и куба,   связанных   с   симметрией.   Учащиеся   при   этом   работают   с   имеющимися   у   них моделями.   Они   сначала   визуально   определяют   и   обсуждают,   как   должна   проходить плоскость симметрии, а затем проверяют это, разрезав модель. На проекционный чертеж (выполненный на доске или интерактивной доске) один из учащихся наносит плоскость симметрии. Далее обсуждается, есть ли еще плоскости симметрии у этого тела, как они расположены;   найденные   плоскости   также   наносятся   на   чертеж.   Когда   все   плоскости найдены, учитель должен обратить внимание учащихся на то, какие фигуры получились в сечении, образованном плоскостью симметрии, какую вообще форму могут иметь сечения данного тела. При рассмотрении цилиндра учитель может предложить учащимся подумать, всегда   ли   плоскость,  разделившая   тело  на  две   равные  части,   является  его  плоскостью симметрии.   В   качестве   ответа   на   этот   вопрос   учащиеся   могут   разрезать   необходимым образом имеющуюся у каждого из них модель. Можно выполнить и такое упражнение: после исследования куба учитель выкладывает из равных кубов многогранник, а учащиеся определяют, есть ли у него плоскости симметрии и как они расположены; затем можно предложить им мысленно составить из трех кубов фигуру, обладающую симметрией, и зарисовать ее в тетради. «Узоры   математики,   как   и   узоры   художника   или   узоры   поэта,   должны   быть красивы;   идеи,   как   и   краски   или   слова,   должны   сочетаться   гармонически.   Красота является первым критерием:  в мире  нет места  для безобразной математики»   (Дж. Х. Харди).