Статья по математике "Методы решения логарифмических уравнений".

Статьи по математике Статья по математике 2 0 1 8 Методы решения логарифмических уравнений. В этой статье мы рассмотрим семь методов решения логарифмических уравнений и разберем примеры к ним. В школьном курсе алгебры логарифмическим уравнениям уделяется недостаточно внимания, несмотря на то что они представлены в экзаменационных заданиях. К тому же отсутствует система изложения методов решения логарифмических уравнений.  Так как при   решении   логарифмических   уравнений   в   школе   применяются   тождественные преобразования, то чаще всего возникают ошибки, которые обычно связаны с потерей или приобретением   посторонних   корней   в   процессе   решения.   Поэтому   необходимо рассмотреть такие ситуации, показать, как их распознавать и как с ними можно бороться.  Цель   данной   статьи:   рассмотреть   методику   обучения   решению   логарифмических уравнений  в школе, а также  выявить  возможности использования  общих методов  при решении логарифмических  уравнений. Применение разработанной методики   позволит учащимся   решать   логарифмические   уравнения,   а   в   дальнейшем   и   неравенства   на сознательной основе, выбирать наиболее рациональный метод, применять разные методы решения, в том числе те, которые не рассмотрены в школьных учебниках. I. Решение уравнений, основанное на определении логарифма. Пример 1.                       = 4 (Проверка не нужна, уравнения равносильны) Ответ:  4. II.  Решение логарифмического уравнения вида   основано на   том,   что   такое   уравнение   равносильно   уравнению  f(x)   =  g(x)  при   дополнительных условиях  . При данном переходе могут появляться посторонние корни, которые   можно   выявить   либо   с   помощью   подстановки   (проверки),   либо   с   помощью нахождения области определения исходного уравнения. Пример 2.   1 Статьи по математике 2 0 1 8 Ответ:  ­ 3. 1 Статьи по математике III. Решение уравнений потенцированием. Пусть a и b – произвольные числа и с>0,   Тогда  2 0 1 8 . Переход  к равенству   называют потенцированием равенства     от равенства  по основанию с. Пример 3.  Найдем область допустимых значений данного уравнения:     . Таким образом Потенцируем по основанию (x – 6). x =        Так   как     не   удовлетворяет   ОДЗ,   то   решением   данного уравнения является  Пример 4.   Найдем область допустимых значений данного уравнения:     ;   Потенцируем по основанию 2. Применяем свойство степени.       Так   как     не   удовлетворяет   ОДЗ,   то   решением   данного уравнения является  1 Статьи по математике 2 0 1 8 IV. Примениение основного логарифмического тождества. Пример 5.   Найдем область допустимых значений данного уравнения:   .                 +             Сделаем замену переменной  . ;      ;    ;     как     не удовлетворяет ОДЗ, то решением данного уравнения является  V.   Введение новой переменной. Пример 6.   Пусть    ;    ;   .    1 VI.   При решении уравнений, содержащих переменную и в основании и в показателе  Статьи по математике 2 0 1 8 степени используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени  содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию  этого логарифма. Пример 7.             ОДЗ:   х >    Пусть  ;    ;   ;  VII.   Переход к другому основанию. Пример 8.    ОДЗ:   .  Перейдем к основанию 2.   Пусть   . 1 Статьи по математике 2 0 1 8 Уравнения для самостоятельного решения:                               Ответ:  4,5;  6                                           Ответ:  5                                      Ответ:                  Ответ:  1                           Ответ:  3                         Ответ:  4                                    Ответ:  1;  2  1.   2.  3.   4.   5.   6.   7.   1