Цель деятельности учителя

Создать условия для формирования представлений о многоугольниках, о выпуклом многоугольнике, умений объяснять, какая фигура называется многоугольником, и называть его элементы; для рассмотрения четырехугольника как частного вида многогольника; для повто ения в ходе ешения задач п изнаков авенстват е гольников

Те мины и понятия

Вып клый, невып клый много гольник

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Умеют объяснять, что такое ломаная, многоугольник, его вершины, смежные стороны, диагонали; изображают и распознают многоугольники на чертежах; показывают элементы многоугольников, внутреннюю и внешнюю области многоу гольников

Познавательные: умеют ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; воспринимают устную речь, проводят информационно-смысловой анализ текста и лекции, осмысливают ошибки и устраняют их. Регулятивные: понимают смысл поставленной задачи.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры и контрпримеры.

Личностные: выражают интерес к изучению предметного курса, проявляют готовность и способность к само азвитию, имеют мотивацию к об чению и познанию

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная (Ф ; индивид альная И

Образовательные ресурсы

•  Геометрия. 7—9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк,

И. И. Юдина. М.: Просвещение, 2014.

•  Задания для онтальной и индивид альной аботы

этап. Ак ализация опо ных знаний

ель деятельности

Совместная деятельность

Повторить основные элементы треугольника

(Ф) Напомнить учащимся определение треугольника. Вспомнить элементы треугольника (сторона, вершина, угол)

II этап. Мотивация к деятельности

ель деятельности

Постановка чебной задачи

Ввести понятие много гольника

(И/Ф) Рассмотреть рис. 1 50, 151 и 152 из учебника на с. 97—98. Что общего у этих геометрических фигур?

III этап. Учебно-познавательная деятельность

Из чение нового мате иала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ознакомить с выпуклыми и невыпуклыми много голышками

(ИО) 1. Рассмотреть элементы многоугольника (вершины, стороны, диагонали, углы).

(Ф) 2. Отметить, что каждый многоугольник разделяет плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Ф З. Дать понятие вып клого много гольника

Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Обучающие и развивающие задания и упражнения

Диагностические задания

Закрепить полученные знания

Рис.

Рис.

     7 рис. 2

       Рис. 4                                                    Рис. 5

Рис. 6

(Ф) 1 . Ответить на вопросы (устно):

Какие фигуры, изображенные на доске, являются многоугольниками? Какие многоугольники являются выпуклыми? (И) 2. Задание для каждого ряда:

Начертить выпуклый семиугольник, восьмиугольник, девятиугольник и провести все диагонали из какой-нибудь его вершины.

(Ф) Сколько получилось треугольников?

IV этап. Повто ение

Цель деятельности

Обучающие и развивающие задания и упражнения

Диагностические задания

2

3

Повторить изученный материал

в

Рис. 7

м

Е

Рис. 8                            Рис. 9

(И/Ф) Найти пары равных треугольников и доказать их равенство. Решение:

Рис. 7. Назовем точку пересечения отрезков АС и BD точкой О.

Тогда МОВ = ДСО (по первому признаку).

Рис. 8. Так как ZN= ZP, ZMkN= ZPkE, как вертикальные, Nk= КР по условию, значит,  ДЕКР (по второму признаку).

2

з

Рис. Ш

м             

Рис. в                                                   Рис.                                Рис. 15

Рис. 16                                                 Рис.                               Рис. 18

Рис. 9. АС - общая, АВ = АД ZBAC = ZCAD, значит, ДАВС = = ДОС (по первому признаку). Рис. 10. О- общая, Ж) = ВС, ZADB = ZCBD, значит, МТ) = АСТ (по Ч)вому признаку).

Рис. 1 1. DF- общая, ZMFD = ZEFD, ZMDF= ZEDF, тогда AMDF = AEDF (по второму признаку).

Рис. П. АР - общая, ZNAP = ZNPA, ZM4P = ZMPA, тогда АМАР = ЛУАР (по второму признаку).

Рис. В. ЛК- общая, кр, м^О = КМ, значит, ЛПК = = ДРКЛ^Г (по третьему признаку).

Рис. 14. Л- общая, ИТ = ZCBD, ИВЕ) = СЛ, значит, ДАЛ = ДСВГ) (по второму признаку).

Рис. 15. Так BF, а - общая, то АВ =DF, ZEDF= ZCBA, ZEFD = ZCAB, тогда ADEF = ДВСА (по второму признаку).

Рис. 16. АС = ВС, ZC — общий, ZB = И, значит, ДСВЕ = ACAD (по второму признаку).

Рис. 17. КН = НЕ, Fk= РЕ, углы, равные смежным, тоже равны, значит, ZFkH = ZPEH и тогда ДЕКН = ДРЕН (по первому признаку).

Рис. 18. DE = ЕС, углы, равные смежным, тоже равны, тогда ZADE = ОСЕ, ZAED = ZBEC (как вертикальные), следовательно, MDE = АВСЕ (по второму признаку)

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Какая фигура называется многоугольником?

— Что такое вершина, сторона, диагонали и периметр многоугольника?

— Какой многоугольник называется выпуклым?

— Какой этап урока оказался наиболее трудным для вас и почему?

(И) Домашнее задание: п. 40 прочитать; № 364, 365

2

                Рис.                                                       Рис. 2                                                    Рис. З                                                    Рис. 4

В ы вод:

Значит, сумма внутренних углов п-угольника равна 1 80⁰ • (п — 2), где п — число сторон многоугольника.

Сумма внешних углов п-угольника не зависит от количества сторон и всегда равна 360 ⁰ . Объясните: почему?

Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Закрепить полученные знания

(Ф) 1. Найдите сумму углов выпуклого:

а) восьмиугольника;

б) двенадцатиугольника.

(Ф) 2. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник,если его сумма углов равна 2340 ⁰ ?

Решить № 364 (в), 365

1. а) п = 8; (8-2) •                 = 1080⁰ .

    6) п = 12; (12 -2) •        = 1800 ⁰ .

2. (п- 2) • 180 = 2340

11-2 = 13

п = 15

От в е т: многоугольник имеет 15 сторон. ль 364. ^о = 1440⁰ Л) 365.

-    90⁰ ; (п -2) • 1800 = 900 п; п = 4

       = 60⁰ ; (п -2) •       ⁰ = 60 ⁰ п; п = З

-    120 ⁰ ; (п -2) • 180 120 ⁰ п; п = 6

              108 ⁰ ; (п- 2) • 180⁰ =           т,

III этап. Повторение

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

Повторить изученный материал

Параллельны ли прямые а, Ь и с?

1 . Параллельны.

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения определения параллелограмма и его свойств

Термины и понятия

Параллелограмм, противолежащие стороны, противолежащие углы

2

Рис. 5

(Ф) 2. Параллельны ли прямые а и Ь?

Рис. 6

(Ф) 3. Параллельны ли прямые т и п, п и К, т и К?

Рис. 7

2. да.

З. да

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Что нового узнали на уроке?

— Какой этап урока оказался для вас самым сложным?

— Оцените свою работу на уроке

(И) Домашнее задание: вопросы 3—5, с. 1 13; № 368, 369

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют объяснять, какой многоугольник называется параллелограммом, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии

Познавательные: проводят информационно-смысловой анализ текста и лекции; осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, умением устанавливать причинно-следственные связи; понимают и используют наглядность для иллюстрации примеров, интерпретации математических фактов, аргументации собственного суждения.

Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности; осуществляют планирование и контроль.

Коммуникативные: договариваются и приходят к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Учебник.

• Задания для самостоятельной работы

I этап. Проверка домашнего задания

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности у учащихся при выполнении домашней работы

Обсудить выполнение домашней работы (решение задач), ответить на вопросы учащихся

II этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

2

Выявить у учащихся умение находить сумму углов многоугольников

(И)

Вариант 1

1.  Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника. (1980 ⁰.)

2.  Каждый угол выпуклого многоугольника равен 135 ⁰ . Найдите число сторон этого многоугольника. (8.)

Вариант П

1.  Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника. (1800 ⁰.)

2.  Сумма углов выпуклого многоугольника с равными углами равна 1260 ⁰ . Найдите число сторон этого многоугольника. (9.)

2

Ва р и а нт III (для более подготовленных учащихся)

Каждый угол данного выпуклого многоугольника равен 150⁰ . Найдите сумму углов выпуклого многоугольника, число сторон которого в два раза меньше, чем число сторон данного многоугольника. ((п —2) • 180 ⁰ 150n; п 12 — число сторон исходного многоугольника; 6 сторон у второго многоугольника. Сумма его углов 720 ⁰.)

этап. Учебно-познавательная деятельность

Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Дать определение параллелограмма и доказать его свойства

(ФМ) 1. Дать определение параллелограмма. Воспроизвести рис. 157 из учебника (один учащийся — на доске, остальные — в тетрадях) и сделать запись: «Параллелограмм Предложить учащимся записать пары параллельных сторон: АВ CD, ВС П О.

(Ф) 2. Рассмотреть свойства параллелограмма:

•  В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

•  Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

(Ф) З. Доказать любое свойство параллелограмма в классе, на дом предложить доказательство второго свойства

Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Закрепить полученные знания

1.                 Докажите, что сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма,•равна 180 ⁰ .

2.                 Решите задачи № 376 (а) (устно); № 376 (б), 372 (а).

      Л^Г2 376 И = ZC = 84 ⁰ ,0 = О =              - 84 ⁰ = 96⁰ .

.N2 376 (б). Можно решить системой уравнений:

         И- = 55 ⁰ ; И +                        180 ⁰ ; И = 1 17,5 ⁰ , О = 62,5 ⁰

№ 372 (а). Пусть одна сторона х см, тогда вторая (х + З) см. Так как периметр равен 48 см, то составим и решим уравнение: (х + х + 3) • 2 = 48; х = 10,5; таким образом, одна сторона равна 10,5 см, вторая — 13,5 см

IV этап. Итоги урока

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

Подвести итог изученному теоретическому материалу

(Ф) Если в условии задачи дано, что ABCD — параллелограмм, то можно использовать его свойства:

Цель деятельности чителя

Создать условия для рассмотрения признаков параллелограмма и закрепления полученных знаний в процессе решения задач

Те мины и понятия

Параллелограмм, противолежащие стороны, противолежащие углы

Планируемые результаты

П едметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют объяснять, какой многоугольник называется параллелограммом, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии

Познавательные: проводят информационно-смысловой анализ текста и лекции; осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, умением устанавливать причинно-следственные связи; понимают и используют наглядность для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Коммуникативные: договариваются и приходят к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

Организация пространства

Фо мы аботы

Фронтальная (Ф); групповая (Г); индивидуальная (И)

Образовательные есу сы

•  Учебник.

•  Задания для индивидуальной работы

2

АВ СД ВС АО, АВ СД ВС = АО, U ZC,                          ZD•,

И + О =              ит. д.; АО = ОС, ВО- Од

с

Рис. 2

V этап. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность чащихся

(ФМ) Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: вопросы 6—8, с. 13; № 372 (б), 376 (в, г), 374; доказать одно из свойств параллелограмма (то, которое в классе не доказывали)

этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятел ьность учащихся

2

3

Повторить основные элементы параллелограмма, его свойства и признаки

(Ф/И) 1. Дает задание подготовить у доски свойства параллелограмма с доказательством (для учащихся со слабым уровнем подготовки). (Выслушать ИнДИвиДуально каждого отвечающего.)

(ФМ) 2. Дает задание доказать самостоятельно следующие свойства параллелограмма (для учащихся с высоким уровнем подготовки):

I ) Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2) Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой. (После поДготовки выслушать Доказательства дополнительных свойств параллелограмма.)

Наводящие вопросы:

— Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

— Какие углы в ЛВАЕ могут быть равными? Почему?

1 ) Дано: ABCD — параллелограмм, АЕ — биссектриса ZBAD.

Доказать: МВЕ — равнобедренный.

Доказательство: так как ABCD — параллелограмм, значит ВС АД тогда ZEAD ZBEA, как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АЕ. АЕ — биссектриса ZBAD, значит ZBAE =ZEAD, поэтому ZBAE = ZBEA.

В МВЕ ZBAE = ZBEA, значит, ЛАВЕ — равнобедренный с основанием

АЕ.

2а) Дано: ABCD — параллелограмм, ВЕ — биссектриса

СВА, АЕ — биссектриса ZBAD.

Доказать: ВЕ -L АЕ.

Доказательство: АЕ — биссектриса, следовательно Zl = Z2. ВЕ— биссектриса гэ Z3 = д.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к од- Рис. 2 ной стороне, равна 1 80 ⁰ , поэтому ЛВС + ZBAD =

— 180 ⁰ , то есть Z1 + Z2 +Z3 + Z4 = 1 80 ⁰

Так как д = П, Z3 = д, то 2 • ( д + Д) = 180 ⁰ , Д + = 90 ⁰ . В ЛАВЕ ИЕВ = 180 ⁰ - (д + Z3) = 90 ⁰ , то есть ВЕ МЕ.

2

Наводящие вопросы:

— Когда прямые АЕ и СК будут параллельными?

— Равны ли ZBEA и Z3? Почему?

— В каком случае АЕ и СК совпадут?

26) Дано: ABCD — параллелограмм, АЕ, СК— биссектрисы ZA = С.

Доказать: АЕ ll СК или АЕ и СК совпадают.

Доказательство: так как ABCD — параллелограмм, то Z2 = ZBEA, как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АЕ.

В параллелограмме противолежащие углы равны, следовательно, ZBAD = ZBCD, значит,        А         к          D

Рис. З

Д = П = а = д. Так как П = ZBEA,

Z2 = Z3, то ZBEA = Z3 прямые АЕ и СК параллельны по признаку параллельности прямых. Прямые АЕ и СК совпадут, если в параллелограмме смежные стороны равны

П этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Постановка учебной задачи

Создать условия для введения признаков параллелограмма

(Ф)

— Что означают слова «свойства» и «признак»? Приведите примеры.

— Какую теорему называют обратной?

— Всегда ли верно утверждение, обратное данному? Приведите примеры

III этап. Учебно-познавательная деятельность

Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Сформулировать признаки параллелограмма

(Ф)

— Сформулируйте утверждения, обратные свойствам параллелограмма. Всегда ли они верны?

(Г/Ф) Далее учащихся можно распреДелить на группы (по рядам) для учебно-исслеДовательской работы. Обсудить Доказательства, сДелать запись на Доске и в тетраДи.

. Если АВ = CD и АВ CD, то ABCD — параллелограмм.

Рис. 4

2

2. Если АВ = CD и ВС = О, то ABCD параллелограмм.

 Рис. 5

З. Если АС п BD - О, АО - ОС и ВО - ОС, то ABCD — параллелограмм.

с

Рис. 6

Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Закрепить полученные знания

(Ф/И) 1. Решите задачу № 379 (на доске и в тетради).

(И) 2. Решите задачу № 380 (самостоятельно)

дано: ABCD - параллелограмм, вк АС, тиш Доказать: ВМЛ— параллелограмм.

Доказательство:

1)              ЛВКМ = z\DMA по гипотенузе и острому углу (ZBCk = ZDAC, как накрест лежащие углы при параллель- А ных прямых AD и ВС и секущей АС, ВС = АД как противолежащие стороны параллелограмма, АВКС и ОМА прямоугольные), значит MD = ВК.

2)              ДВМК и ДЛМ— прямоугольные, ДВМК = катетам (MD = ВК, КМ— общий катет), значит, 3) В четырехугольнике BMDk противолежащие ны (MD = ВК и ВМ = Л), следовательно, грамм

АС.

D

Рис. 7

М)КМ по двум

ВМ= Dk. стороны рав-

ВЬЮК— параллело-

с

1V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И) Если в задаче необходимо доказать, что ABCD — параллелограмм, то применяют один из признаков:

(И) Домашнее задание: выучить признаки параллелограмма; решить № 382, 383

2

1.  Если АВ = CD и АВ СД то ABCD - параллелограмм.

2.  Если АВ = CD и ВС = АД то ABCD — параллелограмм.

З. Если АС П BD= О, АО = ОС и ВО = ОС, то ABCD — параллелограмм.

— На каком этапе урока у вас возникли трудности?

Цель деятельности учителя

Создать условия для закрепления знаний о свойствах и признаках параллелограмма в процессе решения задач

Термины и понятия

Выпуклый, невыпуклый многоугольник

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии

Познавательные: умеют ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; воспринимают устную речь; проводят информационно-смысловой анализ текста и лекции; осмысливают ошибки и устраняют их.

Регулятивные: понимают смысл поставленной задачи.

Коммуникативные: договариваются и приходят к общему решению в совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Личностные: выражают интерес к изучению предметного курса; проявляют готовность и способность к саморазвитию; имеют мотивацию к обучению и познанию

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

•  Учебник.

•  Задания для работы по индивидуальным карточкам, для самостоятельной работы по вариантам, для парной работы

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Повторить основные свойства и признаки параллелограмма

(И) Работа по индивидуальным карточкам (3—6 человек). 1-й уровень.

1 . Точки Е и К — середины сторон АВ и CD параллелограмма ABCD. Докажите, что АЕСК — параллелограмм.

2. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, причем АС = 2 дм, АО = 10 см, BD = 1,5 дм, ВО = см Выясните, является ли ABCD параллелограммом.

2

2-й уровень.

1.              В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD отмечены соответственно точки Ми д^г так, что ZBMC = ZAND. Докажите, что AMCN — параллелограмм.

2.              Точки А и В делят диагональ МК параллелограмма MNkP на три равные части. Является ли четырехугольник ANBP параллелограммом? Ответ обоснуйте. 3-й уровень.

дано: ABCD - параллелограмм,        СК, АР = CN (рис. 1). Доказать: MNkP — параллелограмм.

р D

Рис.

(И) Остальные учащиеся выполняют самостоятельную работу по вариантам. Вариант 1

1.              В четырехугольнике ABCD АВ CD и АВ = CD, АС = 1 0 см, BD = 5 см, АВ = 6,5 см. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О. Найти периметр треугольника СОД

2.              В параллелограмме ABCD из вершины В тупого угла АВС проведен перпендикуляр ВК к стороне AD (К е AD) и ВК = 0,5АВ.

Найти углы параллелограмма.

Вариант П

1.               В четырехугольнике ABCD О — точка пересечения диагоналей и ВС АД АВ = CD, АС = 1 6 см, BD = 14 см, Риов= 25 см.

Найти АВ.

2.               В параллелограмме ABCD из вершины В тупого угла опущен перпендикуляр ВК на сторону AD и АК = ВК. Найти углы параллелограмма

П этап. Решение задач по готовым чертежам

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

2

Повторить основные свойства и признаки параллелограмма

в

. ABCD — параллелограмм. Найти: ZC, О.

lOc

2. №INkP — параллелограмм. Найти: МГ), РК.

м

 Рис. 2

к

Рис. З

— 64 ⁰ , ZD- 1160.

2. ЛО- 4 см, РК- 10 см.

2

З. Найти углы параллелограмма

4.               ABCD — параллелограмм. Найти: РАЖУ).

2

5.               ABCD — параллелограмм. Найти: АД

6.               ABCD — параллелограмм. Найти: РИТ), ZAED.

7.               NBFD — параллелограмм. AD = 4

5 см. Найти: ВС, CD.

8.               ABCD — параллелограмм.

РММ<Р = 20 см. Найти: MN, МР.

ABCD.

см,

5 см

м

в

з

с

Рис. 4

в

Рис. 5

с

8

Рис. б

5

Рис. 7

Рис. 8

 Рис. 9

З.         =           115 ⁰ , U =

4. РАВ('Г)— l6 см.

 10 см.

6.  PABCD= ЗО см, ZAED = 90⁰

7.  вс=4 см, CD=5 см.

8.  лт=з см,     см

65 ⁰ .

2

З

9. BNDM— параллелограмм.

, АВС]) 18 см. найти: О, DC.

Рис. 10

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Какие свойства и признаки параллелограмма повторили на уроке? — Оцените свою работу на уроке

(И) Домашнее задание: разобрать по учебнику № 385 (Теорему Фалеса),

решить задачу:

Дано: ABCD — параллелограмм. AN— биссектриса ZBAD, ВМ— биссектриса ЛВС.

Доказать: ABNM— параллелограмм.

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятий «трапеция», «равнобокая трапеция», «прямоугольная трапеция»; для рассмотрения решения задач, в которых раскрываются свойства трапеции

Термины и понятия

Трапеция, основания трапеции, боковые стороны

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют объяснять, какой многоугольник называется трапецией, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии

Познавательные: проводят информационно-смысловой анализ текста и лекции; осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, умением устанавливать причинно-следственные связи.

Регулятивные: принимают и сохраняют учебную задачу.

Коммуникативные: умеют применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач, работать в группе.

Личностные: умеют контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ес сы

•  Учебник.

•  Задания для индивидуальной работы

этап. П оверка домашнего задания

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при вы-

ПОЛНеНИИ домашнего задания

(Ф) 1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

2.  Сформулируйте свойства параллелограмма.

3.  Сформулируйте признаки параллелограмма

П этап. Учебно-познавательная деятельность

Изучение нового мате иала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие траПеЦИИ, ее оснований и боковых сторон

 В тетрадях учащихся и на доске рисунок трапеции и записи:

ABCD— трапеция, если ВС И АД АВ и CD — боковые стороны, ВС и AD —основания.

2. Ввести понятия равнобедренной и прямоугольной трапеции.

                                               Рис. 2                                                                  Рис. З

Учебно-исследовательская деятельность

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

Сформулировать свойства равнобедренной трапеции

(Г) Класс разбивается на несколько групп для обсуждения свойств и признаков равнобедренной трапеции.

З ад а н и е : исследовать углы равнобедренной трапеции, диаГОНИИ трапеции.

2

3

Результаты исследований выслушать и обсудить, на доске и в тетрадях выполнить запись:

Свойства равнобедренной трапеции:

. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Рис. 4

2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Рис. 5

З ад а н и е : сформулируйте утверждения, обратные свойствам равнобедренной трапеции, и докажите их справедливость. Результаты исследований выслушать и обсудить, на доске и в тетрадях выполнить запись:

I . Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

Рис. 6

2. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Рис. 7

оказательство:

Проведем СЕ МВ.

АВСЕ - параллелограмм (АВ СЕ, ВС П AD).

CD = АВ = СЕ, ДОЕ- равнобедренный, Д = п.

АВ СЕ, тогда Z2 = д. Д = П = д.

  ЛВС =             - д = 180⁰ - д = ZBCD

Доказательство:

ЛАВС = ОСВ (АВ = DC, ВС - общая сторона, ЛВС = = ОСВ), тогда АС = ВД

Доказательство:

Проведем СЕ АВ.

АВСЕ — параллелограмм, тогда АВ = СЕ, ZA = ZCED.

ДСО — равнобедренный (ZD = ZCED), тогда СЕ = CD. АВ = СЕ = CD, тогда ABCD — равнобедренная трапеция.

Доказательство:

Проведем ск ВД

ВСО - параллелограмм (СК ВД ВС АК).

МСК— равнобедренный (АС = BD = СК), Zl = П.

СК П ВД Z2 = Z3, тогда Zl = Z3.

MBD = ОСА (АС = ВД AD — общая сторона, Zl = Z3), тогда

АВ = CD, то есть ABCD — равнобедренная трапеция

Цель деятельности учителя

Создать условия для закрепления понятий «трапеция», «равнобокая трапеция», «прямоугольная трапеция»; для рассмотрения решения задач, в которых раскрываются свойства трапеции

Термины и понятия

Трапеция, основания трапеции, боковые стороны, параллелограмм, свойства, признаки

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют объяснять, какой многоугольник называется трапецией, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии

Познавательные: проводят информационно-смысловой анализ текста и лекции; осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, умением устанавливать причинно-следственные связи. Регулятивные: принимают и сохраняют учебную задачу.

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Обучающие и развивающие задания и упражнения

Диагностические задания

Ввести понятие средней линии трапеции

(Ф) ЛФ 386 (по теореме Фалеса). После решения этой задачи можно дать определение средней линии трапеции.

Рис. 8

М— середина АВ, N— середина CD, №IN— средняя линия траПеЦИИ

№ 386.

Доказательство:

Пусть М— середина АВ. Проведем MN AD ВС. Точка N— середина CD (по теореме Фалеса). Докажем, что MN— единственная. Через точки Ми можно провести только одну прямую (по аксиоме), то есть отрезок, соединяющий середины 60ковых сторон, единственен и     AD ll ВС

IV этап. Итоги урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф) 1 . Какой четырехугольник называется трапецией?

2.                  Назовите элементы трапеции и ее виды.

3.                  В решении задач на трапецию можно использовать свойства углов при параллельных прямых и секу щей

V этап. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(ФМ) I . Оцените свою работу на уроке.

2.  Какой этап урока вызвал у вас наибольшее затруднение и почему?

3.  Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: выучить теоретическую часть; решить № 384, 387

Коммуникативные: умеют применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач, работать в группе.

Личностные: умеют контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф ; индивид альная И

Образовательные ес сы

•  Учебник.

•  Задания для онтальной, индивид алычой, па ной аботы

I этап. П ове ка домашнего задания

ель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении заданий домашней работы; проверить уровень усвоения теоретического материала

(Ф) 1 . Дайте определение трапеции.

2. Какие виды трапеций существуют?

З. Перечислите свойства равнобедренной трапеции

П этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

Создать условия для применения теоретических знаний при решении задач

дано: ABCD -трапеция, МК— средняя линия.

В, МК = 25.

Найти: АД

Решение задач по готовому чертежу (устно): I . MN— средняя линия трапеции ABCD, PR — средняя линия трапеции АЛПИ).

ВС=6 найти:

                                                                              D             Рис. 2

D        Рис. Решение:

Так как МК = (ВС +0) : 2 = 25, то ВС +AD = 50,

50- В = 37 см. Ответ: 37 см.

l.MN= 8

2

2. Чем являются отрезки МК и kN, если MN— средняя линия трапеции АВСТ

Рис. З

2. МК-средняя линия ДАВС, kN— средняя линия MCD

этап. Работа в парах

Цель деятельности

Задания для самостоятельной аботы

2

Создавать условия для формирования навыков решения задач

На каждом столе расположен листок с напечатанными задачами.

Задача 1.

Большее основание трапеции равно 8 см, а меньшее на З см меньше средней линии. Найти: ВС, МК.

Дано.

ABCD — трапеция, AD = 8 см, МК— средняя линия.

ВС — ? на 3 см меньше МК.

Найти: ВС, МК.

Решение.

Пусть ВС = х см. тогда МК = (х + 3) см

МК = (О + ВС) :  : 2; 2х+6   Рис. 4 вс = 2 см, мк = 2 + 3 = 5 (см)

Ответ: ВС = 2 см, МК = 5 см.

Задача 2.

В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Периметр трапеции равен 54 дм, большее ее основание — 1 8 м Вычислите меньшее основание трапеции.

Дано: ABCD — равнобокая трапеция. Р— 54 дм.

Найти: ВС.

Решение:        Рис. 5 Zl = Z2 так как АС — биссектриса ZA, — Z3, как внутренние накрест лежащие углы.

2

   Zl          и      =                Zl Z3 ЛАВС-равнобедренный.

пусть АВ = ВС = CD = х.

Уравнение: 3х+ 18 = 54

3x= 54- 18

3х= 36 х- 12

    Ответ: ВС         дм.

Задача 3.

В равнобокой трапеции с острым углом 60 ⁰ биссектриса этого угла делит меньшее основание, равное l6 среднюю линию трапеции. дано

ABCD — равнобокая трапеция, ВС — 16 см. АК — биссектриса ZA вк = кс MN— средняя линия

Х-А = 60 ⁰

Найти: МЛ^Г.                                                                                    Рис. 6

Решение:

Так как К— середина ВС, то ВК = КС = ВС : 2 = 16 см : 2 = 8 см.

Так как АК— биссектриса Х-А, то Z1 = Z2; Z2 = Z3 как внутренние накрест лежащие углы.

И = ZD, АВ = CD, МВЕ = M)CF (по гипотенузе и острому углу). Значит, АЕ DF, ZABE = 30 ⁰ , МВЕ — прямоугольный.

DF=4 см, ЕЕ = ВС = см, 16 +4+4=24 см. (ВС +AD) : 2 = + 24) : 2 = 20 см.

Ответ:       20 см

см, пополам.

Найдите

IV этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Повторить свойства и признаки параллелограмма

(И) 1 . В параллелограмме один из углов в два раза меньше другого. Найти углы параллелограмма.

2. На рисунке ABCD — параллелограмм.

Zl= Z2. Докажите, что АТСК— параллелограмм.

Рис. 7

к

2

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Составьте синквейн к уроку. — Оцените свою работу на уроке

(И) Домашнее задание: № 379, 380

Цель деятельности учителя

Создать условия для решения задач, в которых применяются свойства и признаки трапеции

Термины и понятия

Трапеция, основания трапеции, боковые стороны, равнобедренная трапеция, прямоугольная трапеция, теорема Фалеса

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять полученные знания при решении задач и доказательстве

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, умением устанавливать причинно-следственные связи; понимают и используют средства наглядности.

Регулятивные: принимают и сохраняют учебную задачу.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

•  Учебник.

•  Задания для самостоятельной работы

этап. Проверка домашнего задания

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф) 1. Сформулируйте теорему Фалеса.

2. Сформулируйте свойства равнобедренной трапеции

1.                  Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2.                  В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, диагонали равны

П этап. Самостоятельная абота

Цель деятельности

Задания для самостоятельной аботы

Проверить степень усвоения теоретического материала и умение его применять при решении задач

Вариант 1

Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120 ⁰

CD = 2MD = 6 см, так как MD — катет, лежащий против угла 30 ⁰ , равен половине гипотенузы.

Вариант П

Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если ее большее основание равно 16 см, боковая сторона —10 см, а один из углов равен 60 ⁰ .

16 см,  см, О — 60 ⁰ , тогда ЛО-  5 см, АК = ЛО = 5 см, значит, ВС -              16-    6 см.

Рис. 2

Вариант III

Диагональ АС равнобедренной трапеции ABCD делит пополам угол ВАД Найти периметр трапеции, если основание AD равно 12 см, а ZADC равен 60 ⁰ .

CD = 0,50, значит, CD = 6 см. ЛАВС — равнобедренный, ВС = 6 СМ, РАЖ , D= 6+6 + 6+ 12=30 см.

Рис. З

Далее проводится взаимоп ове ка

III этап. Решение задач на пост оение

Цель деятельности

Совместная деятельность

2

Повторить основные этапы решения задач на построение

(Ф) . Напомнить основные этапы решения задач на построение:

1)   Анализ задачи.

2)   Выполнение пост оения по намеченном плану.

2

3)  Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4)  Исследование задачи.

(ФИ) 2. Решить ЛЬ 393 (в), 395, 397 (а).

Построить ABCD — параллелограмм.

И = zhk, АВ = РО

РО — расстояние между АВ и CD.

Устно провести анализ, доказательство и исследование, в тетрадях — только построение: 1) построить ZA, равный данному Zhk;

2)                 отложить на его стороне отрезок РО = АВ и отметить точку В;

3)                 через точку В провести прямую, перпендикулярную прямой АВ, и отложить отрезок ВК =рюх,

4)                 через точку В провести прямую, параллельную другой стороне угла; 5) через точку К провести прямую, параллельную стороне АВ; 6) ABCD — параллелограмм по определению.

ЛЬ 397 (а).

дано: И = а, о = а, АВ=Ь

Построить: равнобедренную трапецию ABCD.

Построение:

1.  На прямой с отложить отрезок АЕ) = а.

2.  Построить ZA = а, ZD = а.

3.  На лучах АВ и DC отложить отрезки, равные Ь (АВ = DC = Ь).

4.  Соединить В и С отрезком. ABCD — искомая трапеция.

Задача может не иметь решения, если точки В и С совместятся или точки В и С расположены за точкой пересечения лучей АВ и DC.

а)                                    б)

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Оцените свою работу на уроке.

— Какой этап урока вызвал у вас наибольшее затруднение и почему?

(И) Домашнее задание: решить задачи № 394, 398, 393 (б)

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения определения прямоугольника, изучения свойств прямоугольника

Термины и понятия

Прямоугольник, диагонали прямоугольника

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют работать с геометрическим текстом, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии и символики

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки; понимают и используют наглядность в решении учебных задач.

Регулятивные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: умеют контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

•  Учебник.

•  Задания для индивидуальной работы

этап. Проверка домашнего задания

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

З

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

I . Сформулируйте теорему Фалеса.

2. Сформулируйте свойства равнобедренной трапеции.

1.                 Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

2.                 В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, диагонали равны.

2

3. Решите устно задачи по готовым чертежам.

3. ЛАВС — равнобедренный.

ZBAC = ZBCA = х^о, как внутренние накрест лежащие при ВС AD и секущей АС, ZBAD = ZCDA = 2х ⁰.

Из прямоугольного MCD: ZCAD + ZCDA = 90 ⁰ х = 30 ⁰ .

В трапеции ABCD ZBAC = ZCAD = 60 ⁰ , ZBCD = 120⁰

П этап. Из чение нового мате иала

ель деятельности

Совместная деятельность

2

Ввести понятие прямоугольника, доказать свойства и признаки прямоугольника

1. Ввести понятие прямоугольника.

Учащиеся знакомы с прямоугольником еще с начальной школы, поэтому ввести понятие прямоугольника можно в процессе беседы по вопросам:

— Какой четырехугольник называется прямоугольником? (Ученики могут дать различные ответы, например: «Это четырехугольник, у которого все углы прямые»; «Это четырехугольник, у которого противолежащие стороны равны») — Можно ли утверждать, что прямоугольник — это параллелограмм, и почему?

— Чем отличается произвольный параллелограмм от прямоугольника?

— Закончите предложение: «Прямоугольник — это параллелограмм, у которого...» — Сформулируйте свойства прямоугольника.

(ИТ) 2. Рассмотреть особое свойство диагоналей прямоугольника.

— Исследуйте стороны, углы и диагонали прямоугольника и заполните таблицу.

(И/Ф) З. Рассмотреть признак прямоугольника.

— Как определить, является ли данный параллелограмм прямоугольником? Ответ обоснуйте. (Дать учащимся 3—5 минут на обдумывание и обсудить варианты ответов.) (Ф) — Выберите верные утверждения (устно):

а) Если в четырехугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник— прямоугольник.

б) Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, а все его углы прямые, то этот четырехугольник — прямо гольник.

2

в) Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник — прямоугольник.

г) Если в параллелограмме два угла прямых, то этот параллелограмм — прямоугольник.

д) Если в четырехугольнике два прямых угла и две стороны равны, то этот четырехугольник — прямоугольник.

е Если в четы ех голышке диагонали авны, а один гол п ямой,то этот четы ех гольник—п ямо гольник

III этап. Решение задач

Цель деятельности

еятельность чителя

еятельность чащихся

Совершенствовать

навыки решения задач, опираясь на полученные знания

(И/Ф) . Решите задачу:

В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке М.

Докажите, что ДОМ— равнобедренный.

Найдите периметр прямоугольника, если сторона АВ оказалась разбита на отрезки длиной З см и 5 см. Сколько решений имеет задача?

2. Решите № 403.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС П BD = О, ZCAD = 30 ⁰ ,

1. Решение: з

AD=3 Р

ЛЬ 403.

Решение: MCD

АС

— 6

2

диагонали

АС

АО2

АОВ

От вет :

м

Рис. З

—

см, равны и

Т)

=

2

5

Рис.

в

с

прямоугольный,

тогда АВ = точкой

ВО = 6 см.

в

в нем

CD = 6 см. В

пересечения делятся

 18 см.

М

ZCAD = 30 ⁰ ,

прямоугольнике пополам,

з              в

с

Рис. 2

значит,

то есть

IV этап. Итоги ока. Ре лексия

Деятельность учителя

Деятельность чащихся

2

(Ф)

BCD— прямоугольник

щ сд вс о,

СД ВС АД

о = ос, во = OD

^В

(И) Домашнее задание: п. 46 прочитать, решить № 401, 404

2

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятий ромба и квадрата как частных видов параллелограмма, для рассмотрения свойств и п изнаков ромба и квадрата; показать их применение в процессе решения задач

Термины и понятия

Ромб, квадрат, диагонали, углы

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

У меют работать с геометрическим текстом, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии и символики

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки; понимают и используют наглядность в процессе решения задач.

Регулятивные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: умеют контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Организация п остранства

Фо мы аботы

Ф онтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ес сы

•  Учебник.

•  Задания для фронтальной, групповой работы

1 этап. П оверка домашнего задания

Цель деятельности

Совместная деятельность

2

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф) 1. Дайте определение прямоугольника.

2. Перечислите свойства прямоугольника. Докажите одно из них.

З. Перечислите признаки прямоугольника.

4. Решите задачу:

Через середину диагонали КМ прямоугольника kLMN перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стооны kL и ЛТ в точках А и В соответственно. Известно, что АВ = ВМ = 6. Найдите ббльшую сторону прямоугольника.

2

а) Прямоугольные ЛМОВ и МОА равны по катету и прилежащему так как О — середина диагонали КМ; ZBMO = ИКС), как накрест мых kL и МЛ[и секущей КМ), тогда АО = ОВ = 3 см (АВ = 6 см), АК

б) ДАМО = ДВМО по двум катетам (АО = ВО, МО — общая сторона, АМ= МВ = 6 см и ММВ — равносторонний.

в) ZAMO = ZBMO = 30 ⁰ , так как ММВ — равносторонний, МО —

г) ZkLM= 90 ⁰ , ИМО = 30 ⁰ , оМО = 30⁰ , тогда ИШ = 30 ⁰ .

д) MLM— прямоугольный, в нем ZAML = 30⁰ , АМ= 6 см, тогда М

е) АК = 6 см, AL = 3 см, тогда kL = 9 см. см.

5. Решите задачи по готовым чертежам:

1) ABCD — прямоугольник. Найти: ZABF.

в

Рис. 2 3) ABCD— прямоугольник. Доказать:ЯМ = М)

Рис. 4

5) ABCD -прямоугольник. Найти: АС, АВ.

Рис. 6

к нему острому углу (КО = МО, лежащие при параллельных пря= МВ = 6 см.

ДОМ = ZMOB = 90 ⁰), тогда

медиана, высота и биссектриса ММВ.

= 3 см.                                                           Рис.

2) АСЕК-прямоугольник, ВС = 5 см. Найти: PBDFM.

м Рис. З

4) ABCD - прямоугольник. Найти: ИОВ, ПОС.

с

Рис. 5 6) ABCD — прямоугольник. Найти: АД

Рис. 7

м

II этап. Учебно-познавательная деятельность

Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

2

Ввести понятия ромба, квадрата, рассмотреть свойства и признаки этих фигур

(Ф) 1. Введение понятия ромба.

Рисунок и записи на доске и в тетрадях учащихся:

ABCD — ромб, если ABCD — параллелограмм и АВ = ВС = CD = Т.

— Верно ли утверждение: «Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом»?

(Г[Ф) 2. Свойства ромба, признак ромба.

— Перечислите все свойства ромба как частного вида параллелограмма.

Выясните, каким еще свойством обладают диагонали ромба, кроме того, что они точкой пересечения делятся пополам. (Работа в группах с послеДующим обсуждением свойства Диагоналей ромба.) На доске и в тетрадях записать:

Свойства ромба (рис. 9):

Если ABCD — ромб, то:

г) АО = ОС, ВО = О»,

е) АО, ВО, СО, DO — биссектрисы углов А, В, С, D.

(Г/Ф) — Сформулируйте утверждение, обратное особому свойству ромба, и выясните его справедливость. (Работа в группах с последующим обсуждением.)

3. Определение квадрата.

                       Рис. 10                                                  Рис. П

ABCD — квадрат, если ABCD — прямоугольник, АВ = ВС = CD = Т.

— Верно ли утверждение: «Ромб, у которого все углы прямые, является квадратом»?

— Верно ли утверждение: «Параллелограмм, у которого все стороны и все углы равны, является квадратом»?

в

Рис. 8 в

D

Рис. 9

2

4. Свойства квадрата, признаки квадрата.

— Перечислите свойства квадрата, учитывая, что квадрат — это частный случай прямоугольника и ромба.

Записать на доске и в тетрадях: Свойства квадрата:

а) АВ               CD=AD•, АВ СД ВС ll АО,

6) И = х-в =               О = 90⁰

в) ВО = ОС = 0D = АО, BD АС, АО, ВО, СО, DO — биссектрисы И, ZB, ZC, 7— D соответственно. — Сформулируйте признаки квадрата

Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Закрепить полученные знания

(Ф/И) 1. Решить задачу № 406.

(И) 2. Решить самостоятельно № 407

дано: ABCD - ромб,               = 60 ⁰ ,            10,5 см.

Найти: PABCD.

Решение:

ZB = 60⁰ , АВ = ВС (так как АВ и ВС — стороны ромба), тогда ZBAC = ZBCA = 60 ⁰ , то есть ДАВС — равносторонний и АВ = АС = 10,5 см. У ромба все стороны равны, поэтому РАЖУ) АВ=4 • 10,5 = 42 (см).

Ответ: 42 см.

Решение:

ZABC = 45 ⁰ .

BD — диагональ и биссектриса ZABC.

ИЮ = 45 ⁰ : 2 = 22 ⁰ 30'

Из ДАВО (ZO = 90 ⁰ , так как диагонали ромба перпендикулярны):

ZOAB = 90 ⁰ - 22 ⁰ 30' = 67 ⁰ 30' ответ: 22 ⁰ 30', 67 ⁰ 30'

В

D

Рис 12

III этап. Итоги

урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Что нового узнали на уроке?

— Какой этап урока оказался для вас самым сложным?

— Оцените свою работу на уроке

(И) Домашнее задание: п. 47 прочитать; решить № 412, 413

Цель деятельности учителя

Создать условия для закрепления теоретического материала по теме «Прямоугольник. Ромб. Квадрат»; для совершенствования навыков ешения задач по данной теме

Те мины и понятия

Ромб, квад ат, диагонали, углы

Планируемые результаты

П едметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют работать с геометрическим текстом, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии и символики

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение и выводы.

Регулятивные: осознают важность и необходимость знаний для человека; проявляют познавательный интерес к изучению предмета.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать в паре.

Личностные: умеют контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Организация пространства

Фо мы аботы

Ф онтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

•  Учебник.

•  Задания для индивидуальной работы

1 этап. Самостоятельная работа по тео ии

Цель деятельности

Задания для самостоятельной аботы

Проверить уровень усвоения теоретического материала

(И/Ф) Проверка теоретического материала.

— Заполните таблицу, используя знаки «+» (да) и «—» (нет). (Один из учащихся работает на переносной Доске, остальные в тетраДях. После завершения работы класс проверяет работу, выполненную на Доске.) Правильные ответы:

Параллело амм

Прямо-

ГОЛЬНИК

Ромб

Квадрат

Противоположные стороны параллельны и равны

Все стороны авны

П тиволежащие углы авны; сумма углов, п илежащих к одной сто оне, равна l80⁰

Все углы прямые

Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Диагонали авны

Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов

(После самопроверки учащиеся оценивают себя.)

П этап. Тест

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень усвоения теоретического материала

(И) Тесты в двух вариантах в распечатанном виде раздаются учащимся (см. Ресурсный материал). Ответы нужно записать в тетрадях, после чего учащиеся проверяют себя по заранее подготовленным ответам на обороте доски (или на экране компьютера), выставляют оценки

III ЭпИ. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить умение применять теоретические знания при решении задач

(И) При выполнении работы учитель контролирует работу менее подготовленных учащихся, оказывая при этом необходимую индивидуальную помощь. По окончании работы проводится самопроверка. Самопроверку можно организовать следующим образом: заранее подготовить решение на листочках и по окончании работы раздать листочки ученикам для проверки и исправления ошибок.

1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30 ⁰ меньше другого.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому МОВ — прямоугольный. Пусть в МОВ ИВО = х, тогда ZBAO= х + 30⁰, значит ИВО + ZBAO = х + х + ЗО^О = 90⁰ их = 30 ⁰ .

ИВО = 30⁰ , ZBAO = 60 ⁰ , а так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то ZBAD —- 120⁰ ,

ЛВС = 60 ⁰ .

Поскольку противолежащие углы в ромбе равны, то ZADC = ZABC = 60⁰ , ZBCD = ZBAD = 120 ⁰ .

ответ: 60 ⁰ , 120 ⁰ , 60⁰ , 120 ⁰ .

2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80 ⁰ . Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

АС

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО =

2  2 и МОВ — равнобедренный, тогда ZOAB = ZOBA = 50⁰ .

В прямоугольнике все углы прямые, тогда: ZOAD = ZBAD — ZOAB = 90 ⁰ — 50 ⁰ = 40 ⁰ . Ответ: 50 ⁰ , 40 ⁰

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Какой этап урока оказался для вас самым сложным? — Оцените свою работу на уроке

(ИТ) Домашняя работа: № 426, 427.

Класс делится на две группы. Задание для групп: работая с энциклопедиями и справочниками, пользуясь возможностями Интернета, найти ответы

на один из поставленных вопросов:

1.  Что называется симметрией, и когда это понятие возникло?

2.  Существует ли симметрия в окружающем нас мире?

Цель деятельности чителя

Создать условия для введения понятий осевой и центральной симметрий

Те мины и понятия

Ось симме ии, цент симме ии, симмет ичные

и ы

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Умеют работать с геометрическим текстом, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии и символики

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и выводы.

Регулятивные: умеют контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, умение работать в паре.

Личностные: п оявляют познавательный инте ес к из чению п едмета

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф ; индивид альная (И

Образовательные ес сы

•  Учебник.

•  Сведения об осевой и цент альной симмет ии

этап. П ове ка домашней аботы

Цель деятельности

Деятельность чителя

Деятельность ащихся

Выявить трудности, возникшие у учащихся при выполнении домашнего задания

— Каждая группа, работая с энциклопедиями и справочниками, пользуясь возможностями Интернета, должна была найти ответы на один из поставленных вопросов:

1.  Что называется симметрией, и когда это понятие возникло?

2.  С ществ ет ли симмет ия в ок жающем нас ми е?

(См. Ресурсный материал.)

П этап. Из чение новой темы

ель деятельности

Деятельность чителя

еятельность чащихся

Научиться строить фигуры, симметричные относительно прямой и относительно точки

(ФМ) 1. Работа с учебником.

Прочитайте п. 48 учебника на с. 1 10—1 1 1, ответьте на вопросы: 1 ) Какие две точки называются симметричными относительно прямой?

2)                 Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?

3)                 Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?

4)                 Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?

2. Практическая работа.

Учитель объясняет как строить фигуру, симметричную относительно п ямой и относительно точки

III этап. Зак епление пол ченных знаний

Пе вичная п ове ка понимания

ель деятельности

еятельность чителя

еятельность аЩИХСЯ

Выяснить степень понимания того, что такое ось симметрии, центр симметрии

№ 417 (устно).

№ 418 (устно). Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О, Р?

№ 422 (устно). Имеют ли центр симметрии: а) отрезок, б) луч,

в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

№ 423 (устно). Какие из следующих букв имеют центр симмет Ии: А, О, М, Х, К?

.N2 417. а) две; б) бесконечно много; в) одну. ЛЬ 418. А, Е, О.

N2 422. а) да; б) нет; в) да; г) да.

ЛЕ ОЗ. О их

Цель деятельности учителя

Создать условия для закрепления теоретического материала по теме «Прямоугольник. Ромб. Квадрат», совершенствования навыков решения задач по данной теме, подготовки учащихся к контрольной работе

Термины и понятия

Ромб, квадрат, диагонали, углы

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

2

У меют работать с геометрическим текстом, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии и символики

Познавательные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач. Регулятивные: принимают и сохраняют учебные задачи.

Первичное закрепление. Самостоятельная практическая работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить практические навыки в построении симметричных фигур

Проверка. Учащиеся демонстрируют построения на доске с комментированием.

(И) № 416.

Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.

№ 421.

Даны точки А, В, и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность чителя

Деятельность чащихся

— Какой этап урока вызвал наибольшее затруднение и почему?

— Составьте синквейн по данному уроку

(И)

Домашнее задание: придумайте рисунок для вышивки, используя или осевую, или центральную симметрию

2

Коммуникативные: умеют находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объктов, задач, ешений, асс ждений

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная (Ф ; индивид альная (И

Образовательные ес сы

Учебник.

• Задания для математического диктанта, самостоятельной аботы

этап. Ак ализация опо ных знаний

Математический диктант

ель деятельности

Задания для самосл оятельной аботы

Проверить уровень теоретической подготовки

(И) После проведения диктанта осуществляется взаимопроверка.

1.  Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть прямой угол? (Да.)

2.  Обязательно ли является прямоугольником четырехугольник, у которого есть прямой угол? (Нет.)

З. Верно ли, что каждый прямоугольник является параллелограммом? (Да.)

4.          Верно ли, что каждый параллелограмм является прямоугольником? (Нет.)

5.          Диагонали прямоугольника АЕКМ пересекаются в точке О. Отрезок АО = 3. Найдите длину диагонали ЕМ. (б.)

6.          Диагонали параллелограмма равны 3 и 5 дм. Является ли этот параллелограмм прямоугольником? (Нет.)

7.          Диагонали четырехугольника равны. Обязательно ли этот четырехугольник прямоугольник? (Нет.)

8.          Сумма длин диагоналей прямоугольника 13 см. Найдите длину каждой диагонали. (6,5.)

9.          Периметр ромба равен 12 см. Найдите длины его сторон. (З см.)

10.      Верно ли, что каждый ромб является параллелограммом? (Да.)

11.      Верно ли, что каждый параллелограмм является ромбом? (Нет.)

12.      Ромб ABCD имеет прямой угол. Является ли этот ромб квадратом? (Да.)

13.      Две соседние стороны параллелограмма равны и образуют прямой угол. Как называется такой параллелограмм? (КваДрат.)

14.      иагонали квад ата делят его на четы е е голышка. Найдите глы каждого т е гольника. (45 ⁰.

П этап. Решение задач

Цель деятельности

еятельность чителя

еятельность чащихся

Выработать умение применять теоретические знания при решении задач

(Г) 1. Решение задач № 428, 434, 438.

2. Защита решений

Г•Г2 428.

Решение:

1)              DP — биссектриса Zl = Z2.

2)              Zl = Z3, как внутренние накрест лежащие при ВС llAD и секущей PD. Имеем Z1 = Z2 = Z3.

3)              Аналогично для биссектрисы угла В имеем  9

2

З

4)  но ЛВС = UDC, поэтому д = П = Z3 = д = Z5 = Z6.

Z5 и Z3 соответственные при прямых PD и ВК и секущей ВС PD ВК.

5)  Аналогично доказывается, что АМ АС.

6)  STQR — параллелограмм по определению.

7)  ДРО — равнобедренный, так как Z3 = П, CQ — биссектриса и высота.

8)  В параллелограмме STQR один угол прямой он является прямоугольником.

N2 434.

дано: ABCD - ромб, АС          = О.

Доказать:          оМ- ОЕ = ор.

Доказательство:

1)  Рассмотрим ABON и ДВОМ: ВО — общая,

Рис. 2 ZNBO = ZMBO (свойство ромба), следовательно,

ДВОЛ,^Т = АВОМ (по гипотенузе и острому углу).

Отсюда ОМ = 0N (по определению равенства треугольников).

2)  Аналогично через AFOD = ДЕО имеем ОЕ = 0F.

З) Рассмотрим МОЕ и АСОМ: АО = ОС (свойство ромба), ZOAF = ZOCM (свойство ромба), следовательно, МОЕ = АСОМ (по гипотенузе и острому углу), следовательно, 0F = ОМ (по определению равенства треугольников).

4. В ы вод: ОМ = ОЛ^Т (из п. 1), ОЕ= 0F (из п. 2), 0F= ОМ (из п. З), следовательно,

ОМ = ОМ= ОЕ = OF.

.N2 438.

Дано: ABCD — трапеция,АС СД

ZBAC = Z СО,

АВ( П = 20 см, О = 60 ⁰ .

Найти: АД

Рис. З

2

З

Решение:

1)                 Рассмотрим ДАСТ ZC = 90 ⁰ , ZD = 60 ⁰ , следовательно, ZA = 30 ⁰ , значит,

2

2)                 Так как ZBAC = ZCAD - 30 ⁰ , значит, ABCD — равнобедренная трапеция, CD=AB.

3)                 Так как ZCAD =ZBAC, следовательно, ZBAC = ОСА, следовательно, ЛАВС — равнобедренный, АВ = ВС.

4)                 = АВ + ВС + CD+AD.

Так как           —0, а АВ = ВС = СД то:

2

20 = —0+ —AD +—AD+AD.

         2          2          2

20 = 2,50; AD = 20 : 2,5; О = 8 (см).

Ответ: 8 см

III этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Закрепить теоретические знания и практические умения при решении задач

(И)

Ва риант 1

. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AD и ВС соответственно в точках Е и Е. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 28 см, АЕ = 5 см, BF = 3 см.

Ответ: би 8 см.

2.  Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 1 0 см и 6 см, а один из углов равен 45 ⁰ .

От в ет: 4 см.

3.  Разделите данный отрезок на 5 равных частей (Длину отрезка учитель опреДеляет сам).

Вариант П

1.                 Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

Отв ет: би 12 см.

2.                 Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 6 см, а один из углов равен 120 ⁰ .

Ответ: 6 см.

З. Разделите данный отрезок на б равных частей (Длину отрезка учитель определяет сам)

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Какой этап урока был для вас самым сложным? Почему?

— Оцените свою работу.

— Какие вопросы у вас еще остались?

(И) Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе.

Решить задачи.

. В ромбе ABCD Z D = 140⁰ . Определите углы треугольника AOD (О — точка пересечения диагоналей).

2.                  На диагонали МР прямоугольника MNPQ отложены равные отрезки МА и РВ. Докажите, что ANBQ — параллелограмм.

3.                  В         с

Цель деятельности чителя

Создать условия для проверки знаний, умений и навыков учащихся по усвоению и применению изученного материала

Те мины и понятия

Ромб, квад ат, диагонали, углы, па аллелограмм, трапеция

Планируемые езультаты

П едметные мения

Универсальные учебные действия

Умеют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания деля решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Познавательные: проводят сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям. Регулятивные: вносят необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его учета характера сделанных ошибок; осуществляют самоанализ и самоконтроль. Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: осознают важность и необходимость математических знаний для человека

Организация п остранства

Фо мы аботы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ес сы

•  Учебник.

•  Задания для контрольной работы

этап. Выполнение контрольной работы

Цель деятельности

Задания для кон ольной аботы

2

Определить степень усвоения учебного

Вариант 1

1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если ИВО = 30

2

материала, уровень развития умения решать задачи

2. В параллелограмме kMNP проведена биссектриса угла МКР, которая пересекает сторону     в точке Е.

а) Докажите, что треугольник КМЕ равнобедренный.

б) Найдите сторону КР, если МЕ = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

Вариант II

. Диагонали ромба КАТР пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника КОМ, если ZMNP = 800.

2. На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка М так, что АВ = ВМ.

а) Докажите, что АМ — биссектриса угла ВАД

б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, СМ = 4 см.

Вариант III

1.                  Через вершину С прямоугольника ABCD проведена прямая, параллельная диагонали BD и пересекающая прямую АВ в точке М. Через точку М проведена прямая, параллельная диагонали АС и пересекающая прямую ВС в точке N. Найдите периметр четырехугольника АСЛТ, если диагональ BD равна 8 см.

2.                  Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Луч DM пересекает прямую АВ в точке N. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AN= 10 см

II этап. Итоги урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Домашнее задание: повторить материал гл. 1, S 4, с. 13—16

Цель деятельности чителя

Создать условия для представления об измерении площадей многоугольников, рассмотрения основных свойств площадей и выведения о м лы для вычисления площади квад ата

Те мины и понятия

Равновеликие много гольники, авносоставленные много гольники

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания; имеют представление об основных изучаемых понятиях

Познавательные: умеют выбирать и создавать алгоритмы для решения математических проблем.

Регулятивные: умеют самостоятельно ставить цели, адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи.

Коммуникативные: умеют находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню азвития на ки и общественной п актики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

•  Учебник.

•  Задания для фронтальной и индивидуальной работы

этап. Анализ ошибок, допущенных в контрольной работе

П этап. Подготовка к восприятию нового материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Подготовить учащихся к восприятию понятия площади многоугольника

(Ф) Решить задачи:

1.                Через точку во внутренней области равностороннего треугольника проведены две прямые, параллельные двум сторонам треугольника. На какие фигуры разбивается этими прямыми данный треугольник?

2.                Дано: ABCD — параллелограмм, AD = ИВ, АМ— биссектриса Z ВАД Докажите, что часть отрезка АМ, лежащая во внутренней области параллелограмма ABCD, равна части, лежащей во внешней области

Доказать: АЛ^Г = NM.

Доказательство:

. ДАТ— равнобедренный (АВ = ВЛО. Рис. 1 2. ZDAN = ZANB (накрест лежащие); ZANB = Z№WC (вертикальные).

З. так как Ж) = ИВ, то           NC.

4.   ZABN= ZMCN (накрест лежащие).

5.   ДАВЛ^Г = &VCN (по П признаку), значит, AN= NM

III этап. Изучение новой темы

Цель деятельности

Совместная деятельность

2

Ввести понятие площади многоугольника

(Ф) 1. Ввести понятие площади.

— Понятие площади каждому известно из жизненного опыта. Часто мы слышим: «площадь нашей квартиры равна 60 м ». Как вы понимаете это предложение? (Это величина квартиры. Пол Данной квартиры можно застелить 60 кваДратаии со стороной 1 м.)

— С сегодняшнего дня мы будем учиться вычислять площади различных геометрических фигур.

2. Определить единицы измерения площадей.

— Как и измерение длин отрезков, измерение площадей проводится с помощью единиц измерения. Какие единицы измерения площадей вам известны? (КваДратный метр —м ; кваДратный сантиметр — см ; квадратный миллиметр — мм ; ар (сотка) — 100 м² ,• га (гектар) — 10 000 м ^г, и др.)

— Как вы понимаете утверждение «единица измерения площади см »? (ПлощаДь измеряется квадратами со стороной 1 см.) Может ли площадь фигуры выражаться отрицательным числом? (Нет, не может.)

З. Дать представление об измерении площадей многоугольников способом разбиения фигуры на квадраты.

2

— Как измерить площадь фигуры, изображенной на рис. 2 в квадратных дециметрах? (Нужно разбить фигуру на кваДратные Дециметры.)

— Сторону AD разобьем на отрезки по 1 дм каждый и через концы отрезков проведем прямые, перпендикулярные стороне О. Далее проведем прямые, параллельные АД на расстоянии I дм друг от друга (рис. З.). Сосчитаем количество целых квадратов, вместившихся в фигуру ABCD. Неполные квадраты разобьем на квадратные сантиметры. Каждый квадратный сантиметр — это сотая часть квадратного дециметра. Таким образом, можно вычислить площадь фигуры в дм с точностью до 0,01 дм . Для более точного измерения площади данной фигуры неполные квадраты со стороной I см разобьем на квадраты со стороной 1 мм, и т. д.

                                 Рис. 2                                                                  Рис. З

— Такой способ вычисления площадей фигур называется способом разбиения фигуры на квадраты. Но чаще всего площади геометрических фигур вычисляются по готовым формулам, с которыми мы познакомимся на следующих уроках.

4. Рассмотреть свойства площадей.

а) Равные многоугольники имеют равные площади.

б) Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

в) Площадь квадрата равна квадрату его стороны. (Доказательство третьего свойства является трудным, поэтому п. 49 можно преДложить более подготовленным учащимся изучить самостоятельно.)

IV этап. Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

На примере устных задач и простых задачах отработать понятие площади

(Ф/И) Решите задачи (устно):

1 . ABCD — параллелограмм.

SABCI) 12.

Найти: SABI), SB('D.

2. ABCD — прямоугольник.

CE=DE , SАВ(Ч) — Q• Найти: SABF.

В

Рис. 4

Рис. 5

1. 6 и 6.

2. SABF—

Цель деятельности чителя

Создать условия для выведения формулы площади прямоугольника

Те мины и понятия

Равновеликие много гольники, авносоставленные много голышки, площадь квад ата, площадь п ямо голышка

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

2

Владеют базовым понятийным аппа атом по основным

Познавательные: меют выби ть и создавать алго итмыддя ешения математических

блем.

2

3

3. Площадь заштрихованного квадрата равна 1. Найти: SABCD.

Рис. б

Найти: SABCDEF.

Рис. 7

5.               Решить на доске и в тетради № 449 (в), 450 (в). К доске вызываются двое учеников. После выполнения заданий осуществляется проверка.

6.               Самостоятельно решить № 449 (а), 450 (а), 451, 447

з. 13,5.

4. 9 + 4 = 13.

Л) 449 (в).

 а: (зуб) •

12,  260).

449 (а). 1,44 см ² Л^Р2 450 (а). 4 СМ.

.N2 451 (а). 24 см ² = 24 • 100

.N2 451 (6 . 24 см ² = 24 • 0,01

18 (м²).

мм ² = 2400 мм 2.

²

дм= 0,24 дм ²

                                                                                           V этап. Итоги     ока. Ре лексия

еятельность чителя

еятельность чащихся

— Составьте синквейн к уроку. — Что нового знали на оке?

(И) Домашнее задание: п. 49, вопросы 1, 2; решить задачи № 448, 449 (б), 450

2

разделам содержания; имеют представление об основных изучаемых понятиях

Регулятивные: умеют самостоятельно ставить цели, адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи.

Коммуникативные: умеют находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

•  Учебник.

•  Задания для фронтальной и индивидуальной работы

этап. Проверка домашнего задания

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Выявить трудности, возникшие у учащихся при выполнении домашней работы

(Ф) 1. Ответить на вопросы учащихся.

2. Проверить решение № 448

№ 448.

Решение:

Опустим перпендикуляр к ВС из точки Е (ЕО Ш ВС).В Прямоугольные треугольники АВМ и ЕОМ равны по гипотенузе и острому углу (АМ= ЕМ,

ZBMA = ХЕМО), отсюда ЕО = АД значит,

Рис. ЕО CD, так как в прямоугольнике противолежащие стороны АВ и CD равны.

Прямоугольные треугольники EON и DCN равны по катету и острому углу (ЕО = CD, ZONE = ZCND, как вертикальные).

= SANMD +

Д.МОЕ = ДМВА

&VOE = ANCD

Тогда SAI,7)  АЛПИ) + SMBА + SN(7) — АВ(7), Ч. Т. Д.

этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

2

Доказать формулу

площади прямоугольника

(Ф/И) Выполните задания:

I . Докажите, что два прямоугольника равны, если равны их смежные стороны.

2

2. АВСД - квадрат, Мм П АД ЕЕ и ВС.        D Найдите площадь четырехугольника AFkM, если АМ = СЕ= З см, см

м

в

Рис. 2

З. Доказать теорему о площади прямоугольника. (ПоДготовить чертеж заранее, см. учебник, рис. 181.)

III этап. Закрепление изученного материала

цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Отработать умение применять формулу площади прямоугольника

(ФМ) 1. Решить № 452 (а, в), 453 (в) (устно).

2. Решить задачу № 458 на доске и в тетрадях учащихся. Один из учащихся решает задачу у доски, остальные в тетрадях

ЛЕ 458.

Заборы имеют одинаковую длину, поэтому участки земли имеют одинаковыЙ периметр.

- аь = 220 • 160 = 35 200 (м² ) прям

  пряч -2 • (а +               (220+   = 760 (м)

Рке= 4а, но Кв = Рпряи = 760 (м), то есть 4а = 760, а = 190 (м) = 36   01 ² )

36 100 м ² > 35 200 м ² , поэтому площадь квадрата больше площади прямоугольника.

36 100-35 200 = 900 (м²)

От в е т : площадь участка земли, имеющего форму квадрата, больше

^г

на 900 м

IV этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

2

Закрепить полученные знания

(И) Самостоятельная работа (5—7 минут) с последующей самопроверкой.

1 . Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 80 см, а отношение сторон равно 2 : 3.

Решение:

х — коэффициент пропорциональности.

Цель деятельности учителя

Создать условия для выведения формулы площади параллелограмма

Термины и понятия

Равновеликие многоугольники, равносоставленные многоугольники, площадь квадрата, площадь прямоугольника, площадь параллелограмма

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

2

Владеют базовым понятийным аппаратом; умеют работать с геометрическим текстом

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение.

Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи.

2

Р = 2х+3х+2х+Зх=

АВ- 16 см, О 24 см. S=16 • 24 = 384 (см ² )

Ответ: 384 см 2.

Рис. З

2. Площадь пятиугольника ABOCD равна 48 см ² . Найдите площадь и периметр квадрата ABCD. Решение.

 см-,       — 64 см тогда АВ = 8 см, РАЖ D= 32 см.

Ответ: 64 см ² , 32 см                                                                                                                                                                                   Рис. 4

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф)

— Что нового узнали на уроке?

— Сформулируйте З вопроса по сегодняшней теме

(И) Домашнее задание: вопрос З, с. 133; № 452 (б, г), 453 (а, б), 448.

Вырезать из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составить из них:

I ) равнобедренный треугольник;

2) прямоугольник;

З) параллелограмм, не являющийся прямоугольником; 4) равновеликие фигуры

2

Коммуникативные: умеют находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, ешений, асс ждений

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная (Ф ; индивид альная (И); г пповая (Г

Образовательные ес сы

• Учебник.

• Задания для индивид альной,          онтальной аботы

этап. Акт ализация опо ных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить правильность выполнения домашнего задания, подготовить учащихся к восприятию новой темы

(И) К доске вызываются три ученика для оформления решения домашних задач. В это время учитель проводит теоретический опрос, 3—6 учащихся работают по индивидуальным карточкам. После теоретического опроса проверяют правильность решения домашнего задания.

Теоретический опрос.

— Перечислите основные свойства площадей.

— Сформулируйте и докажите теорему о площади прямоугольника.

Работа по карточке.

1.   Периметр квадрата равен 20 см. Прямоугольник имеет такую же площадь, что и квадрат, а одна из его сторон равна 10 см.

Найдите периметр прямоугольника.

2.   Найдите площадь прямоугольника с периметром 60 см и отношением сторон 1 : 2.

Решение задач:

(Ф) 1. дано: ABCD - параллелограмм, ВМ= 4,           6, ВМ -L О, CN АД Доказать: ,.SABM DCN. Найти: SAB(Y).

А

Рис.

2. дано: ABCD -параллелограмм. Найти: SABCD.

                                                            к    Рис. 2

П этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Доказать формулу для вычисления площади параллелограмма

(Ф) 1. Ввести понятие высоты параллелограмма. На доске и в тетрадях — рисунок.

Рис. З

ВН— высота, проведенная к стороне AD параллелограмма ABCD. ВК— высота, проведенная к стороне CD параллелограмма ABCD.

(Г/Ф) 2. Задача.

Дано: ABCD — параллелограмм, AD = а, ВН— высота, ВН= h. Найти: SABCD•

(Разбить учащихся на группы по 3—4 человека, Дать на обдумывание 3—5 минут, а затем обсуДить решение задачи, выслушав все варианты и выбрав среди предложенных наиболее удачный. Решение заДачи оформляется в виде теоремы на Доске и в тетраДях. У доски работает один из наиболее подготовленных учащихся.)

Теорема: S = а • ha, где а — сторона параллелограмма, ha — высота, проведенная к ней.

А

Рис. 4 Доказательство:

1)                Проведем ВН О, СЕ О.

2)                ЛАВН= ОСЕ по гипотенузе и острому углу (АВ = CD, как противолежащие стороны параллелограмма; Zl = П, так как Z2 = 80 ⁰ — ZADC и Zl + Z2 = 1 80 ⁰ , как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей АО, ZAHB = ZCED = 90 ⁰ ) S„н = S l)CE, DE=AH.

З) SABC.D = SABH + SIIBCD S + SHBCD — SHD(E. НВСЕ — прямоугольник, SHB(7.: —- НЕ ВН•, НЕ = Ю) + DE, но так как DE = АН, то НЕ = АН + Ю = О, то есть • : = AD • ВН= а — ha, отсюда SAB(7) = а — ha

III этап. Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

На простых задачах отработать применение формулы площади параллелограмма

(Ф) Решить задачи: № 459 (а) (устно), 459 (б, в), 464 (в) (устно)

Самостоятельная работа

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1

Стороны параллелограмма 10 см и 6 см, а угол между этими сторонами 150⁰ .

1.   - = 30 ⁰ .

2.   Катет АЕ лежит против угла 30 ⁰ , поэтому АЕ = 0,5АВ = 3 см.

           АВСЮ - вс .АЕ= 10 • з = зо (см ² ).                                                                               6

Вариант П

Острый угол параллелограмма равен 30⁰ , а высоты, проведенные из вершины параллелограмма.

1.                    Катет ВМ лежит против угла в 30 ⁰ , поэтому АВ = 2ВМ= 6 см.

2.                    = ВК. DC=8 6=48 (см ² ).

Вариант III Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 8 см и 6 см.

Использовать задание З из домашней работы. ВО см, АО = ОС=З см.

²

S АКВО. = з .       12 (см).

²

12 • 2 = 24 (СМ).

Организовать проверку, открыв доску с правшљным решением.

ПоДвести учащихся к выводу, что площадь ромба равна половине произведения

тупого в

зоо

его

Найдите площадь

Рис. 5

угла,

Рис. 6

D

рис. 7

Диагоналей

этого параллелограмма.

D

равны 8 см и З см. Найти площадь

к

Цель деятельности чителя

Создать условия для выведения формулы площади треугольника

Те мины и понятия

Площадь квад ата, площадь п ямо гольника, площадь па аллелог амма, площадь т е гольника, авновеликие

иг ы

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом; умеют работать с геометрическим текстом

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение.

Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи.

Коммуникативные: умеют находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, ешений, рассуждений

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная (Ф); индивид альная (И)

Образовательные ес сы

•  Учебник.

•  Задания для индивид альной и онтальной аботы

этап. П ове ка домашнего задания

Цель деятельности

Совместная деятельность

2

Проверить уровень усвоения теоретического мате иала,

(Ф/И) l . Теоретический опрос.

— Сформулируйте и докажите теорему о площади параллелограмма. (Один ученик готовит Доказательство теоремы у доски.) —С о м ли йте основные свойства площадей иг

IV этап. Итоги

ока. Ре лексия

Деятельность учителя

Деятельность чащлся

(Ф)

По каким формулам можно вычислить площадь параллелограмма и площадь ромба?

— Что нового узнали на уроке?

— Оцените свою работу

(И) Домашнее задание: 2, вопрос 4, с. 133; № 459 (г), 460, 464 (б).

По желанию:

I . Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см , а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сторон на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла.

От в ет : 45 ⁰ ; 135 ⁰ .

2. Сравните площади параллелограмма и прямоугольника, если они имеют одинаковые основания и одинаковые периметры.

О т в е т : площадь п ямоугольника больше площади па аллелог амма

2

выявить трудности, возникшие у учащихся

— Сформулируйте теорему о площади прямоугольника. 2. Решение задач с целью закрепления формулы для дующей самопроверкой.)

1) ABCD — параллелограмм. Найти: SABCD.

А

Рис.

3) ABCD— параллелограмм. Найти: SABCD.

Рис. З

Ответы: 1) SABCD = 30 см²   ABCD — 20 СМ2; З) SABCD - 56

вычисления площади параллелограмма. (Самостоятельно с после-

2) ABCD -параллелограмм. Найти: SABCD.

Рис. 2

 8 см. Найти: SABCD.

Рис. 4 см ² ; 4) ABCD — 40 см2

П этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Совместная деятельность

Подготовить учащихся к восприятию новой темы

(Ф/И) Решите следующие задачи (устно):

. ABCD — параллелограмм.

Найти: SABCl),

А

Рис. 5

В процессе решения этих задач необходимо повторить основные свойства раллелограмма, акцентируя внимание учащихся на том, что диагональ делит

2. ABCD — параллелограмм. Найти: SABD.

Рис. 6

площадей, формулу для вычисления площади папараллелограмм на два равных треугольника.

III этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Вывести формулу

площади треугольника

(Ф) Задач а.

Дано: в треугольнике АВС АВ = с, СН— высота, СН h. Найти: SABC.

Учащиеся решают задачу самостоятельно, после обсуждения решения задачи

и на доске записывается:

ha • а : 2, где а — сторона треугольника, /1а — высота, проведенная к стороне

Следствия 1 и 2 можно предложить в виде задач на доказательство по вариантам. вар и ант: В ЛАВС Z С = 90 ⁰ . Докажите, что SAB(— АС • ВС.

П вар и ант: В треугольниках АВС и ЛПК высоты, проведенные к сторонам Докажите, ЧТО SABC : SMNk

Решения задач обсудить, в тетрадях и на доске начертить рисунки и выполнить СлеДствия теоремы о площаДи треугольника.

1.  Soc= CA • св . 2

Рис. 8

2.  Если ВНи NE-высоты ДАВС и ЛЛЛК соответственно и ВН- ЛЕ, то

                     Рис. 9а                              Рис. 96

в тетрадях                  

                                                                      А           Н

а.

АВ и ДТ соответственно, равны.

запись:

= АС: МК

МАК

в

Рис. 7

IV этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

2

З

При решении задач отработать формулу площади треугольника

(Ф) 1. Решить устно задачи № 468 (а, б), 471, 474. К задаче № 474 заранее подготовить на доске рисунок.

Отве ты к задачам:

2

№ 468       77 см .

№ 468 (6).           см ²

№ 471 22 см ² •, (6)     дм ² № 474. Площади равны.

2. Решить задачу № 470. Один из учащихся работает у доски, остальные — в тетрадях.

З. Решить самостоятельно задачи № 472, 475

М 470.

Я = 0,5а •                    •                  = 9 (см ²).

2

2-9

= 0,5b hb, значит, hb —= 5,625 (см). 3,2

472.

Ж = 0,5а • Ь; а = 7х; Ь = 12x,        • 7Х • 12x=  14 см,

Ь = 24 см.

№ 475.

У каз а н и е : нужно разделить отрезок ВС на три равные части ВК, КЕ, ЕС, используя теорему Фалеса.

в

Рис.

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Какие формулы повторили на уроке?

— Как найти площадь треугольника? Площадь прямоугольного треугольника?

— Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: решить задачи № 468 (в, г), 473, 469

Цель деятельности чителя

Создать условия для доказательства теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу

Те мины и понятия

Площадь т е гольника, авновеликие

иг ы, отношение площадей

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом; умеют работать с геометрическим текстом

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение.

Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи.

Коммуникативные: умеют находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, ешений, ассуждений

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ес сы

• Учебник.

• Задания для индивидуальной и онтальной работы

этап. П ове ка домашнего задания. Тео етический оп ос

Цель деятельности

Деятельность чителя

Деятельность учащихся

2

З

Проверить уровень усвоения формул для нахождения площади треугольника

— Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника.

— Выведите формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника.

— Докажите, что если высоты двух треугольников равны, то их площади соотносятся как основания.

(И) — Решите задачи с последующей самопроверкой. Найти: SABC.

Рис.

Ответ: 36 см2

2

ABCD — квадрат, АВ Найти: SAB(X.

Найти: ЯСА.

к

4 см

Рис. 2

Рис. З

Ответ: 15 см

Ответ: 60 см ²

П этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Совместная деятельность

Через решение задач подготовить учащихся к восприятию новой теоремы

(Ф)

1.СМ— медиана МВС, СК — медиана МСМ.

                                                 НаЙТИ.•            :           SA(M :            SACk : SB(k.

1 2 1

Ответ: —

Рис. 4

М— середина АД К — середина CD. ABCD — выпуклый четырехугольник. Доказать: SMBkD АВС/) •

                                                                                      Доказательство: ^SADB : ^SMDB                                ж:в: окв ^{2 1} , ^SABCD— ^SADB+ SDB(.•; SMDkB

,4BCl) : SMDkB

Рис. 5

III этап. Из чение новой темы

ель деятельности

Совместная деятельность

Доказать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному гл

(Ф) Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы. (Доказывает сам учитель.)

IV этап. Зак епление из ченного мате иала

Цель деятельности

Деятельность чителя

Деятельность чащихся

На примерах отработать применение данной теоремы

(Ф)

1.                 Дано:  см,           см, км=2 см. Найти. SABC : SkMN. с

м

к

                                       Рис. 6                                           Рис. 7

2.                 Дано: Т = 8 см, ов=6 см, ОС = 5 см, 0D = 2 см,

2

^SAOB = 20 СМ . Найти:

Рис. 8 (И) Решить самостоятельно задачу.

Площадь одного равностороннего треугольника в З раза больше, чем площадь другого равностороннего треугольника. Найдите сторону второго треугольника, если сторона первого равна 1.

Решить самостоятельно задачу № 479 (б)

1.  Решение:

      : (АС • АВ) : (КМ • КМ = 15 : 14

2.  Решение:

 (АО • (В) : (ОС • 0) = 48 :

25

- 200 : 48 -   (см2) 6

Про верка:

тогда

479 6 . 2,4 см

Самостоятельная абота об чающего ха акте а

Цель деятельности

Задания для самостоятельной аботы

2

Проверить уровень понимания доказанной теоремы

Вариант 1

I . Две стороны треугольника равны 1 2 см и 9 см, а угол между ними 30 ⁰ . Найдите площадь треугольника.

2.дано: АО = 4; ВО = 9; СО - 5; ДО = 8. - 15. Найти: SB01).

в

Рис. 9

Цель деятельности

УЧ ител я

Создать условия для доказательства теоремы о площади трапеции

Термины и понятия

Площадь треугольника, площадь трапеции

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом; умеют работать с геометрическим текстом

Познавательные: умеют принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации.

Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

•  Учебник.

•  Задания для индивидуальной работы

2

Вариант П

1. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 8 см, а угол между ними 30 ⁰ .

                            D дано:           10; СО =12;      6; ВО=8 , SВОД

Найти:

в с

Рис. 10

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И) — Продолжите фразы:

•  Сегодня на уроке я узнал...

•  Мне было труднее всего...

•  Самым полезным для меня было...

(И) Домашнее задание: решить задачи № 479 (а), 476 (а), 477

этап. Прове ка домашнего задания. Теоретический опрос

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить уровень усвоения теоретических знаний; выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

Провести блицопрос по теории.

К доске вызывается учащийся для решения домашнего номера № 476 (а). Остальные ученики задают вопросы, возникшие

У них.

Задача № 476 (а).

В Решение:

Диагонали ромба разбивают его на четыре равных прямоугольных треугольника площади этих треугольников равны.

^SABCD = 4 • SАОВ                          • — АО • ОВ. 2

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то АО = —АС, ОВ = — BD

1

значит, SABCD 4       —АС • —BD= —АС • ВД то есть площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

                                       2       2

а) dl = 3,2 дм, 4 = 14 см                       = —4 ф =14 = 224 (см ² ).

                                                                         2                    2

2

Ответ: 224 см

Решение задачи с целью подготовки учащихся к восп иятию нового мате иала

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Посредством реше-

ния задачи подготовить учащихся к восприятию новой темы

(И/Ф) Задача решается самостоятельно с последующим коллективным обсуждением решения.

Найдите площадь трапеции ABCD, если основания AD и ВС равны соответственно 12 см и 8 см, боковая сторона АВ равна 6 см, ZA= 30 ⁰ .

Решение:

В 8 см с н               Проведем высоту ВК в треугольнике АВД которая равна высоте в треугольнике BCD, то есть       DH.

                                                        = О ВК : 2;          = ВС • DH: 2.

                                                                 ABCD ^SABD + ^SBCD                     • вк•. 2+вс •                 : 2.

                                               BkDH— прямоугольник, поэтому ВК = DH, тогда SABCD=вк•          + ВО : 2.

Рис. 2

АВ

Найдем ВК из прямоугольного треугольника АВК, в котором ZA = 30⁰ , АВ=6 см; вк-          = З см. 2

ABCD-3  : 2=27 см²

Ответ: SABCD= 27 см²

этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Доказать формулу для вычисления площади трапеции

(Ф/Г) 1. Понятие высоты трапеции.

ОпреДеление. Перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание, называют высотой трапеции.

ВН, Щ - высоты трапеции АВСД вн= DHl.

                                                   Рис. З

2. Решение задачи.

Найти площадь трапеции ABCD, если основания AD и ВС равны а и Ь соответственно, а высота — Н.

Задачу можно предложить решить самостоятельно или в небольших группах, затем обсудить решение, записать на доске и в тетрадях в виде теоремы с доказательством.

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. (Теорема Доказывается учителем вместе с учениками; можно преДложшпь учащимся самостоятельно разобрать ее по учебнику.)

этап. Решение задач на закрепление изученной формулы

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

З

На примерах простых задач отработать применение доказанной формулы

1 . Решить задачу. Дана трапеция, в которой основания равны 2 и 7, а площадь 18. Найти высоту.

2. Решить № 480, 481, 482 (самостоя тельно в парах, с последующей проверкой)

От вет : высота равна 4.

.N2 480.

2

D а) Если Ж) = 21 см,           17 см,  см,    — (21 + 17) • 2

6) Если ZD = 30 ⁰ , ВС = 2 см, О = 10 см, DC = 8 см, то S-?

1

В ADCCI ZC: = 90 ⁰ , О = 30⁰ , значит, СС = —CD = 4 см, 2 но,       4 см.

— (2 + 10) 4= 24 СМ ²

2

Рис. 4

ВЗ см.

следователь-

2

в) АВ = 5 см,          8 см,           В см,                                 в

ТО SABCD= 72 см² .

2

      481.                                                                           D Рис. 5

дано: ABCD -трапеция. ZD = 90 ⁰ ,

ВС = 0=6,                       135 ⁰ .

Найти: SABCD.

Решение:                                                                          D Рис. 6

1)  ВД LAD, рассмотрим МВД: ZB1 = 90⁰ , ZA = ZB = 45 ⁰ , значит, АД = ВД = 6 см, отсюда О = + ВР =6+6= 12 см.

2)  SABCD. = — (AD+BC) • СО S : ^щ (12+6) •            54 см ² =

                        2                                                     2

2 Ответ: 54 см

482.

дано: ABCD -трапеция. АВ = СД = 135 ⁰

Найти: SABCD•

Решение:                                                                               Рис. 7

1)                  Рассмотрим МВД: ZBl 90⁰ , ZA = ZB = 45 ⁰ , следовательно,

Щ = Щ =             см; аналогично из АССР: СР = Щ = 1 ,4 см.

2)                  = вр- ср

ВС, = 3,4 — 1,4 = 2 см, значит, ВС = 2 см. AD=ABl + ВР- + = см.

1               2 З) SABCD= — (О + ВС) • Щ; , = — (4,8 + 2) •            = 4,76 см

2               2

2

Ответ: 4,76 см

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Составьте синквейн к

ок

(И) Домашнее задание: S 2, вопрос 7, с. 133; № 518

Цель деятельности чителя

Создать условия для ознакомления учащихся с методами решения задач по теме «Площадь многоугольников»

Те мины и понятия

Площадь т е гольника, площадь т апеции, площадь п ямо гольника и па аллелог амма

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом; умеют работать с геометрическим текстом

Познавательные: умеют принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации, выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки.

Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню вВИТИЯ на ки и общественной п актики

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф ; индивид альная И ; г пповая Г

Образовательные ес сы

•  Учебник.

•  Задания для индивид альной и г пповой аботы

этап. П ове ка домашнего задания

ель деятельности

Задания для самостоятельной аботы

Проверить уровень сформ ированности теоретических знании по данной теме

(И) Тест (см. Ресурсный материал)

П этап. Решение задач

ель деятельности

Задания для самостоятельной аботы

Научить решать задачи на применение формул площадей

(Г) 1. В трапеции АВСМ одно из оснований в З раза меньше другого, а высота составляет 75 % большего основания. Площадь трапеции равна 72 см-. Найдите основания и высоту трапеции.

2. В параллелограмме ABCD на стороне AD отмечена точка М так, что АМ : ЛО = 3 : 2. Найдите площадь ЛАВМ, если площадь параллелограмма равна 60 см 2.

З. В параллелограмме КМРТ диагональ МТ перпендикулярна стороне МК, КМ = 13 см, МТ = 5 см. Найдите площадь параллелограмма и его высбты, если МР = 14 см.

4. В ДКМР высота МВ делит сторону КР на отрезки 6 см и 8 см, ZMkP = 45 ⁰ . Найдите площадь ЛКМР.

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Сформулируйте теорему о нахождении площади прямоугольника.

— Сформулируйте теорему о нахождении площади параллелограмма.

— Сформулируйте теорему о нахождении площади треугольника.

— Сформулируйте теорему о нахождении площади трапеции. — Оцените свою работу

(И) Домашнее задание: выполнить задания на карточках (см. Ресурсный материал)

Ответы к тес

2

З

4

5

6

7

Ва иант

б

в

а

в

б

а

б

Ва иант П

в

6

в

а

6

в

а

Цель деятельности учителя

Создать условия для закрепления знаний учащихся по теме «Площадь многоугольников»

Термины и понятия

Площадь треугольника, площадь трапеции, площадь прямоугольника и параллелограмма

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом; умеют работать с геометрическим текстом

Познавательные: умеют принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации, выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки.

Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

•  Учебник.

•  Задания для индивидуальной работы

1 этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

2

Отработать навыки решения задач на готовых чертежах

(ФИ) 1. Решить задачи (устно).

1) ABCD — параллелограмм, ВН = 8 см. 2) Найти: SAB(7). Найти: ВК.

6

А

                     Рис.                                                                                               Рис. 2

2

3)  Найти SABC, если треугольник — прямоугольный. в

4

Рис.

4)  Найти SABC.  В

Рис. 4

ответы : 1)               4,8; 2)

2. Решить задачи с последующей самопроверкой (письменно).

1)              Найти ,soc.     в

                                 Рис. 7

2)              Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС

этого треугольника.

3)              АВМ- трапеция, ВС : З; вк=б , SABCD= 60. Найти: ВС, О.

ответы: 1) 27; 2) 36; 3) 8 и 12

5)  АС: 12 , SABCD= 48.

    Найти: BD.          В

6)  Найти SABCD.

= 8; 6) SABCD —- 37,5.

и углом при основании 75

 Рис.

Рис. 5

Рис. 6

⁰ , боковая сторона 12. Найти площадь

8

ll этап. Самостоятельная абота

Цель деятельности

Задания для самостоятельной аботы

2

Выявить уровень

самостоятельности при решении задач

Вариант 1

1. Сторона параллелограмма равна 21 см, а высота, проведенная к ней, 15 см. Найдите площадь параллелограмма.

2. Сто она т е гольника авна 5 см, а высота, проведенная к ней, в 2 аза больше сто оны. Найдите площадь т е гольника.

2

З. В трапеции основания равны 6 и 10 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.

4.  Стороны параллелограмма равны 6 и 8 см, а угол между ними равен 30⁰ . Найдите площадь параллелограмма.

5.  Диагонали ромба относятся как 2 : З, а их сумма равна 25 см. Найдите площадь ромба.

Вариант П

1.  Сторона параллелограмма равна 17 см, а его площадь 1 87 см ² . Найдите высоту, проведенную к данной стороне.

2.  Сторона треугольника равна 18 см, а высота, проведенная к ней, в З раза меньше стороны. Найдите площадь треугольника.

З. В трапеции основания равны 4 и 12 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.

4.  Стороны параллелограмма равны 4 и 7 см, а угол между ними равен 150 ⁰ . Найдите площадь параллелограмма.

5.  Диагонали омба относятся как З : 5, а их с мма авна 8 см. Найдите площадь омба

III этап. Итоги ока. Ре лексия

Деятельность чителя

Деятельность ЧаЩИХСЯ

— Какие формулы повторили на уроке?

Какой этап урока оказался для вас наиболее сложным?

Оцените свою або на оке

Домашнее задание: выполнить другой вариант самостоятельной работы

Цель деятельности чителя

Создать условия для выведения доказательства теоремы Пифагора и ее применения при решении задач

Те мины и понятия

П ямо гольныйт е гольник, катеты, гипотен за

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Владеют геометрическим языком, умеют использовать его для описания предметов окружающего мира

Познавательные: умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в окружающей жизни.

Регулятивные: понимают сущность алгоритмических предписаний и умеют действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соотвтествующее современному уровню азвития на ки и общественной п актики

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф); индивид альная (И

Образовательные ресурсы

•  Учебник.

•  Задания для фронтальной работы.

•  Исто ические сведения о тео еме Пи аго а

этап. Ак ализация опо ных знаний

Анализ самостоятельной аботы

Решение задач по готовым че тежам

цель деятельности

Совместная деятельность

Подготовить учащихся к восприятию новой темы

(Ф) 1. Найти SAB(]).2. Доказать, что MNPk — квадрат.

м

к

Рис. 2

П этап. Из чение нового мате иала

ель деятельности

Совместная деятельность

Показать историческую значимость тео емы Пи аго а

(Ф) Историческая справка (см. Ресурсный материал)

оказательство тео емы

ель деятельности

Совместная деятельность

Предложить учащимся доказательство, отличное от представленного в учебнике

(Ф) Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах, и укладывании полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе

5

в

Рис. З

III этап. Зак епление из ченного мате иала

ель деятельности

Деятельность чителя

еятельность чащихся

2

З

На примере решения простейших задач отработать формулу данной тео емы

(Ф/И) 1. Решить № 483 (а, б), 484 (а, б) (устно).

2.  На доске и в тетрадях решить № 487.

3.  Самостоятельно решить № 485, 486

ЛЬ 483 (а, б).

6² + 8 ² = 100, значит, гипотенуза равна 10.

5 ² + 6² = 61, значит, гипотенуза равна 4.46

2

N2 487.

в

Дано: ЛАВС — равнобедренный,

 17 см, АС = см,

BD — высота.

Найти: ВД

С Рис. 4

Решение.

1)                В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, поэтому AD = АС 2

2)                ДАТ) — прямоугольный. По теореме Пифагора:

АВ² = АО + В», откуда В» = АВ² -AD²= 17 ² -8 ² = 225.

Так как BD > 0, то         15 см.

485.

дано: МВС, ZC = 90 ⁰ И = 60⁰ , с.

Найти: ВС.

С Рис. 5 Решение.

1)  Так как        = 30 ⁰ , то АС =

З

2)  ВС² =           - АС^И, ВС² = 8 8 = —с , следовательно, ВС =

4          4          2 486.

а) Если АВ = 5, АС = 13, то О— ? 0² = АС² - 2 — - 169 —25 = 144

12.

Рис. 6 6) Если 1,5, АС = 2,5, то ВС — ?

ВС² = АС² -АВ² •, ВС ² — - 6,25 — 2,25 = 4, следовательно, ВС = 2. в) Если BD = 17, ВС = 15, то CD—?

с» = в» - вс² , с» — - 289 — 225 = 64, следовательно, CD = 8

1V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— С какой теоремой познакомились на уроке?

— Составьте синквейн к ок

(И) Домашнее задание: подготовить сообщение о жизни Пифагора и его школе

Цель деятельности чителя

Создать условия для выведения доказательства теоремы, обратной теореме Пифагора, и ее применения при решении задач

Те мины и понятия

П ямо гольныйт е гольник, катеты, гипотен за

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Владеют геометрическим языком, умеют использовать его для описания предметов окружающего мира

Познавательные: умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в окружающей жизни.

Регулятивные: понимают сущность алгоритмических предписаний и умеют действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню азвития на ки и общественной п актики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Учебник.

• Исторические сведения о применении теоремы Пифагора

этап. Актуализация опорных знаний

Проверка домашнего задания

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить, какие сообщения подготовили учащиеся

(И) Учащиеся выступают со своими сообщениями или презентациями.

(Ф) Учитель рассказывает о применении теоремы Пифагора (см. Ресурсный материал)

II этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Постановка учебной задачи

Подвести учащихся к теореме, обратной теореме Пифагора

(Ф) Сформулировать утверждения, обратные данным, и выяснить, верны ли они:

•  Сумма смежных углов равна 180⁰ .

•  Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

•  Вертикальные углы равны.

•  В параллелограмме противолежащие стороны равны.

•  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

(В последнем случае учащиеся смогут сформулировать утверждение, обратное Данному, а провести Доказательство его справедливости может помочь учитель.)

III этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Доказать теорему, обратную теореме Пифагора

(Ф) 1 . Учитель доказывает данную теорему.

2. Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Например, треугольник со сторонами 26, 24 и 10.

— Приведите примеры пифагоровых треугольников. (10, 8 и б; 13, 12 и 5; 5, 4 и З; 15, 12 и 9 и Другие.) 3. Являются ли пифагоровыми треугольники:

а) с гипотенузой 25 и катетом 15;

б) с катетами 5 и 4?

4. Треугольник со сторонами З, 4, 5 был известен еще древним египтянам. Египтяне использовали его для построения прямых углов. Делали они это так: на веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами З, 4 и 5. Угол, лежащий против стороны, равной 5, оказывался прямым. Этот треугольник получил название египетского треугольника и по сей день именно так его и называют

IV этап. Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Закрепить изученные теоремы при решении простейших задач

(ФМ) 1. Решить № 498 (а, 6, в) (устно).

2. Решить задачу № 499 (а). Один из учащихся по указанию учителя выходит к доске, остальные работают в тетрадях.

З. Решить самостоятельно задачи:

а) Определите углы треугольника со сторонами 1, 1, . (45 ⁰, 45 ⁰, 90 ⁰.)

б) В треугольнике АВС АВ = , ВС = 2. На стороне АС отмечена точка М так, что АМ= 1, 1. Найдите АС. (1 + Ф.)

в) В треугольнике МРК РК = 2. На стороне МК отмечена точка А так, что МА = АР = , АК = 1. Найдите ДИРК. (75 ⁰.)

499 (а).

25 ² = 24² + 7-, значит, треугольник прямоугольный и его площадь равна половине произведения его катетов, то есть

Меньшая высота проведена к большей стороне, а в прямоугольном треугольнике большей стороной является гипотенуза, значит, S = hc • с : 2, где с — гипотенуза, hc — высота, проведенная к гипотенузе, тогда hc.         - 6,72 (см).

Ответ: 6,72 см

kV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(И/Ф) Учащиеся продолжают фразы:

• Теперь я узнал, что..

• Теперь я могу...

• Раньше я не понимал, как...

• Раньше я не знал, что.

• Теперь я знаю, что

(И) Домашнее задание: п. 56; вопросы 9, 1 0; решить задачи № 498 (г, д, е), № 499 (6), 488

Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать.

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Цель деятельности учителя

Создать условия для совершенствования навыков решения задач на применение теоремы Пифагора и теоремы, обратной теореме Пифагора

Термины и понятия

Прямоугольный треугольник, катеты, гипотенуза

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять изученные понятия, методы для решения задач

Познавательные: осуществляют логические действия; формулируют ответы на вопросы.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач, адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики.

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Учебник.

• Задания для индивидуальной работы

этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельнбсти

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень сформированности знаний по теме

(Ф) 1. Теоретический опрос.

— Сформулировать теорему Пифагора.

— Сформулировать теорему, обратную теореме Пифагора.

(И) 2. Самостоятельное решение задач по готовым чертежам.

Решение с Мследующей проверкой и обсуждением (при необхоДииости) (количество предложенных задач можно изменить).

I . ABCD — параллелограмм.                                              2. DEll АС.

Найти: СД   Найти: АС. в

Рис.Рис. 2

2

З. ABCD — трапеция. Найти.                                                           6. Найти.• DC•, АС АВ.

              Рис. з                                                                                                                 В         Рис. 6

4.  Найти: ВД            7. Найти. В    В

                                                 Рис. 4                                                                                                                                Рис. 7

5.  АВО-квадрат. Найти: АО. 8. ABCD - параллелограмм. Найти: АД

в

                                                                                                                                                                  Е         D

                                                 Рис. 5                                                                                                                               Рис. 8