Свойства скалярного произведения векторов

Этот урок является логическим заключение изучения скалярного произведения векторов. Здесь  формулируются и доказываются свойства скалярного произведения. Рассматриваются примеры их применения при преобразовании выражений с векторами, а также примеры решения задач с их  помощью. Конспект урока "Свойства скалярного произведения векторов"    Вам уже известно определение скалярного произведения векторов и правило его вычисления. Кроме этого вы знаете, что скалярное произведение можно находить ещё и в координатах. Сегодня будем говорить о свойствах скалярного произведения векторов. Запишем первое свойство. Скалярный квадрат всегда является числом неотрицательным Действительно, ведь скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. А значит, он больше либо равен нулю. . Причём скалярный квадрат положителен, если вектор ненулевой, и равен нулю, если вектор нулевой.Второе свойство называют переместительным законом. Скалярное произведение векторов Пользуясь определением скалярного произведения, это не трудно доказать. равно скалярному произведению векторов : . Что и требовалось доказать. Третьим свойством запишем распределительный закон . , , Что и требовалось доказать. Четвёртым свойством запишем сочетательный закон . , ; Что и требовалось доказать. Итак, мы доказали четыре свойства скалярного произведения векторов. Рассмотрим несколько задач, в которых можно применить данные свойства.Задача. Найти значение выражений, если , , . а) б) в) г) Решение. а) б) в) г) Задача. Найти , если , . , , , . Решение.А теперь рассмотрим геометрические задачи, которые решаются с применением скалярного произведения векторов. Задача. Найти величину Решение. в , если , , .Ответ: . Задача. квадрат, где середина , а середина . Доказать, что . Доказательство. , , Итак, найдём каждую координату данных векторов как разность соответствующих координат их конца и начала.Найдём скалярное произведение этих векторов. Что и требовалось доказать. Подведём итоги нашего урока. Сегодня Вы познакомились со свойствами скалярного произведения векторов. Мы рассмотрели примеры их применения при выполнении различных заданий. В том числе убедились, что скалярное произведение векторов иногда очень удобно применять при решении геометрических задач.