Технологическая карта урока математики в 11 классе по теме: "Комбинаторика при вычислении вероятностей. Схема Бернулли".

Учитель

Киреева Инна Юрьевна

Класс

11

Раздел

Комбинаторика и вероятность

Результаты обучения по разделу

Личностные

Метапредметные

Предметные

1) ответственное отношение к обучению, готовность и способность к саморазвитию и самообразованию;

2) умение контролировать, оценивать и анализировать процесс и результат учебной и математической деятельности;

3) умение управлять своей познавательной деятельностью;

4) умение взаимодействовать с одноклассниками и учителем;

5) критичность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач.

1) умение самостоятельно определять цели своей деятельности, ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе;

2) умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата, определять способы действий в рамках предложенных условий и требований, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией;

3) умение самостоятельно принимать решения, проводить анализ своей деятельности, применять различные методы познания;

4) формирование понятийного аппарата, умения создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации;

5) умение самостоятельно осуществлять поиск в различных источниках, отбор, анализ, систематизацию и классификацию информации, необходимой для решения математических проблем, представлять ее в понятной форме; принимать решение в условиях неполной или избыточной, точной или вероятностной информации; критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников.

Выпускник научится:

— оперировать понятиями: частота и вероятность события, сумма и произведение вероятностей; вычислять вероятности событий на основе подсчёта числа исходов;

— владеть основными понятиями комбинаторики и уметь применять их при решении задач;

— иметь представление об основах теории вероятностей;

— выделять необходимую информацию для нахождения вероятностей событий; выдвигать гипотезы и их обосновывать;

— самостоятельно создавать способы решения проблем;

— вычислять или оценивать вероятности событий в реальной жизни.

Система задач

1) продолжать формировать умения и навыки учащихся в нахождении вероятности событий с применением формул комбинаторики, учить переносить свои знания и умения в нестандартные ситуации; познакомить учащихся со схемой и теоремой Бернулли;

2) способствовать развитию вычислительных навыков, устной и письменной математической речи, памяти, внимания; развивать алгоритмическую культуру учащихся, приводя упражнения к знакомым алгоритмам различными приемами и методами;

3) приучать учащихся к самоконтролю и взаимоконтролю; продолжать формировать умение доводить любое учебное задание до конца; воспитывать умение слушать, слышать и понимать партнера, уважать мнение оппонента, оказывать поддержку друг другу, эффективно сотрудничать как с учителем, так и со сверстниками;

4) формировать уровень овладения системой математических знаний и умений при решении комбинаторных и вероятностных задач, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных предметов.

Виды

работы, формы,

методы,

приёмы

Содержание педагогического

взаимодействия

Формируемые УУД

Деятельность

учителя

Деятельность

обучающихся

1. Организационный момент

Словесное приветствие

Приветствует детей.

- Добрый день, ребята!

- Каково ваше настроение?

- Поприветствуйте одноклассников улыбкой и сохраните хорошее настроение в течение всего урока.

Проверяет готовность к уроку.

Настраивает на активную работу.

Создаёт позитивное настроение.

Организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к уроку.

Здороваются с учителем, приветствуют одноклассников.

Коммуникативные:

слушать и вступать в диалог.

Регулятивные:

организовывают рабочую среду, быстро включаются в деловой ритм, психологически настраиваются на работу;

прогнозируют свою деятельность.

2. Воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний

Фронтальный опрос

Спрашивает учеников:

- что нужно знать для успешного решения задач по теории вероятностей?

Ведёт диалог.

Систематизирует информацию и демонстрирует на экране определения основных понятий, теоремы и формулы.

Отвечают:

- понятие события и виды событий;

- классическое определение вероятности;

- теоремы умножения и сложения вероятностей;

- понятия и формулы комбинаторики.

Взаимодействуют с учителем во время опроса, осуществляемого во фронтальном режиме. Сопоставляют своё мнение с мнением одноклассников.

Познавательные:

осознают познавательную задачу; слушают, извлекая нужную информацию

понимают информацию, представленную на слайдах.

Коммуникативные:

с достаточной полнотой и точностью выражают свои мысли, слушают и вступают в диалог.

Регулятивные:

адекватно самостоятельно оценивают правильность выполнения действий.

Проверка домашнего задания

Работа в парах

Организует работу по проверке домашнего задания.

Говорит:

- вы дома подготовили карточки устной работы для работы в парах

- сейчас вам предстоит работать устно в парах по карточкам. С алгоритмом работы вы знакомы, если что-то забыли он есть на экране и у вас на партах.

Создаёт в классе атмосферу сотрудничества.

Отвечает на вопросы учащихся.

Работают в парах.

Задают друг другу вопросы, которые подготовили дома для устной работы.

Сначала один выполняет функцию учителя: следит за правильностью ответа по обратной стороне карточки и выставляет в лист учета отметку о количестве правильных ответов.

Затем меняются ролями.

В случае разногласий обращаются к учителю.

Познавательные:

структурируют знания.

Коммуникативные:

задают вопросы, слушают и отвечают на вопросы других; проявляют доброжелательность и доверие к собеседнику при работе в паре.

Регулятивные:

планируют учебное сотрудничество с учителем и сверстниками – определяют цели, функции участников, способы взаимодействия.

Фронтальный опрос

Организует устную работу, направленную на развитие умений и навыков применения полученных ранее знаний для решения комбинаторных и вероятностных задач.

·         Готовит учащихся к активной основной учебно-познавательной деятельности.

Демонстрирует на слайдах разнообразные задания в тестовой форме. Тест содержит задания с выбором одного или нескольких правильных ответов. Есть задания с кратким ответом и на сопоставление.

Проводит беседу, контролирует правильность ответов.

Устно отвечают на поставленные вопросы.

Взаимодействуют с учителем во время опроса, осуществляемого во фронтальном режиме. Сопоставляют своё мнение с мнением одноклассников.

Познавательные:

слушают, извлекают нужную информацию, а также самостоятельно находят её в материалах учебников, рабочих тетрадях; выдвигают гипотезы, ищут наиболее эффективные средства достижения поставленной задачи.

Коммуникативные:

слушают учителя и одноклассников, строят понятные для всех высказывания, формулируют собственное мнение и позицию.

Регулятивные:

адекватно самостоятельно оценивают правильность выполнения действий и вносят необходимые коррективы; составляют план деятельности.

3. Постановка учебной задачи. Мотивация учебной деятельности учащихся

Формулирование темы и целей урока

Демонстрирует на экране задачу на нахождение вероятности.

1) В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

С помощью учащихся оформляет решение задачи на доске.

Решение.

Все исходы:

ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР

Благоприятные исходы: ООР, ОРО, РОО

Ответ: 0,375

Демонстрирует на экране вторую задачу на нахождение вероятности.

Создаёт проблемную ситуацию, необходимую для постановки учебных целей и задач.

2) В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

С помощью учащихся оформляет решение задачи на доске.

Решение.

Благоприятные исходы:

ООРРР или ОРОРР или ОРРОР или ОРРРО или

РООРР или РОРОР или РОРРО или РРООР или

РРОРО или РРРОО

Все исходы: ?

С помощью учащихся оформляет решение задачи на доске.

Решение.

1 способ. (с помощью формул комбинаторики)

2 способ. (с помощью теорем сложения и умножения вероятностей)

A: ООРРР или ОРОРР или ОРРОР или ОРРРО или РООРР или РОРОР или РОРРО или

РРООР или РРОРО или РРРОО

Вероятность каждого из десяти событий равна:

Ответ: 0,3125

Демонстрирует на экране ещё одну задачу на нахождение вероятности.

 Создаёт проблемную ситуацию, чтобы подтолкнуть детей к осознанию необходимости в получении новых знаний.

3) Найдите вероятность того, что при 9 бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза. Результат округлите до тысячных.

Подводит к названию темы.

Сообщает учащимся, что швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил задачи, в которых необходимо найти сколько раз может произойти или не произойти событие в серии повторений, в единую вероятностную схему. Эту схему принято называть схемой Бернулли.

Уточняет тему: «Комбинаторика при вычислении вероятностей. Схема Бернулли. Теорема Бернулли».

Вместе с учащимися определяет цели и задачи урока.

Говорит:

- запишите в тетрадях цели и задачи лично для себя на этот урок.

В конце работы мы обсудим, стали вы ближе к своим целям или нет.

Высказывают свои мысли по поводу решения предложенной задачи.

Предлагают для решения задач пользоваться классическим определением вероятности.

А подсчёт числа всех и благоприятных исходов осуществить перебором.

Оформляют решение задачи в тетради.

Предлагают решить вторую задачу аналогично первой.

Пытаются решить проблему. Вспоминают, что могут помочь формулы комбинаторики и теоремы умножения и сложения вероятностей.

Оформляют решение задачи в тетради.

Предлагают решение задачи. Убеждаются, что осуществить перебор даже благоприятных исходов, сложно.

Осознают необходимость в получении новых знаний.

Сообщают тему урока и свои цели.

Записывают их в тетрадь.

Познавательные:

анализируют, выдвигают гипотезы, сравнивают, делают выводы; самостоятельно формулируют познавательные цели.

Коммуникативные:

планируют учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, способы взаимодействия; выра­жают свои мысли в соответствии с задачами и условиями ком­муникации.

Регулятивные:

планируют последовательность промежуточных целей с учетом конечного результата; 

контролируют способ действия и его результат; вносят необходимые дополнения и коррективы.

4. Изучение нового материала, первичное осмысление и закрепление изученного

Восприятие и осмысление учащимися нового материала, первичная проверка понимания

Работа в группах

Даёт понятие независимых повторений испытаний с двумя исходами, знакомит учащихся со схемой Бернулли. С помощью решения третьей задачи подводит к формулировке теоремы Бернулли.

1 способ. (с помощью теорем сложения и умножения вероятностей)

Вероятность каждого из  событий равна:

Сколько таких событий, вероятность которых равна

Пусть  число независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами («успех» и «неудача»).

 число «успехов», тогда  число «неудач».

Пусть  вероятность «успеха» и

  вероятность «неудачи» в отдельном испытании.

Тогда  .

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Ответ: 0,246

Разбивает детей на группы по 3 человека в каждой.

Раздаёт листы с вероятностными задачами, которые следует решить разными способами.

Первый учащийся из группы должен решить задачи с помощью формул комбинаторики.

Второй учащийся из группы решает эти же задачи, используя теоремы сложения и умножения вероятностей.

Третий учащийся должен использовать теорему Бернулли.

Слушают учителя, решают предложенную задачу, делают записи в тетради.

Пытаются сформулировать теорему Бернулли.

Обсуждают разные точки зрения и вырабатывают общую (групповую) позицию.

Каждый решает задачи одним из способов.

Сверяют ответы, анализируют, выбирают наиболее рациональный способ решения.

Познавательные:

достигают поставленной цели за счет собственных ресурсов памяти, мышления; самостоятельно обобщают полученную информацию и выбирают необходимые способы действий для осуществления поставленной задачи.

Коммуникативные:

обсуждают проблемную ситуацию в группе, учитывают разные мнения и интересы, обосновывают собственную позицию; оказывают поддержку друг другу.

Регулятивные:

планируют свою деятельность в соответствии с целевой установкой; выполняют пробное учебное действие, фиксируют затруднения.

5. Отработка и закрепление нового материала

Защита своих решений

Организует фронтальную работу по проверке решения задач.

Вызывает к доске по одному человеку из группы для защиты командного решения.

Говорит:

- жребий решит, какую конкретно задачу вы будете представлять на доске.

Представители из каждой группы оформляют решение одной задачи разными способами. Остальные учащиеся контролируют правильность решения и оформления. Команды оценивают, дополняют, исправляют.

Познавательные:

выбирают успешные стратегии в различных ситуациях, строят логически обоснованные рассуждения, преодолевают трудности.

Коммуникативные:

отстаивают свою точку зрения, аргументируя её, подтверждая фактами.

Регулятивные:

контролируют правильность сопоставления информации, корректируют;

контролируют собственное время, правильность и очередность высказываний своих и собеседника в процессе работы.

6. Организация первичного контроля

Контроль знаний

Даёт самостоятельную работу по вариантам.

Выполняют самостоятельную работу

Познавательные:

строят самостоятельно процесс поиска, исследования и совокупность операций по обработке, систематизации, обобщению и использованию полученной информации.

Коммуникативные:

строят речевые высказывания в  письменной форме, устанавливают причинно-следственные связи.

Регулятивные:

составляют план и последовательность действий, выявляют свои слабые места в освоении материала.

7. Рефлексия (подведение итогов занятия)

Проводит рефлексию деятельности после проделанной работы.

Говорит:

- давайте подведем итог нашей работы. Продолжите предложение

Я сегодня повторил и закрепил …

Я сегодня узнал….

Я научился……

Мне было интересно……

Теперь я смогу…

Особенно мне понравилось…

Я испытываю трудности…

Даёт домашнее задание.

Отвечают на вопросы.

Записывают домашнее задание.

Познавательные:

строят речевые высказывания в устной и письменной формах, устанавливают причинно-следственные связи.

Коммуникативные:

строят фразы, отвечают на поставленные вопросы, прислушиваются к мнению других.

Регулятивные:

определяют степень успешности выполнения своей работы, формулируют возникшие при этом затруднения, дают эмоциональную оценку своей деятельности на уроке.