Статья "Структура и содержание изучения задач, связанных с наибольшими и наименьшими значениями". "

Методика   изучения   задач   повышенной   сложности, связанных с наибольшим и наименьшим значениями, в курсе средне школы (и подготовки к ЕГЭ) Вопросы, рассмотренные в данной статье, представляются мне наиболее важными поскольку затрагивают с одной стороны само   онтологическое   оправдание   математики   (не   секрет,   что время от времени слышатся вопросы учеников, родителей и даже общественно­политических   движений:   «А   зачем   нужна   эта математика в жизни?», «Не лучше ли обойтись обзорным курсом, где   не   надо   страдать   над   решением   задач?»,   «А   не   стоит   ли оставить в школе только 4 предмета?», так и глубокую связь между   средним   и   высшим     образованием,   а   также   между изучаемым предметом и практической деятельностью Работа   по   изучению   темы   затрагивает   все   многообразие методов,   используемых   в   школьной   и   университетской математике,   привлекая   золотой   фонд   олимпиадных   задач, накопленный за минувший век, позволяет учащимся относиться к задачам   высокого   уровня   Единого   государственного   экзамена как к старым знакомым, принявшим  новое обличие. При всей дискуссионности   вопросов,   связанных   с   ЕГЭ,  никто   не  может отрицать, что ушли в прошлое проблемы оформления задач, а на первый   план   вышли   наиболее   существенные   моменты формирования у школьников умений решать поставленную перед ним задачу. Инновационная   методика   позволяет,   опираясь   на пропедевтику   рассматриваемых   вопросов   на   раннем   этапе обучения, предложить обучаемым весь спектр средств решения: традиционный алгоритмический; переход к трактовке проблемы на   координатной   и   фазовой   (координатно­параметрический) плоскости;   применение   скалярного   произведения   векторов; неравенства Коши­Буняковского. Сравниваются эффективность различных   подходов   и   в   рамках   личностно­ориентированной педагогики вырабатывается индивидуальная стратегия обучения для каждого из учеников. Опираясь на систему обучения посредством активизации резервных   возможностей   личности,   я   разрабатывала   частные приемы,   воздействующие   на   эмоциональную   сферу   учащихся, учитывающие   их   индивидуальные   возможности,   уровень способностей,   особенности   памяти   и   другие   аспекты,   что позволило интенсифицировать учебный процесс, сделать уроки яркими   и   запоминающимися.   При   этом   были   созданы предпосылки и для самосовершенствования учителя, так как на мой взгляд для учащихся важны не столько ответы на извечные вопросы дидактики: Чему учить? Как учить, а прежде всего – Кому   учить?   Дидактика,   в   поле   зрения   которой   не   осталось места   ни   для   детей,   ни   для   учителя,   является,   безусловно, бесперспективный. Занимаясь   данной   технологией   много   лет,   я   пришла   к выводу,   что   ответ   на   каждый   поставленный   мной   вопрос содержит в себе новые вопросы, отвечать на которые придется уже   с   новыми   учениками   и   в   новой   обстановке.   Остается запастись энтузиазмом и продолжать свою работу. I. Технологические сведения об опыте. 1. Актуальность опыта. Среди   многочисленных   факторов,   которые   доказывают актуальность   описываемого   опыта,   прежде   всего   необходимо указать следующие:  практика обучения математике как в нашей стране, так и за рубежом, остается преимущественно экстенсивной, то есть направленной на решение как можно большего числа задач,   выработке   умений   и   навыков,   необходимых   для написания контрольных работ и сдачи экзаменов; при этом теряется глубина понимания и на первый план выдвигается владение  алгоритмом, а не  интеллектуальное  творчество учащихся;  в традиционном подходе (по указанным причинам) часто отсутствуют   задачи,   отвечающие   насущным   требованиям обучения   и   развития,   а   появление   в   последнее   время большого   количества   издательств,   бесконтрольно выпускающих   учебную   литературу,   которая   дает   в качестве   образцов   совершенно   неприемлемые   подходы   и методы   решения   задач,   только   усугубляет   и   без   того нелегкую ситуацию (см. приложение 1).  образование   до   сих   пор   рассматривается   как   отрасль производства,   где   все   учащиеся   обладают   одинаковыми способностями, имеют один и тот же тип памяти, одни и те же   психологические   особенности,   то   есть,   несмотря   на многолетние   усилия   лучших   педагогов   и   психологов остается безразличным к индивидуальности учащегося;  математическое образование в нашей стране сосуществует в   нескольких   параллельных   ипостасях:   школьная, абитуриентская,   олимпиадная   и   так   далее; многочисленные   платные   курсы   по   подготовке   к   ЕГЭ выполняют свою специфическую роль, но уровень знания математики при этом катастрофически падает;  в традиционном обучении практически не остается места и времени   на   поиск   решения,   на   формирование эвристических   умений   и   принятия   решений   в нестандартных ситуациях. 2. Педагогические задачи, решаемые в опыте. Я, разрабатывая структуру и содержание цикла математических задач, связанных с наибольшими и наименьшими значениями и относящимися   к   программному   материалу   различных   классов, успешно решаю следующие педагогические задачи:   принимать 1.   Формирование   умения   решать   задачи, самостоятельное решение в незнакомых ситуациях, критически оценивать собственные и чужие достижения: 2.   Оказываю   адресную   помощь   учащимся,   создавая   для   них индивидуальные   стратегии   обучения,   основанные   на   изучении особенностей каждого ученика; 3.   Инициирую   интерес   к   научному   знанию,   умению   самим ставить задачи, пониманию того, что научные задачи ­ в отличие от учебных, заканчиваются, как правило, новыми вопросами; 4.   Организую   в   связи   со   спецификой   темы   повторение   давно пройденного   материала   и   пропедевтику   изучаемого   в дальнейшем в неразрывном единстве с текущим материалом; 5. Синтезирую на своих занятиях идеи и методы, относящиеся к раз   личным   областям   математики,   а   также   разрешаю противоречия   между   наличествующими   в   настоящее   время ветвями математики: школьной, абитуриентской и олимпиадной. 3. Педагогические средства, используемые в опыте. По   моему   мнению,   невозможно   создать   оптимальную   систему педагогических средств, рассчитанных на каждого учащегося и приемлемых   любым   учителем.  Мастерство   педагога   как   раз   и состоит в том, что, работая с достаточно широким диапазоном педагогических   средств,   он   отбирает   в   каждом   конкретном случае   все   то   необходимое,   которое   позволит   ему   дойти   до сердца и ума каждого учащегося. Поэтому в практике моей работы имеется избыточный вариант педагогических средств. Прежде всего выделим типы уроков: 1.   Уроки   объяснения   первого   материала   (уроки­лекции   в   их разновидностях); 2. Уроки решения опорных задач; 3. Уроки развития техники решения задач (практикумы); 4. Уроки­консультации (на них вопросы задают только учащиеся, можно рассматривать их как опрос учителя классом); 5. Урок решения одной задачи; 6. Урок работы одного метода; 7. Уроки самостоятельной работы с элементами консультации (в этом случае вопросы задает уже учитель); 8. Уроки решения нестандартных задач; 9. Уроки составления задач; 10. Зачетные уроки; 11. Письменные контрольные работы; 12.   Уроки   анализа   результатов   зачета,   самостоятельных   и контрольных работ. Разумеется, многие уроки приходится давать смешанных типов — это все зависит от многих обстоятельств: уровня подготовки класса, характера изучаемого материала и даже положения урока в расписании. На   этих   уроках,   а   также   вне   их   —   на   дополнительных   и факультативных   занятиях  — я  реализую   следующие   средства, приемы, методы и формы работы. При изучении нового материла:  лекция   (институтского   типа).   Необходимость   включения таких лекций в систему диктуется работой по адаптации перехода   от   школьного   обучения   к   вузовскому, формирования   навыков   конспектирования   на   высокой скорости,   частое   отсутствие   контакта   между преподавателем вуза и студентами;  лекция   с   элементами   эвристического   диалога   (даже полилога);  лекция   с  параллельным   опросом  (иногда   даже  «скрытой камерой» проверяется домашнее задание);  лекция   ­   дискуссия:   в   ней   учащиеся   пользуются учебниками,   а   учитель   ведет   изложение,   отличное   от напечатанного.   связанные   с особенностями   изложения,   практическое   сравнивание сказанного и напечатанного;   Возникают   вопросы,  беседа с учащимися о возникших затруднениях при первой презентации материала;  обобщение   нового   материала,   выяснения   связи   с изученным;  решение   учителем   ключевых,   опорных   задач;   сравнение   предупреждение различных   способов   их   решения, возможных ошибок;  постановка задач на перспективу, эти задачи будут решены только   через   2—З   недели   и   содержат   какой­нибудь нестандартный прием. При углублении и закреплении нового материала:  решение обучающих самостоятельных работ с элементами консультации;  самостоятельное составление учащимися задач (в классе и дома, конкурс таких задач);  работа в парах у доски и за партой ­ последнее, особенно при решении вступительных экзаменов в МФТИ и МГУ;  решение   задач   устно,   иногда   только   составление   плана решения;  домашние сочинения “Как я решал задачу, но не решил” ­ это   один   из   самых   ценных   для   учителя   видов   работы. Следует   отметить,   что   часто,   начиная   работу   над   этим заданием,   ученик   прекращал   ее,   так   как   понимал,   как решить не поддавшуюся проблему;  индивидуальные домашние задания, дифференцируемые по уровню сложности;  работа над ошибками (в случае необходимости работа над ошибками, сделанными в работе над ошибками);  анализ изученных методов решения, дискуссия по поводу наиболее рационального из них. Необходимо отметить, что рациональность,   как   и   счастье,   каждый   понимает   по­ своему. Контроль пройденного материала осуществляется в виде  самооценки на основе представленного учителем на доске  решения задания; зачетов,   сдаваемых   друг   другу:   учитель   в   этом   случае является работы опрашиваемого и опрашивающего; наблюдателем   безмолвным      решения   упражнений­тестов   с   выбором   ответов   из предложенных;  письменных работ, имитирующих вступительные экзамены в раз личные вузы страны;  контрольных письменных работ;  анализа работ и работ над ошибками. 4. Технология опыта. С ростом педагогического опыта, подготовка учителя к уроку приобретает еще большее значение, чем в начале его трудового пути. Планирование учебного материала, продумывание его структуры и   содержания,   включает   в   себя   два,   на   первый   взгляд противоречащих друг другу, аспекта. С одной стороны, учитель сообщает учащимся главное содержание темы, наиболее важные вопросы,   надлежащие   контролю,   учит   отличать   основное   от второстепенного.   (С   другой   стороны   наиболее   сильно воздействующие на эмоциональную сферу элементы необходимо держать в секрете. Интеллектуальное потрясение, испытываемое школьниками   при   знакомстве   с   необычайными,   красивыми идеями,   примерами,   взятыми   из   «пограничных   районов»,   во многом   определяет   их   отношение   к   предмету.   Внимание   к деталям,   о   котором   так   вдохновенно   писал   Е.Н.   Ильин, необходимо   учителю   математики   не   в   меньшей   степени,   чем словеснику. Мне   идейно   близок   генезис   слова   «технология»   в   его ранней интерпретации ­ от греческого­ что означает “искусство». В своем понимании педагогической технологии я отталкиваюсь от   двух   тезисов   патриарха   мировой   методики   математики Дьердя   Пойа,   чьи   работы,   вероятно,   определяют   развитие педагогических   идей   в   грядущем   тысячелетии.   Полемически заостренные, они, тем не менее показывают две стороны работы каждого   учителя   математики:   «Преподавание   не   наука,   а искусство.   Это   мнение   высказывалось   столькими   людьми   и столько раз, что я даже чувствую себя неловко повторяя его.» (Д. Пойа Математическое открытие с. 288), и «Преподавание — это ремесло, и как каждое ремесло оно владеет массой приемов и хитростей. У каждого хорошего учителя имеются свои приемы, и этим каждый хороший учитель отличается от любого другого хорошего учителя.» (там же стр.290). При   продумывании   темы   к   подготовке   к   урокам,   я опираюсь   на   понятие   монтажа.   Так   как   я   работаю   в общеобразовательных   классах   обычной   средней   школы,   и,   в отличие   от   специализированных   математических   классов   и инженерно­технических   классов   в   лицеях,   в   обстановке постоянного   дефицита   времени,   то   большое   значение приобретает устное решение задач, или, иногда, без подробной записи. По мнению одного из создателей этого понятия, великого кинорежиссера   С.М.   Эйзенштейна,   «монтаж   есть   не   мысль, составленная   из   сцепленных   друг   с   другом   кусков,   а   мысль, возникающая в столкновении двух друг от друга независимых кусков». Монтажная проблематика вводит в сферу семиотики и лингвистики, а также психологии, поскольку затрагивает сами основы человеческого мышления. Несмотря на всю загадочность творческого процесса, есть, вне   всякого   сомнения,   определенные   общие   приемы,   которые сознательно   или,   чаще   всего,   бессознательно   используются представителями искусства и науки. Я   в   течение   продолжительного   времени   использую монтажные   приемы   при   разработке   структуры   и   содержания изучаемой   темы   и   подготовке   отдельных   уроков,   а   также наблюдаю   сходную   картину   у   многих   замечательных преподавателей   включения   техники   монтажа,   вероятно, бессознательно. Важнейшим  практическим  выражением  этих  идей можно считать в школьном преподавании «уроки одной задачи», когда при   решении   проблемы   сталкиваются   различные   методы   и происходит   поиск   «оптимального   решения   задач   на оптимизацию»,   а   также   «уроки   одного   метода»,   когда сталкиваются задачи из различных разделов. Все это значительно повышает эффективность урока. Понятие   о   монтаже   чрезвычайно   подвижно   и   может расширяться, и углубляться, обогащая педагогический процесс новыми   творческими   находками.   Касаясь   темы   изучения вопросов, связанных с наибольшими и наименьшими значениями, необходимо подчеркнуть, что здесь особенно важна   структура:   не   только   как   подготовлены   отдельные элементы уро ка, но прежде всего то, как они скомбинированы, то есть каким образом произведен их монтаж. Следует заметить, что как в кинематографе, так и в других областях   человеческой   творческой   деятельности   существует наравне с монтажными принципами и не монтажные, а также и антимонтажные, что имеет свою сверхзадачу и может являться предметом отдельного исследования. Одной   из   особенностей   применяемой   мною   технологии является   разработка   урока   для   отдельного   ученика   в   рамках общей концепции создания индивидуальной стратегии обучения для каждого. Учет индивидуальных особенностей учащегося, пробелов в знаниях,   выясненных   задатков,   личной   цели   в   обучении позволяет   на   конкретном   материале   разработать   эффективное средство   эмоционального   и   педагогического   воздействия   на учащегося,   заинтересовать   его   математикой   на   длительный период.   При   этом   не   является   парадоксальной   и   повышенная эффективность   подготовленного   урока   для   всех   остальных учащихся   класса.   Подобная   адресная   технология   не   является новой, например, для художественной литературы: подавляющее большинство оставшихся в мировой сокровищнице литературных произведений   —   стихов   и   прозы   создавались,   как   хорошо известно,   для   совершенного   определенного   адресата,   а   стали достоянием всех. Произведения же, предназначенные для всех, носят печать ремесленничества, не представляя собой явления культуры. Цикл упражнений на наибольшее и наименьшее значение для квадратного трехчлена, или функций вида  y=ax2+bx+c  при этом   можно   решить   всем   классом   в   сжатые   сроки.   Другим технологическим   приемом   является   составление   задач   и   их устное обсуждение по готовым чертежам. Следует отметить, что при пользовании этим приемом очень важно соблюдать чувство меры,   так   как   решение   большого   числа   однотипных   может быстро   наскучить   учащимся.   Особое   внимание   надо   уделить зрительному воздействию.   Даже   в   лучшем   в   мире   учебном   журнале   «Квант», используемый в рисунках и чертежах цвет не выполняет свои функциональные   обязанности.   А   между   тем   он   может   играть замечательную   роль   для   визуализации   решения   задачи   и мнемонического   помощника   для   учителя   и   учащихся. Действительно,   решая   задачу   на   построение   (или   на доказательство), можно первый шаг выполнить красным цветом, второй ­ оранжевым, третий ­ желтым и т.д. В результате цвета радуги, знакомые всем учащимся, помогают быстрее осмыслить структуру   решения   задачи,   обойтись   без   лишних   записей. Достаточно бросить взгляд на такой рисунок, как рассуждения оживают перед глазами учащихся (см. приложение №3). Большое познавательное значение имеет решение обратных задач.   Задачи   на   максимум   и   минимум   в   этом   отношении представляют благодатное поле деятельности (см. приложение №4).   Кроме   того,   такие   задачи,   как   правило,   имеют   богатое практическое   содержание.   Следует   отметить,   что   решение прикладных задач на максимум и минимум лучше всего удается в   тех   классах,   где   достаточное   внимание   уделялось   решению текстовых задач. В определенном смысле задачи на наибольшее и наименьшее значения являются их методологическим развитием. Дьердь Пойа в «Математическом открытии» пишет (стр. 83): «Я   надеюсь,   что   шокирую   лишь   немногих   математиков, утверждая,  что  самая   важная  частная   задача   математического образования   в   средней   школе   —   это   научить   составлять уравнения   для   решения   словесных   задач   ...   При   решении словесных   задач   с   помощью   уравнений,   учащийся   учится осуществлять перевод реальной обстановки на математический язык   и   при   этом   убеждается   на   опыте,   что   математические понятия можно связать с действительностью, хотя эти связи и нужно   тщательно   разрабатывать.   Именно   здесь   программа обучения   дает   возможность   приобрести   ценнейший   опыт,   для учащегося, которому не придется пользоваться в своей будущей профессии математикой, этот первый случай может оказаться и последним... Будущий инженер, когда он учится в средней школе составлении) уравнений, необходимых для решения «словесных задач»,   впервые   сталкивается   со   своим   основным, профессиональным использованием математики и впервые имеет случай приобрести для этого важнейшие навыки.» Таким   образом   учитель   должен   предлагать   классу   не унылые   задачи   на   дифференцирование   и   нахождение наибольшего   или   наименьшего   значения   на   отрезке,   а   задачи, воздействующие   на   эмоциональную   сферу,   заставляющие работать   безмолвствующие   до   этой   поры   клетки   серого вещества.  Очень  важно, чтобы  к  прикладным  задачам  учитель относил   не   проблемы,   связанные   с   расчетами   оптимального объема   овощехранилища   или   наименьшей   ширины   канавы,   а задачи, которые заставляют проанализировать весь текст, найти предельные   и   особые   случаи,   исследовать   их,   привлекая графические,   наглядные,   аналитические   и   численные   методы. Говоря словами академика Ю.И. Манина, это задачи, которые делают нас умнее. Исключительно   плодотворны   имитационные   контрольные   содержание   которых   являются   материалы работы, вступительных   работ   в   МГУ   или   МФТИ.   Вступительные экзамены на гуманитарные факультеты МГУ (филологический, философский,   психологический,   фундаментальной   медицины, ИСЛА) часто не содержат материалы из 11­го класса, их можно давать   уже   десятиклассникам.   Форма   проведения   подобных работ­ учебная деловая игра. Принципы   двуплановости   столь   важный   в   системе интенсивного обучения, здесь проявляется в полной мере. Суть этого принципа заключается в том, что «серьезная» деятельность реализуется   в   «несерьезной»   игровой   форме,   что   позволяет учащимся   интеллектуально   и   эмоционально   раскрепиться, проявить   творческую   инициативу.   Соблюдение   принципа двуплановости   совершенно   необходимо   на   всех   этапах   игры. Преподаватель   должен   следить,   чтобы   деловая   игра   не превратилась   в   одноплановую   деятельность,   направленную   на легкий   успех   или   проходящую   в   форме   обычных   учебных действий.   Играющий   должен   помнить,   что   он   участвует   в условной (не подлинной) ситуации, и в то же время не помнить этого.   Искусство   игры   заключается   именно   в   овладении навыками двупланнового поведения. Любое выпадение из него в одноплановый  «серьезный» или  одноплановый  «условный»  тип поведения, разрушает его результат. Огромную   роль   играет   вариативный   подход   к   решению задач на экстремумы и наибольшие и наименьшие значения (см. приложение   №1).   Действительно,   одним   из   краеугольных принципов   интенсивного   обучения   является   приоритетность решения одной задачи несколькими методами перед решением одним   и   тем   же   методом   нескольких   упражнений.   Задачи   на наибольшие   и   наименьшие   значения,   вероятно,   являются наиболее благодатным аспектом для этого аспекта интенсивного обучения и активизации резервных возможностей личности. Начиная   с   самых   первых   задач   этого   типа,   необходимо подвести   учащихся   к   твердому   убеждению   о   существовании самых различных подходов к решению (см. приложение №1 и приложение №6). В   дальнейшем   последовательное   применение   этого принципа авторской технологии дает следующие преимущества: 1.   Учащиеся   получают   возможность   проверить   решение (особенно   во   время   контрольных   или   экзаменационных испытаний); 2. Учитель имеет возможность дать домашнее задание, в котором нужно найти еще одно решение уже разобранной задачи ­ это обычно посильно для всех учащихся; З. При этом снимается психическая нагрузка: задача уже решена, нужно   только   проявить   упорство   (всем   известно   стремление учащихся к «сверке ответов»); 4.   Наличие   нескольких   способов   решения   необыкновенно плодотворно для одной их сторон авторской технологии: работы в   парах,   в   том   числе   и   у   доски,   когда   двое   учащихся   после обсуждения   задачи   и   дискуссии   о   том,   какой   метод предпочтительнее,   решат   каждый   перед   классом   своим способом,   предоставляя   другим   судить   об   оптимальности выбранного пути. Разумеется, в этом случае подбор таких пар учителем   должен   быть   произведен   на   основе   достаточно длительного   изучения   класса,   вкусов   и   наклонностей   каждого ученика. 5. Достигается, наконец, одна из важнейших задач  обучения ­ воспринимать   решение   эстетически,   ценить   его   красоту   и глубину,   добиваться   оптимального   решения,   критически относиться   к   себе,   таким   образом   решается   целый   спектр воспитательных и дидактических задач. Здесь   уместно   упомянуть   о   месте   домашних   заданий   в авторской концепции интенсивного обучения. Учитель может многого достичь, если разнообразит домашнюю работу   такими   поручениями,   которые   не   похожи   на   обычные домашние задания, например,: 1.   «Помогите   мне   составить   контрольную   работу   для параллельного класса, придумайте, пожалуйста, по одной задаче на наибольшее и наименьшее значения, но только так, чтобы она решалась хотя бы двумя способами»; 2. Объявить анонимный конкурс (под девизом) на составление задач   ­   в   соавторстве   с   М.Гарднером,   И.Ф.Шарыгиным, Я.Перельманом и др. Задачи,   связанные   с   наибольшим   и   наименьшим   значением величин, достаточно содержательные, чтобы стать естественной базой для подготовки учащихся к олимпиадам. Кроме обычных «школьных»   алгоритмов   в   этом   случае   исключительно плодотворно   рассмотрение   «принципа   крайнего»   и   метода ранжирования,   с   изучения   которых   очень   удобно   начинать знакомство с типично «олимпиадными» приемами. Если учитель систематически   рассматривает   задачи   на   «максимум   и минимум», то олимпиадная тематика уже никогда не покажется учащимся чем­то не подсильным. В соответствии с уровнем сложности и допустимости задач на   наибольшее   и   наименьшее   значения   автор   опыта рассматривает следующие основные этапы их изучения 1. Арифметические задачи; 2. Метод перебора; 3. Планиметрические задачи; 4.   Неравенство   между   средним   арифметическим   и   средним геометрическим; 5. Задачи, связанные с квадратным трехчленом; б. Задачи с целыми числами; 7. Векторы и скалярное произведение на плоскости; 8. Тригонометрические выражения; 9. Производная, экстремум функции; 10. Применение производной к планиметрическим задачам; 11. Применение производной к физическим задачам; 12. Векторы и скалярное произведение в пространстве; 13. Стереометрия; 14. Логарифмическая и показательная функции; 15. Интеграл; 16. Применение интеграла к решению уравнений и неравенств. Для развития мышления учащихся необыкновенно полезны «задачи, которые никогда не кончаются». Такая задача может быть   предложена   учащимся   на   раннем   этапе   обучения,   в дальнейшем к ней возвращаемся в старших классах, обобщаем и углубляем ее решение, далее эта задача может быть предложена для   исследования,   вполне   может   стать   предметом   первой научной   работы,   привлекающей   компьютерное   рассмотрение   и математическое   моделирование   к   этой   проблеме.   Такова, например,   задача   может   быть   задана   семиклассникам (вступительная работа в ЗФТШ при МФТИ, см. приложение №4) Она   задумана   как   задача   на   смекалку   с   очень   нетривиальным решением и ответом. Через некоторое время ее можно поставить в более общем виде, тогда учащиеся могут составить уже серию задач подобных исходной, решения которых являются частными случаями найденной проблемы. Но и более общая задача, в свою очередь, является частным случаем «задачи о камнях», решение которой известно лишь с помощью полного перебора вариантов (по   крайней   мере,   к   моменту   написания   этих   строк),   то   есть учащиеся   могут   получать   ее   решения   только   на   компьютере. Картотека подобных задач является золотым фондом каждого учителя. В авторской технологической схеме задачи на наибольшее и наименьшее значения рассматриваются не как самоцель, хотя роль их велика, а частотность на экзаменах ­ вступительных и выпускных исключительно высока, но как необходимый этап для дальнейшего совершенствования в решении других задач. Так,   например,   умение   решать   эти   задачи   позволяет применять полученные результаты для доказательства и решения неравенств,   уравнений   и   систем,   относящихся   к   категории нестандартных (метод оценок, метод мажорант), делая их тем самым   алгоритмизируемыми,   то   есть,   мы   формируем,   таким образом, стандартные методы для решения нестандартных задач. Среди подобных приемов особую методическую ценность и   эстетическую   привлекательность   имеют,   безусловно,   задачи, связанные   с   векторами   и   скалярным   произведением   (см. приложение №4). Развитие   этих   идей   приводит   наиболее   смелых   учащихся   к выводу   в   четырехмерное   пространство   (или   гипотезе   о существовании   п­мерного   евклидова   ортонормированного пространства). Приложение N 1 Фрагмент   лекции   для   преподавателей   в   классах   с углубленным изучением математики на курсах ИПК  Демонстрируя   преимущества   общего   метода   нахождения наибольших   и  наименьших   значений,   связанных   с   применением производной,   надо   в   то  же   время   показывать   и   заблуждения, основанные   на   некритическом   его  применении,   устанавливать взаимосвязь с другими методами — короче: учить математике, а не применению формул. Показателен пример: Задача. На стене висит картина. Нижний конец ее на 75 см, а   верхний   на   3   м   выше   глаз   наблюдателя.   На   каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы рассмотреть   картину   под  наибольшим   углом?   (№   769   из  А.М.Голъдмана, пособия   для   учителей   С.М.Саакяна, Д.В.Денисова)   (Аналогичная   задача   приведена   в   учебнике А.Н.Колмогорова   и   др.  —   №  240   на   стр.   295   в   разделе "Применение производной") Трудно удержаться, чтобы не привести авторское решение из упомянутого пособия (см. стр. 189­190). С  Пусть глаз наблюдателя в точке С(x;0), верхний край картины в точке В(0; а), нижний край — в точке А(0; b). (Подобные перемешивания координат: "b" в точке А и "а" в точке  В  выходят,   как   замечают   Дж.И.Литтлвуд   в   книге "Математическая смесь", еще к К. Жордану).