Статья по математике "Извлечение квадратных корней методом последовательных приближений" (8-10 кл.)

УДК 51­32 «ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ» А.И.Зайнулабидова, учeница  10 «а» клaссa МБОУ «Гимнaзия №35»,   г. Мaхaчкaлa,  Рeспублика Дaгeстaн РФ.  e­mail: aishat­[email protected]  П.М.Хуриялова, учитель математики МБОУ «Гимнaзия №35»,   г. Мaхaчкaлa,  Рeспублика Дaгeстaн РФ. e­mail: [email protected] Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах. Г.Цейтен. Аннотация:  В   статье   рассматриваются   способы   вычисления   квадратного   корня произвольного   числа   с   использованием   технических   средств   и   без   них. Приводится сравнение различных методов извлечения квадратного корня по ряду параметров и областей их практического применения с помощью программы на языке Паскаль. Ключевые   слова:   Квадратный   корень,   извлечение   квадратного   корня, численные методы. Abstract:  The article overviews different ways to calculate square root of a given number without technical assistance. A comparison of different methods of square root extraction by different parameters and areas for their application is given. Keywords: Square root, square root extraction, numerical methods.                Современный человек уже привык к тому, что любые вычисления могут быть сделаны за него. Подобное мышление может иногда помешать и люди   могут   оказаться   беспомощными,   если   не   имеют   доступ   к калькулятору.   Многие   даже   не   подозревают,   что   «вручную»   извлечь квадратные корни не только возможный, но и интересный процесс. Мне стало интересно, возможно ли находить значение квадратного корня «от   руки»?   При     изучении   темы   «Квадратные   корни»   по   алгебре   и «Теоремы   Пифагора»   по   геометрии   в   8   классе,   квадратные   корни   в основном   извлекали   разложением   на   простые   множители,     графическим методом, с помощью таблицы и калькулятора, поэтому тема «Извлечение квадратных корней с использованием технических средств и без них» имеет большое значение в школьном курсе математики. Как нам известно, люди научились   извлекать   корни   задолго   до   изобретения   электронно­ вычислительных машин. Если даже подкоренное выражение многозначное, на   ОГЭ   и   ЕГЭ   без   таблицы   квадратов   для   двузначных   чисел   можно справиться легко, если знаешь способы извлечения квадратных корней. Мы   следующие   способы   извлечения   квадратных   корней: рассмотрели   разложение   на   простые   множители,   отбрасывание   полного   квадрата, формула   древнего   Вавилона,   метод   Ньютона,   таблица   квадратов двузначных чисел, канадский метод, через решение уравнения, графический метод, деление на пары через  составление ребуса, метод последовательных приближений, метод подбора угадыванием и т.д.  Актуальность  исследования:  задания   на   извлечение   квадратного   корня часто встречаются в практических вычислениях и в быту, в школьном курсе математики,   а   также   в   заданиях   ОГЭ   и   ЕГЭ.   Способы     извлечения квадратного корня с использованием электронных средств и без них, станут хорошим дополнением к школьному курсу алгебры и геометрии. Цель   работы:  изучить   методы   извлечения   квадратных   корней  с использованием   технических   средств   и   без   них,  путем   сравнения   найти самый  рациональный из них.             Гипотеза:   существует много способов извлечения квадратного корня без применения калькулятора и таблиц. В   основном   при   решении   задач,   содержащих   квадратные   корни, пользуются   способом   разложения   данного   числа   на  простые   множители, используя   признаки   делимости,   способ   использования   таблицы   квадрат двузначных   чисел,   формулой   Древнего   Вавилона     √а2+b≈a+ b 2a , канадским методом ­ точность этого метода – не более двух – трёх знаков после   запятой: √x   ¿√s + x−s 2√s ,  через   решение   уравнения,  способом отбрасывания полного квадрата  (только у 4­хзначных чисел) ­ применим только   для   извлечения   квадратного   корня   из   точного   квадрата, графическим   методом.  Но   мне   хотелось   бы   подробно   остановиться   на извлечение квадратного корня делением на пары через  составление ребуса (столбиком) и методом последовательных приближений. Деление на пары через  составление ребуса ­ универсальный способ, так как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на   конце   числа)   требует   логики   и   хороших   вычислительных   навыков столбиком. Он трудоёмкий, но очень точный.            Разобьем цифры испытуемого числа 748 на пары справа налево,  общее число образовавшихся пар даст нам число цифр искомого корня­2.  Первая цифра 7 ­ целочисленное значение корня из первой пары с  недостатком ­цифра 2(может быть и одна цифра в первой паре), запишем ее в ответ, возведем в квадрат, вычтем из первой пары и сносим к результату  вычитания следующую пару, получится число 348. Для определения второй цифры слева от полученного числа проведем вертикальную прямую и  запишем за ней на место десятков удвоенную первую цифру: 2*2=4. Она  становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число  единиц, необходимо получить число меньшее 348  (это цифра 7, и  47∙ 7 = 329).  7 ­ вторая цифра числа. Найдем разность (348­329=19), за следующую пару берем нули, так как число 27 не является  точным квадратом числа  748,  получим число 1900, удваиваем число: 27*2=54, 54 десятка в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны  получить число меньшее 1900 (543∙3=1629), цифра десятых (3). Далее  процесс повторяется.  Метод последовательных приближений в извлечении квадратных  корней употребляли в древнем Вавилоне задолго до нашей эры. Его  применял и александрийский математик Герон. Потом этот способ был  заброшен, но сейчас к нему прибегают иногда для извлечения квадратных  корней на электронных вычислительных машинах. При   извлечении   квадратного   корня   из   любого   положительного   числа √a, мы   выбираем   некоторое   начальное   приближение   х1 ,   а   потом определяем следующие приближения по формуле        xn+1= 2 a+xn 2xn При применении обычного метода извлечения квадратных корней любая ошибка,   допущенная   в   каком­то   месте,   полностью   обесценивает дальнейшие вычисления. Любой выбор начального приближения в методе последовательных   приближений   приводит,   в   конце   концов,   к   значению √a   с   нужной   степенью   точности.   Благодаря   отмеченной   особенности процесса приближений в начале расчета можно вычислять приближения с меньшей точностью и лишь для последних приближений брать заданную точность. Это сокращает время, затрачиваемое на расчет. Выводы: составив программы для извлечения корней  методом   последовательных приближений и  «Деление на пары через составление ребуса»,  самым рациональным и точным является способ  последовательных приближений, извлечение квадратного корня без  калькулятора не только возможно, но еще и очень увлекательно.  Различные способы могут оказаться полезны в разных ситуациях, но  независимо от этого они предоставляют отличный способ удивить  знакомых и натренировать свой математический ум. Я считаю, что  материалы этой работы отлично подойдут как дополнение к курсу  математики  8­10 классов. Программа извлечения квадратного корня на языке Паскаль: Program AddNums(output); var x,max,min,m,kmax,kmin,i,k:integer; kx:real; begin     x:=1450;     for i:=2 to 100 do       begin m:=i*i;             if m>x then                 begin max:=i; break                end;       end;       min:=max­1;       kmax:=max*max;       kmin:=min*min;       if x­kmin