Цель деятельности учителя

Создать условия для обобщения и систематизации сведений, необходимых при изучении геометрии в 9 массе, повторения некоторых свойств треугольников и четырехугольников, закрепления знаний учащихся в ходе решения задач

Термины и понятия

Параллелограмм, прямоугольник, трапеция, ромб, треугольник, площади, теорема Пифагора

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют систематическими знаниями о плоских фигурах и их свойствах

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей. Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры и контрпримеры.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

•  Геометрия. 7—9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк,

И. И. Юдина. М.: Просвещение, 2014$

•  Готовые чертежи к заданиям

К этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

Повторить изученный в 8 классе материал

(Ф) Теоретический опрос:

— Дайте определение параллелограмма. Перечислите его свойства и признаки.

— Дайте определение прямоугольника. Перечислите его свойства и признаки.

— Дайте определение ромба. Перечислите его свойства и признаки.

— Дайте определение трапеции. Назовите виды трапеций. Перечислите свойства равнобедренной трапеции

П этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

2

Систематизировать теоретические знания при решении задач на повторение

(Г) 1. Решение задач:

1) Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на высоте, проведенной к основанию. 2) Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к его основанию, или на ее продолжении.

3) Докажите, что треугольник является равнобедренным, если две его медианы равны.

2

4) Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то этого треугольника, а центр описанной окружности — на той 5) Докажите, что середины сторон произвольного (П) 2. Решение задач по готовым чертежам. 1) Дано: NQ = Щ.

м

2) Дано: kMTF-трапеция.

Найти: sinZk, cosZk.

4

к

                               10            Рис. 2

3) дано: ABCD - параллелограмм. Найти: SABCI).

Рис.

центр вписанной в него же медиане или ее четырехугольника являются

4)               Дано: MLkN— Найти: SMLkN.

М

Рис. 4

5)               Дано: тМгж- трапеция. Найти: S7'MNk.

т

Рис. 5

м

Рис.

окружности лежит на одной из медиан продолжении.

вершинами параллелограмма.

параллелограмм. №IN:     = 2 : 1.

к

МК = 15, МЕ = 9.

к

2

7) Найти: ВС.В

                                                  Рис. 7                                                              Рис. 8                                                                                                Рис. 9

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Какие темы повторили на уроке?

— Что еще, по вашем мнению, п едстоит повто ить на сле ЮЩеМ оке?

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 15; 7—20; 30; 42—46; 49—55; решить задачи № 167, 163, 502, 513

Цель деятельности учителя

Создать условия для обобщения и систематизации сведений, необходимых при изучении геометрии в 9 классе, повторения некоторых свойств треугольников и четырехугольников, закрепления знаний учащихся в ходе решения задач

Термины и понятия

Параллелограмм, прямоугольник, трапеция, ромб, треугольник, высота; окружность, вписанная в треугольник; центральный гол, вписанный гол, хо да

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Имеют систематические знания о плоских фигурах и их свойствах

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности, для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей. Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры и контрпримеры.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню азвития на ки и общественной п актики

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная (Ф ; па ная        • индиви альная И)

Образовательные ес сы

• Чертежи к задачам

этап. Решение задач

ель деятельности

Совместная деятельность

2

Обобщить и систематизировать знания по изученному материалу 8 класса

(Ф/И) 1.

(П) 2. Решение 1 ) Найдите и 9 см, а высота 2) Вычислите 3) Вершины смаются под

(Ф) З. Решение I ) Дано: ДМЕЛ

Найти: ок.

м

Обсуждение вопросов учащихся по домашнему заданию. задач.

длины отрезков, соединяющих середины сторон трапеции с равными диагоналями, равна 8 см.

площадь треугольника АВС, если АВ = 8,5 м, АС = 5 м, высота AN= 4 м и точка четырехугольника ABCD являются серединами сторон четырехугольника, углом 60 ⁰ . Вычислите площадь четырехугольника ABCD.

дано: ZBAD = ZBCD = 90 ⁰ , ZCBD = ИЛ. Доказать: АВ = сд

Рис. 1 задач по готовым чертежам.

^Г — прямоугольный.               3)                  дано: ЛАВС -прямоугольный,

12                                                                                                                                                   

Рис. 2   Рис. 4 к

Дано: MMN и вписанная дано: АВ + СЕ = CD в него окружность. Найти: ОД Найти: ZN.

м

Рис.                                                                        Рис. 5

л^т диагонали

5)

м

6)

С)

м

если ее

лежит на которого

N

Рис. б

Найти: RE.

х

Рис. 7

основания равны 7 см

отрезке ВС.

равны 6 дм и пере-

дано: ZNMC = 75 ⁰ , ЛМ : ОМС=2: 1.

Найти: ZO.

2

7)дано: ABCD -ромб. Найти: Ви^г.

Рис. 9

П этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Какие темы повторили на уроке? — Задайте и воп оса по теме ока

(И) Домашнее задание: решить задачи № 51 5, 51 7, 524

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятий вектора, его начала и конца, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных, сонаправленных, противоположно направленных, равных векторов

Термины и понятия

Вектор, ненулевой вектор, равенство векторов, коллинеарные векторы, сонаправленные векторы, противоположно направленные, длина векто а

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют формулировать определения и иллюстрировать понятия вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей. Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры и контрпримеры.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню азвития на ки и общественной п актики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Чертежи к задачам

этап. Актуализация опорных знаний. Вводное повторение

Цель деятельности

Совместная деятельность

Организовать повторение изученного материала по геометрии 8 ютасса

(ФМ) 1. Устный опрос по теории:

1) Сформулируйте определения медианы, биссектрисы и 2) Дайте понятие равнобедренного треугольника, назовите

3)              Дайте определение средней линии треугольника и

4)              Сформулируйте теорему Пифагора и обратную ей теорему.

5)              Назовите формулу для вычисления площади треугольника. 6) Дайте понятие параллелограмма, свойства и признаков 7) Дайте определение трапеции, назовите виды трапеций.

8)   Как вычисляется площадь параллелограмма, трапеции,

9)   Назовите четыре замечательные точки треугольника.

(Ф) 2. Решение задач по готовым чертежам.

С Дано: ABCD — квадрат. Найти: Ршск, SAMCk'.

Рис. 1

(О т в е т : РАмск= 16 , SМСК= 12.)

Дано: ABCD — прямоугольник. Найти: РАЖ), SAB().

Рис. 2

(Ответ : РАВО = 16 , SАВО- 12.)

высоты его сформулируйте

З)

4)

треугольника. свойства, признаки ее свойство.

параллелограмма, ромба,

треугольника, ромба?

Рис. З

(Ответ:

Рис. 4

(О твет.• ДОС

равенства треугольников.

прямоугольника.

Дано: ABCD — трапеция. Найти: РАЖИ), SABCD.

D

= 12 + 26 +               ,            - 86 +6.)

дано: ЛВС, вм= 2, АК =4, КС = З, = 60⁰ .

Найти: ИОС , РАВС,.            

= 1200, Рос- 18.)

II этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие вектора

(Ф) Материал рекомендуется изложить в виде лекции:

1.     Понятие векторных величин (или коротко — векторов).

2.     Примеры векторных величин, известных учащимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие (учебник, рис. 240).

3.     Определение вектора (рис. 241, 242).

4.     Обозначение вектора двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, АВ или обозначение одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: а, Ь, с (рис. 243, а, б).

5.     Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обо-

значают: О = ММ = АА (рис. 243, а).

6.     Определение длины или модуля ненулевого вектора АВ . Обозначение: lABl, а . Длина нулевого вектора а = 0.

7.     Нахождение длин векторов, изображенных на рисунках 243а и 2436.

8.     Выполнение практических заданий № 738, 739.

9.     Рассмотрение примера движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении (учебник, п. 80, рис. 244).

10.  Введение понятия коллинеарных векторов (рис. 245).

1 1 . Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение (рис. 246).

12.  Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

13.  Определение равных векторов: если а! I Ь и      Ь , то а = Ь .

14.  Объяснение смысла выражения: «Вектор а отложен от точки А» (рис. 247).

15.  Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (рис. 248).

16.  Выполнение практического задания № 743.

17.  Решение задачи № 749 по готовом че теж на доске стно

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать

навык решения задач на закрепление изученной темы

1.               Решить задачу № 740 (а) на доске и в тетрадях.

2.               Решить задачу № 744 (устно).

3.               Решить задачу № 742.

4.               Решить задачу № 745 (выборочно).

5.               По заготовленному чертежу решить задачу № 746 (устно).

6.               Доказать прямое утверждение в задаче № 750

Рис. 5

По условию АВ = CD, то АВ CD, значит, по признаку параллелограмма ABDC — параллелограмм, а диагонали параллелограмма точкой

пересечения делятся пополам, значит, середины отрезков AD и ВС совпадают

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— С каким понятием познакомились на уроке?

— Назовите векторные величины из физики

(И) Домашнее задание:

1. Решить задачи по готовым чертежам:

1) Дано: АС = В.

Найти: АМ, МС.

                       D          Рис. 6

2. № 740 (б), 747, 750 (обратное утверждение),

2) Найти: ZBAD, ZBCD.

Рис. 7

751

Цель деятельности учителя

Создать условия для обучения откладыванию вектора, равного данному

Термины и понятия

Вектор, ненулевой вектор, равенство векторов, коллинеарные векторы, сонаправленные векторы, противоположно направленные, длина вектора

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют формулировать определения и иллюстрировать понятия вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей. Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, приводят примеры и контрпримеры.

Личностные: имеют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

•  Задания для самостоятельной и парной работы.

•  Готовые чертежи к задачам

этап. Ак ализация опо ных знаний

ель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф) 1 . Проверка домашнего задания. К доске вызываются двое учеников и демонстрируют решение задач по готовым чертежам.

2. Обсуждение вопросов по выполнению домашнего задания.

З. Теоретический опрос:

1)  Назовите все векторы, изображенные на рисунках.

2)  Среди изображенных векторов укажите коллинеарные, сонаправленные, противоположно направленные, равные

                               Рис.                    м                         Q Рис. 2

П этап. Мотивация к деятельности

ель деятельности

Совместная деятельность

Научить откладывать от заданной точи вектор, равный данному

(И) Самостоятельно прочитайте в учебнике п. 81. (Один из учеников у доски комментирует прочитанное.)

1)  Постройте три попарно неколлинеарных вектора а, Ь, с . Выполните задания: постройте вектор, коллинеарный вектору а .

сонаправленный с вектором Ь , противоположно направленный вектору с ; отложите от точки О вектор, равный вектору с .

2)  Дан прямоугольник ABCD со сторонами 3 и 4. Найдите длину вектора АС

IlI этап. Самостоятельная абота

Цель деятельности

Задания для самостоятельной аботы

2

Проверить уровень усвоения теоретического материала

(И) Самостоятельная работа с самопроверкой. Первое задание проверяет учитель. Вариант 1

1. Даны векторы. Отложите от точки А вектор:

1)  равный б ;

2)  сонаправленный Ь •

З) противоположно направленный с .

Рис. З

2. ABCD — ромб. Равны ли векторы: а) АВ и DC ; б) ВС и Т ; в) АВ и AD ? Вариант П

1. Даны векторы. Отложите от точки В вектор:

1)  равный Ь ;

2)  сонаправленный с ;

Рис. 4 З) противоположно направленный а .

2. АВСД -квадрат. Равны ли векторы: а) ВА и DC ; б) ВС и AD

2

Ответы .

                       Вариант                                                                                         Вариант П

2. а) AB=DC•, 6) ВС*Т•, в) АВ „О .                                                    2. а) ВК СО, 6) ВС- АО, в)

IV этап. Решение задач на повторение

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Повторить материал

7—8 классов

(П) Решить задачу.

Найти периметр описанной около окружности прямоугольной трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см, а радиус окружности равен 4 см

Краткое решение:

1)                Найдем ббльшую боковую сторону по теореме Пифагора:

2)                Около окружности можно описать трапецию, если суммы длин противоположных сторон равны:

х + х +6=8+ 10; х = б.

З) Р = 8+6+ 12 + 10=36 см.

Ответ: 36 см

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Оцените свою работу на каждом этапе урока.

— Какой этап оказался для вас наиболее сложным? Почему?

(И) Домашнее задание: № 748, 749, 752

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятия суммы двух векторов, рассмотрения законов сложения векторов, обучения построению суммы двух данных векторов с использованием правила треугольника и параллелограмма

Термины и понятия

Вектор, сумма векторов, разность векторов, правило треугольника, правило параллелограмма

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять векторы, находить сумму и разность векторов, строить сумму и разность векторов

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации.

Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф ; индиви альная

Образовательные ес сы

• Задайия для парной и фронтальной работы

этап. Ак ализация опо ных знаний

ель деятельности

Совместная деятельность

Проверить правильность выполнения домашнего задания

Проверить решение задачи № 752.

а) Если а = Ь , то а] — lbl и а т т;.

Ответ: верно. б) Если а = Ь, то Ь , то есть а и Ь коллинеарные.

Ответ: верно.

в) Если а = Ь , то а ТТ Ь , значит aTJb — не может быть. Ответ: неверно. г) Если а ТТ Ь , то не обязательно а = Ь , так как может быть, что а Ь . Ответ: неверно.

д) Если а = 0 , то а Ь , так как 0 сонаправлен с любым вектором.

Ответ: ве но

П этап. Учебно-познавательная деятельность

ель деятельности

Совместная деятельность

Научить строить сумму векторов, используя правило треугольника и правило параллелограмма

(Ф)

1.  Рассмотреть пример п. 82 о перемещении материальной точки из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С (рис. 249).

Записать: АС = АВ + ВС .

2.  Ввести понятие суммы двух векторов (рис. 250); правило треугольника с = a+b.

3.  Устно провести доказательство по рис. 251.

4.  Записать в тетрадях:

1)  для любого вектора а справедливо равенство а + 0 = а •

2)  если А, В и С— произвольные точки, то АВ + ВС = АС (правило треугольника).

5.                 Выполнить практическое задание № 753.

6.                 Рассмотреть законы сложения векторов.

7.                 Рассмотреть правило параллелограмма (рис. 252) и частное использование этого правила в физике, например при сложении дв х сил

III этап. Практическая работа. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения задач

1.                 Начертите попарно неколлинеарные векторы а, Ь, и с . Постройте векторы.а+Ь, Ь + а, а + с, а + Ь +с, а + Ь + с

2.                 Решите № 759 (а) без помощи чертежа.

З. Упростите выражения:

1) (АВ+ВК)+КМ•, 2) (MN+ xy)+NX.

(П)

4.                  Найдите вектор х из условий:

5.                  Докажите, что четырехугольник ABCD — параллелограмм, если АР + ХВ + РХ = DC , где Р и х — произвольные точки плоскости

759 (а).

докажите, что MN+           МР+ Щ

Доказательство:

           MN+NQ=MQ, МР+Щ=Щ,                              — равенство верно.

Доказательство:

АВ = DC, получим, что векторы АВ и DC равны, а это значит, что АВ ТТ DC и АВ = , тогда по признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Какие правила для построения суммы векторов изучили на уроке?

В чем их отличие?

— Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: № 754, 759 (б) (без чертежа), 763 (б, в)

2

текст учебника, разобрать новый материал)

3.  По рис. 254 в учебнике рассмотреть построение суммы шести векторов.

4.  Определить, в чем заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов.

5.  Записать в тетради правило многоугольника: если А, , „42, ..., Ап — произвольные точки плоскости, то 44 + „42 Аз + ... +

6.  Рассмотреть рис. 255 (а, б).

При сложении нескольких векторов сумма данных векторов может быть равна нулевому вектору, если начало первого вектора совпадает с концом последнего векто а

III этап. Мотивация к деятельности

ель деятельности

Совместная деятельность

Дать задания, способствующие пониманию новой темы

(Ф)

— Что значит из числа а вычесть число Ь?

— Найдите вектор „i из равенства: а) Я — АВ = ВС ; б) i—CD = МС. — Сформулируйте правило вычитания двух отрицательных чисел.

— У коште вектор, противоположный вектору АВ, МУ, КЕ .

— Упростите выражение: а) АВ + (—СВ); б) МЛ^Е  в) CD + (—ED)

IV этап. Учебно-познавательная деятельность

ель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие разности векторов и научить строить разность векторов

(Ф)

1.              Предложить учащимся самим сформулировать определение разности двух векторов.

2.              Дать определение разности двух векторов (формулирует учитель): а — Ь З. Рассмотреть задачу о построении разности двух векторов (рис. 256).

4.  Ввести понятие вектора, противоположного данному (рис. 257).

5.  Провести доказательство теоремы о разности векторов: для любых векторов а и Ь справедливо равенство а  = а + (—b) .

6.  Решить задачу о построении разности векторов а и Ь другим способом (рис. 258)

V этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность чителя

Деятельность чащихся

2

Совершенствовать навыки решения задач

. Выполнить на доске и тетрадях практическое задание № 755, 756.

2. Решить задачу № 761 (без чертежа).

З. Решить № 762.

4. Решить задач № 766 по ис. 259 стно .

ЛЬ 762. Е

Рис. 1

Дано: ДАВС — равносторонний со стороной а. Найти: а) АВ+ВС ; 6) AB+ACl•, в) АВ+СВ

г) ВА-ВС ; д) АВ-АС .

2

5.  Решить задачу № 764 (а) на доске и в тетрадях.

6.  Решить № 765 и 772

Решение:

а) АВ+ВС

б) Проведем CDl АВ и BD АС. ABCD — параллелограмм (по определению) и смежные стороны АВ = АС = а, значит, ABCD — ромб. По правилу параллелограмма АВ+ АС = AD, то есть = = АД

AD — диагональ ромба, значит: AD = ИО, АО ВС и О — середина ВС. Из прямоугольного МОС (ZO = 90 ⁰ ) по теореме Пифагора:

                                                                                   2                                              2

За

, то есть АО =

42

2

в) Проведем РЕ ВС и ВС. тогда DE=CB и АВ (как противолежащие стороны параллелограмма). Тогда АВ + СВ = CD+ DE = СЕ , CDEB — ромб по строению со стороной а и CDEB = ABDC, значит, диагональ СЕ =

г) По правилу треу гольника: ВА + АС =ВС , значит, ВА-ВС -АС

то есть ВА-ВС=СА. ВА-ВС      а

д) По правилу треугольника: АВ + ВС = АС , значит, АВ— АС = —ВС то есть АВ-АС=СВ. АВ-АС = СВ -СВ=а.

Ответ: а;        ;           ; а; а. 765.

Воспользуемся правилами:

l) a + b = b + a,

2)   АА = 0,

и тем, что АВ = —ВА , например, правило треугольника: АВ + ВС —АС.

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятия умножения вектора на число; для рассмотрения основных свойств умножения вектора на число

Термины и понятия

Вектор, коллинеарные векторы, сонаправленные, противоположно направленные

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

2

Умеют применять векторы, находить вектор, который больше или меньше данного вектора в несколько раз

Познавательные: умеют создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач.

Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и способу действий на уровне п оизвольного внимания и вносить необходимые ко ективвг-——• - “

2

М 772.

Дано: ABCD — параллелограмм, Х— любая точка плоскости.

Доказать: ХА+ХС=ХВ+ХТ Доказательство:

ХВ = ХА + АВ (по правилу треугольника).

ХС = XD+ DC (по правилу треугольника). Получаем:

XA+XC=XB+XD, „и + XD+ DC =        AB+XD. Сравнивая левую

и правую части уравнения, получаем DC = АВ , а это является верным равенством, так как DC ТТ АВ и = (так как АВ CD и АВ = CD, как противолежащие стороны параллелограмма

VI этап. Итоги урока Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Используя какие правила, можно найти сумму двух векторов, трех и более векторов?

— Как найти разность векторов?

— Составьте синквейн к ок

(И) Домашнее задание: № 760, 774, 757, 764(6), 767

2

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность п и ешении геомет ических задач

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф • па ная П • индивид альная И

Образовательные ресурсы

•  Задача для парной работы;

•  задания для проверочной работы;

•  че тежи для задач

этап. Мотивация к деятельности

ель деятельности

Постановка чебной деятельности

Дать задачу, приводящую к формулировке новой темы

Тему урока на Доске можно не писать. После решения заДачи учащиеся могут сами ее сформулировать.

(П) Решите задачу.

Лодка движется прямолинейно с некоторой скоростью и обгоняет плот, плывущий в том же направлении со скоростью в три раза меньшей скорости лодки. Навстречу им движется катер со скоростью в два раза меньшей скорости лодки. Сделайте ис нок к данной задаче

II этап. Учебно-познавательная деятельность

ель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие умножения ненулевого вектора на число

(Ф)

1.  Определение произведения вектора на число, его обозначение: Ка (рис. 260).

2.  Запись в тетрадях:

1)  произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2)  для любого числа К и любого вектора а векторы а и Ка коллинеарные.

З. Основные свойства умножения вектора на число:

Для любых чисел К, и любых векторов а, Ь справедливы равенства: 1) (Кђа = k(la ) (сочетательный закон) (рис. 261);

2)  (К + Оа = Ка + la (первый распределительный закон) (рис. 262);

3)  К(а  Ь) = Ка + КЬ (второй распределительный закон) (рис. 263).

П р и м е ч а н и е . Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векгоров и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например :

III этап. Зак епление из ченного мате иала. Решение задач

ель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать навыки решения задач

1.   Выполнить практические задания № 776 (б, г, д), 777.

2.   Решить задачи ЛЬ 779, 781 (а, в) на доске и в тетрадях.

3.   Решить задач № 780 (б

IV этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятел ьность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения задач

1.

2. Решить

З. Решить

4.  Решить

5.  Решить

а

3)

6.  Решить

7.  Решить

Выполнить задачу задачу

№ 765 задачи

Рис. 2

Рис. З

задачу задачу

практическое

№ №

и 772.

по

Рис.

с

D

№

№

задание № 756.

766 по рис. 259 (устно). 764 (а) на доске и в тетрадях.

готовым чертежам:

дано: ABCD -параллелограмм,

АВ = а, О = Ь . Выразить через а и Ь

векторы ВС,СД АС, ОС, ОА.

дано: ABCD -прямоугольник,

 — Ь , Е— середина ВС,

ИВ, AF : ЕВ = З : 2, Р- середина ВО.

Выразить через б и Ь векторы ВЕ, BF,

Дано: ABCD — трапеция,

DC = 6, т = Б, вс = —0 2

Выразить через а и Ь векторы

Л, СА, ВО, ОС.

782 на доске и в тетрадях.

802 на доске и в тетрадях

764.

Решение:

= (АС + СД -0 = AD-I<D = AD + л = АК.

Ответ: АК

V этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень усвоения материала

(И) Проверочная работа с самопроверкой. (Учитель заранее готовит правишьные ответы.)

1

1)  Построить: а) — а ; б) 2b ; в) —6 + 2b ; г) 2 Ь ——б (рис. 4). 2

Рис. 4

2)  Дан параллелограмм ABCD. Построить векторы: — АВ ——СА — —Т

VI этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Что нового узнали на уроке?

— Сформулируйте три вопроса по уроку

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 76—83; ответить на вопросы l—17, с. 208—209 учебника; решить задачи № 783, 804, 775, 776 (а, в, е), 781 (6), 780 (а)

I этап. Ак ализация опо ных знаний чащихся

ель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

1 . Обсудить вопросы учащихся по выполнению домашнего задания.

2. Самостоятельно выполнить задания с последующим обсуждением.

1 ) Упростите выражение ЛТ + КЕ — AN — ВА — КВ + ЕС .

2)                 Из условия DM—EF + ED+ МК + х = РК — РС + FA найдите вектор х .

3)                 В трапеции ABCD АВ CD, АВ = 3CD. Выразите через векторы т = Т и п = DC векторы АМ и ЛП^К, где М—середина ВС, а N— точка на стороне АВ, такая, что АЛ^Г : NB.

3. Заполнить пропуски при решении задачи:

Дано: ABCD — параллелограмм, Е ЕАВ, АЕ : ЕВ = 3 : 2, а = АД Ь = AD .

Выразить: АО и СЕ через б и Ь

Решение:

АО——  тогда АО —

СЕ=СВ+ВЕ. так как АЕ : ЕВ= З : 2, то              . АВ, поэтом ВЕ= . . . следовательно, СЕ=...

П этап. Работа по чебник

ель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать умение работать самостоятельно (используя учебник, разобрать задачи на применение векто ов

(Ф)

1.                 Дать понятие о том, что векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотреть вспомогательную задачу (п. 84, с. 208).

2.                 Разобрать по рис. 264 решение задачи и 2 в учебнике на с. 204

III этап. Решение задач

ель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать навыки решения задач

1.  Решить задачу № 784 на доске и в тетрадях.

2.  Решитызадач № 786 на доске и в те адях

IV этап. Итоги ока. Ре лексия

еятельность чителя

еятельность чащихся

— Задайте т и воп оса по    ок

(И) Домашнее задание: № 785, 788

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятия средней линии трапеции и доказательства теоремы о средней линии трапеции

Термины и понятия

Трапеция, средняя линия

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять векторы при доказательстве теоремы о средней линии трапеции

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, выводы.

Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и способу действий на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют критичность мышления

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для индивидуальной работы

этап. Актуализация знаний учащихся

цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

1.  Обсудить вопросы учащихся по домашнему заданию.

2.  Ответить на вопросы:

1)                Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы и противоположно направленные векторы.

2)                Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

3)                Могут ли векторы а и Ка быть неколлинеарными?

4)                Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число

П этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие средней линии трапеции и доказать соответствующую теорему

1.  Определение трапеции. Виды трапеций.

2.  Определение средней линии трапеции.

3.  Доказательство теоремы о средней линии трапеции (провоДит учитель).

При доказательстве теоремы целесообразно использовать результат задачи 2, решенной на предыдущем уроке

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

З

Совершенствовать навык решения задач

1.  Решить на доске и в тетрадях задачу № 793.

2.  Решить задачу № 795.

Дано: ABCD — трапеция, АВ = 13 см, СВ = 15 см,

: = 48 см, М— середина АВ, N— середина CD.

Найти: т. D Рис.

Решение:

1)  РАВСЮ= АВ + BC+CD+AD, Р = 48 см,    В см,    15 см, значит,

BC+AD+ 13 + = 48; BC+AD= 48-28; ВС +0 = 20.

2)  Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, значит,

вс + О 20

— 10 см. 2        2

Ответ: 10 см.

ЛФ 795.

Дано: окружность с центром в точке О,

АВ — диаметр, а — касательная к окружности

(касается в точке Е), BD -1- а, АС а, АС = 8 см,

Решение:

1)                 Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому ОЕ Ш а.

2)                 АС а и В -L а, значит, АС ВД то есть ABCD — трапеция.

3)                 ОЕЈ- а, АС Ш а, BD Ш а, значит, ОЕ 1 АС BD и АО = ОВ (как радиусы), значит, по теореме Фалеса СЕ = ED, а это означает, что ОЕ— средняя линия трапеции ABCD.

4)                 Средняя линия трапеции ABCD равна полусумме оснований, поэтому

AC+BD 18+12 ЗО

— 15 (см).

               2              2         2

5)                 ОЕ= 15 см и ОЕ— радиус, значит, диаметр АВ = 2 •            2 • 15 = 30 (см).

Ответ: 30 см.

2

З. Решить задачу № 799 на доске и в тетрадях

Дано: ABCD — равнобедренная трапеция, АВ = СД ВК LAD, О = 7. Найти: среднюю линию.

Решение:                     Рис. З

1)  ЕЕ- средняя линия трапеции, ЕЕ п ВК = Р, ЕЕ п сМ= S (СМ ш О).

2)  Пусть КМ = а, тогда ВС = а (так как МСМ— прямоугольник). Пусть АК = Ь, тогда ЛО = Ь ( тогда ДАВК = МСМ по гипотенузе АВ = CD и острому углу ZA = О).

3)  В ДАВК ЕР — средняя линия, значит, ЕР = — Ь.

2

4)  В M)CMFS— средняя линия, значит, FS= — Ь. EF ВС, значит, 2

PS ВК, PBCS- прямоугольник, PS = ВС = а.

Ответ: 7

IV этап. Итоги

ока. Ре лексия

еятельность чителя

еятельность чащихся

— Что нового узнали на уроке?

— Составьте синквейн к ок

(И) Домашнее задание: решить задачи № 787, 794

Цель деятельности чителя

Создать условия для организации и проведения упражнений на основе использования понятия средней линии трапеции и доказательства тео емы о с едней линии т апеции

Те мины и понятия

Т апеция, с едняя линия

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Умеют применять векторы при доказательстве теоремы о средней линии трапеции

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы. Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и способу действий на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: п оявляют к итичность мышления                             

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф ; па ная П • индиви альная И

Образовательные ес сы

• Задания для самостоятельной работы

этап. Ак ализация знаний чащихся

ель деятельности

еятельность чителя

еятельность ЧаЩИХСЯ

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания; определить уровень владения учебным материалом при решении задач

1.              Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2.              Организовать выполнение самостоятельной работы с самопроверкой. (Учитель заранее готовит короткое решение.)

Вариант 1

Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен 2 см. Найдите большее основание трапеции, если ее средняя линия равна 8 см.

Вариант П

Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные 2 см и 6 см. Найдите основание трапеции

Краткое решение:

В

Вариант 1

(ВС +0) 8 см.

                               Е           D

Рис. 1

4) ВС = НЕ, значит, ВС =х, тогда х + 2 + х +2 = 16, х = 6, значит, ВС=6 см,           см.

Вариант П

1)              Пусть высота из вершины В пересекает ЛТ в точке Е, а из вершины С— в точке О.

2)              Тогда МЕ = ОЛ^Ь = 2 см.

Рис. 2                         3) ВС = ЕО = 4 см. 4) О —12 см.

Ответ: 12 см

П этап. Решение задач

ель деятельности

еятельность чителя

еятельность чащихся

2

3

Совершенствовать навыки решения задач

(П) Решить № 809

.N2 809.

Рис. З

Дано: ABCD — трапеция, ZA = 90 ⁰ , ZC= 120 ⁰ , а, а.

Найти: среднюю линию трапеции.

2

З

Решение:

1)                 С = 120 ⁰ , значит, ZD = 60 ⁰ , так как ZC + ZD = 1 80 ⁰ (как внутренние односторонние при параллельных прямых ВС, AD и секущей с».

2)                 MCD равнобедренный, так как АС = CD, значит, ZDAC = ZD = 60 ⁰ , то есть &4CD — равносторонний треугольник (так как у него все углы равны), AD = а.

3)                 МСО = 60 ⁰ (по п. 2), ZBCD = 120 ⁰ , поэтому ИСВ = 60 ⁰ .

Рассмотрим ДАВС: ZB = 90 ⁰ (по условию), ИСВ = 60 ⁰ , значит, ZBAC= 180 ⁰ -90⁰ -60 ⁰ — - 30 ⁰ , ВС = —АС= —а, так как в прямо-

угольном треугольнике против угла в 30⁰ лежит катет, равный половине гипотенузы.

4)                 ВС = —с, AD = а. Средняя линия трапеции равна полусумме осно-

1                              З

—а+а

BC+AD 2         2          З ваний, то есть=—а.

2                              2    2             4

Ответ

4

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Какой этап урока был для вас наиболее трудным? Почему?

(И) Домашнее задание: № 804,796

Цель деятельности учителя

Создать условия для доказательства леммы о коллинеарных векторах и теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам

Термины и понятия

Лемма, разложение вектора

Плани уемые езультаты

П едметные умения

Униве сальные учебные действия

Умеют применять векторы при доказательстве теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобЩения, установления аналогий.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют к итичность мышления

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресу сы

• Чертежи для задач

этап. Актуализация знаний чащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие у учащихся при выполнении домашнего задания

1 . Ответить на вопросы учащихся.

2. Обсудить выполнение домашнего задания (Два ученика у доски).

З. Устно решить задачу по заранее заготовленному на доске чертежу.

Дан параллелограмм ABCD с диагоналями АС и ВД пересекающимися в точке О, а также отрезки МР и NQ, соединяющие соответственно середины сторон АВ и CD, ВС и О. Требуется выразить: 1) вектор АС через вектор АО ; 2) вектор ЛС через вектор ВС ;

З) вектор ЛВ через вектор AD

4) вектор МР через вектор РО.

— Можно ли для любой пары коллинеарных векторов подобрать такое число, что один из векторов будет равен произведению второго вектора на это число?

П этап. Изучение новой темы

Цель деятельности

Совместная деятельность

2

Доказать лемму и теорему о разложении вектора

(Ф)

. Формулировка леммы о коллинеарных векторах.

Для понимания учащимися формулировки леммы полезно обсудить, во-первых, почему важно условие и, во-вторых, будет ли верно утверждение, если рассматривать произвольные (в том числе и неколлинеарные) ненулевые векторы.

2. Доказательство леммы.

2

3.                 Решение задачи по чертежу параллелограмма ABCD, выполненному на доске. (Тем самым можно поДвести учащихся к мысли о возможности выражения вектора через два Данных неколлинеарных вектора.) Точки Ми Q — середины сторон АВ и AD параллелограмма ABCD. Выразите:

— вектор АС через АВ и AD — вектор АС через АМ и „Ш •

— вектор BD через ВМи СВ ;

— вектор ВС через BD и ВМ

4.                 Рассмотрение теоремы о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам. (Полезно обратить ВНИЛШНИе на оль леммы в Доказательстве.

III этап. Закрепление изученной темы

Цель деятельности

Совместная деятельность

Совершенствовать навыки решения задач

Решить на доске и в тетрадях:

1.  № 91 (а, 6); 912 (6, в).

2.  № 915 (по готовом че е ) и 916 (а, б)

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Подведите итог урока.

— Составьте синквейн к

(И) Домашнее задание: № 91 (в, г), 912 (ж, е, з), 91 6 (в, г)

Цель деятельности учителя

Создать условия для введения понятий координат вектора, суммы и разности двух векторов

Термины и понятия

Вектор, координаты вектора, метод коо динат

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: п оявляют к итичность мышления

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф ; индивид альная И

Образовательные ес сы

• Задания для самостоятельной работы

этап. Ак ализация знаний чащихся

ель деятельности

Совместная деятельность

Выявить уровень сформированности теоретических знаний

1.  Теоретический опрос:

— доказать лемму о коллинеарных векторах;

— доказать теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

2.  Проверка домашнего задания.

З. Решение задач (устно).

1) Назвать числах и у, удовлетворяющие равенству: 4а — = уа + 26; —8а + ха + 6b + yb = 0 2) Решить задачу № 913.

4. Решение задач № 911 в и 912 и чащимися доски

П этап. Из чение новой темы

ель деятельности

Совместная деятельность

Ввести понятие координат вектора

(Ф)

1.                  Напомнить, как задается прямоугольная система координат, и начертить ее.

2.                  Ввести координатные векторы i и ј (рис. 275).

3.                  Сформировать понятие о том, что нулевой вектор можно представить в виде 0 = 0 • i + 0 ј . Его координаты равны нулю: 0 (0; 0).

4.                  Сформировать понятие о том, что координаты равных векторов соответственно равны.

5.                  Рассмотреть правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число (доказательства указанных правил учащиеся могут рассмотреть самостоятельно).

6.                  Записать в тетрадях правила:

III этап. Решение задач

ель деятельности

Совместная деятельность

2

Совершенствовать навыки решения задач

1.   Решить задачу № 917 на доске и в тетрадях.

2.   Решить задач № 918 по ис. 276 стно .

2

3.  Решить задачу № 919 (самостоятельно).

4.  Решить задачу № 920 (а, в) на доске и в тетрадях.

5.  Решить задачи № 922—925, используя правила, записанные в тетрадях (устно).

6.  Записать утверждение задачи № 927 без доказательства.

7.  Решить задач № 928

IV этап. Самостоятельная абота

ель деятельности

Задания для самостоятельной аботы

Проверить уровень понимания изученной темы

(И) Учащиеся решают на листках самостоятельную работу и сдают на проверку учителю. Вариант 1 Решить задачи № 912 (а, г), 920 (г), 988 (а, 6), 921 (а, в), 914 (а).

Вариант П

Решить задачи № 912 в, д , 920 д), 988 (в, г , 921 6, г , 914 6

V этап. Итоги

ока. Ре лексия

еятельность чителя

еятельность чащихся

— Задайте т и воп оса по данной теме

(И) Домашнее задание: № 798, 795, 990 (а)

Цель деятельности учителя

Создать условия для рассмотрения связи между координатами вектора и координатами его начала и конца, для разбора задачи о нахождении координат середины отрезка, о вычислении длины вектора по его координатам и нахождении расстояния между дв мя точками

Те мины и понятия

Векто , коо динаты векто а, метод коо динат, коо динаты се едины о езка, длина векто а, асстояние межд точками

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге.

Личностные: п оявляют к итичность мышления

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф ; индив альная И

Образовательные ес сы

• Задания для самостоятельной работы

1 этап. Ак ализация знаний чащихся

ель деятельности

еятельность чителя

еятельность чащихся

Выявить уРовень теоретических знаний и трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию. 2. Указать ошибки, допущенные учащимися при выполнении самостоятельной работы.

3. Организовать выполнение самостоятельной работы прове-

ряющего характера с взаимопроверкой.

Вариант 1

1.                Даны векторы ар; 4} и            3; 2}. Найдите координаты век-

торов:

1 -

а) т = За ;

2

  б) n=—b,                      г) =3a+4b.

2.                Среди векторов a{—l;3}, 6{2•, 6}, с   - 1 3 '

укажите пары коллинеарных.

Вариант

1.              Даны векторы х{б; 3} и у{— 2; 1} . Найдите координаты векторов:

в) с=х+2у ;

З

               г) d=2x-3y.

2.              Среди векторов (2; 5},            4; 10}, 4—1; —2,5},

кажите па ы коллинеа ных

2. а и с ;

П этап. Из чение новой темы

ель деятельности

Совместная деятельность

Рассмотреть формулы для нахождения координат середины отрезка, координат вектора, длины вектора, расстояния межд точками

Работа по учебнику. Учащиеся самостоятельно изучают п. 92 на с. 230—231, делают необходимые записи в тетрадях

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность чителя

Деятельность чащихся

Совершенствовать навыки решения задач по изученной теме

1.  Решить № 934, 936, 938 (устно).

2.  Решить № 939, 941

.N2 939.

Рис. 1

Решение:

(12-5)2

МР= + 2) Рлтр= 26 + ответ:

дано: ЦЗ•, -2).

Найти: а) МК; 6) МГ, в) МО. Решение:

а) МК Ш ОХ, 2; 6) МЕ Ш ОУ, МЕ = З;

дано: ме; 0); N(12•, Найти: Рлтр.

р Рис. 2

                                                                                          rv этап. Итоги      ока. Р лексия

еятельность чителя

Деятельность чащихся

— Какие простейшие задачи в координатах рассмотрели на уроке?

— Задайте т и воп оса по теме ока

(И) Домашнее задание: № 935, 952

Цель деятельности чителя

Создать условия для закрепления знаний учащихся в ходе решения задач, обучения решению задач в координатах

Термины и понятия

Вектор, координаты векто а, метод координат, коо динаты се едины отрезка, длина вектора, асстояние между точками

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом; умеют применять метод координат для решения задач

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий; умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

Карточки для индивидуальной работы

I этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить уровень теоретических знаний по теме

1 . Двое учащихся работают по карточкам у доски:

Карточка I

I ) Вывести формулы координат середины отрезка.

2) Решить задачу № 942.

Карточка 2

) Вывести формулу расстояния между двумя точками. 2) Решить задачу № 937.

2. С остальными учащимися проводится устная работа по решению задач:

1) Найдите координаты вектора Ь , равного разности векторов т и t , если т (—5; 6), t (0; 2) Найдите координаты вектора с , равного сумме векторов а и Ь , если а (—3; 7), Ь (4; — 5).

3) Найдите координаты середины отрезка Dk, если D (—6; 4), К (2; —8). 4) Найдите длину отрезка СР, если С(З; —2), Р (—5; 4).

5)  Найдите длину вектора т , равного п + р, если п(5; 0) и р(0; —12).

6)  Найдите координаты вектора З d , если d (4; —2); вектора —2 р , если р (—2; 5)

П этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность чащихся

Совершенствовать навыки решения задач

(П)

1.  Решить задачу № 947 (а).

2.  Решить задачу № 946 (б).

3.  Решить задачу № 948 (б) на доске и в тетрадях.

4.  Решить задачу № 950 (б) на доске и в тетрадях.

5.  Решить задачу № 951 (а)

Решение:

Найдем длины сторон треугольника АВС по формуле расстояния между точками:

Так как АВ = АС, то по определению равнобедренного треугольника

ДАВС — равнобедренный. Найдем его площадь; проведем высоту АМШ ВС:

= — ВС • АМ; АМ— высота и медиана в равнобедренном треуголь2       нике.

Пусть М (х; у), тогда х = З, у = —1.

Значит, точка М (З; —1 ). Найдем длину АМ=

Ответ: 13

Ш этап. Итоги ока. Ре лексия

Деятельность чителя

Деятельность чащихся

Какие формулы повторили не уроке?

— Оцените свою аботу на уроке

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 88 и 89; решить задачи № 947 (6), 949 (а), 951 (6), 953

Цель деятельности чителя

Создать условия для выведения уравнения окружности

Те мины и понятия

Ок жность, цент ок жности, ади с, диаме

Плани емые ез льтаты

П едметные умения

Униве сальные чебные действия

2

Владеют базовым понятийным аппаратом,• умеют п именять метод коо динат

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое асс ждение, делать мозаключения, о ли овать выводы.

2

Регулятивные: понимают и сохраняют учебную задачу; умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: понимают и воспринимают на слух объяснение учителя, работают в сотрудничестве.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

. Тест

этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

3

Выявить трудности при выполнении домашнего задания, уровень знаний по теме

. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Организовать выполнение теста с самопроверкой:

Вариант 1

. Если А(с; ф, В (т; п); С(х; у) — середина отрезка АВ, то: d+n 2        2

2        2          n—d 2 2

З. Если d{rn; п} , то:

2

3

5.  Если С    , то.

  а) СО, ф, D(a•, с);     

6.  Если а ТТ ; ,          = 2b , то:

а) а = —2b ;                 б) а = 2b;

7.  Если лт{а—b;c—d}, то:

                6) М(а•, Ь), мс,

Вариант П 1. Если А (а; Ь), В (с; ф, то:

а) A{a—c;b—d};

З. Если А (е; с), В (т; п), то:

4.  Если А(е; р), В(т; п),  ,

а) С — середина АВ;

б) А — середина ВС;

в) В — середина АС.

5.  Еслих= а ² +b ² , то:

2;b2}

в) се, ф, ца•, Ь). в) Ь = 2а .

в) МО, а), мс, с).

то:

2

3

6.  Если т Т $11

3

7.  Если x{a;b},

 , то:

б) т = —311 ;

ЯК • а; К •b} (К

0), то:

П этап. Учебно-познавательная деятельность

ель деятельности

Совместная деятельность

Вывести уравнение окружности

(Ф)

1.               Ответить на вопросы:

— Принадлежит ли точка В (2; —8) графику функции у = —4х?

— Функция задана уравнением у 5 — х. Какая линия служит графиком этой функции?

— Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки?

2.               Обратить внимание учащихся на то, что им уже известны графики некоторых функций. В частности, графиком линейной функции у = kr + Ь является прямая линия, а уравнение у = + Ь называется уравнением этой прямой.

3.               Вспомнить уравнения параболы и гиперболы и их графики.

4.               Дать понятие уравнения произвольной линии в ознакомительном плане. При этом важно добиться понимания учащимися следующего: чтобы установить, что данное уравнение является уравнением данной линии, нужно доказать, что: 1) координаты любой точки линии удовлетворяют данному уравнению и 2) координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют этому уравнению.

5.               Ввести уравнение окружности радиуса r с центром С в заданной прямоугольной системе координат (рис. 286):

(х — хо)² + 0' —уо)- = Р, где С(хо; уо).

Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат О (0; 0) имеет вид: х) + у² = Р.

6.               Обратить внимание учащихся на то, что не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность. Например, уравнение 4х² + у- = 4 в прямоугольной системе координат задает не окружность, а эллипс (с этой фигурой учащиеся знакомились в курсе черчения), уравнение х² + у² = 0 задает единственную точку — начало координат, а уравнению х² + .у² = —4

не довлетво яют коо динаты ни одной точки, поэтом это авнение не задает никакой и ы

III этап. Зак епление из ченного мате иала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Закрепить полученные знания при решении простых задач

1 . Решить задачу № 959 (а, б, д).

2.  Решить задачу № 960 (устно).

3.  Решить задачу № 961 на доске и в тетрадях.

4.  Решить зада № 964 на доске и в тет адях

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Сформулируйте три вопроса по теме урока. — Для чего данная тема изучается в геометрии?

(И) Домашнее задание: решить задачи № 962, 963, 965, 966 (а, б), 000

Цели деятельности учителя

Создать условия для закрепления знаний учащихся в ходе решения задач; способствовать развитию логического мышления учащихся

Термины и понятия

Окружность, центр окружности, радиус, диаметр

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом; умеют применять метод координат

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения, формулировать выводы.

Регулятивные: понимают и сохраняют учебную задачу; умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: понимают и воспринимают на слух объяснение учителя; умеют работать в паре, группе.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

• Задания для математического диктанта

этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень теорегических знаний

(И) Математический диктант с последующей самопроверкой.

. Найдите координаты центра окружности, если АВ — диаметр, А(2; —4), В(—б; 8).

2. Вычислите радиус окружности с центром в начале координат, проходящей через точку (1 2; —5).

З. Как называется геометрическая фигура, состоящая из множества всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки?

4.  Как называется хорда, проходящая через центр окружности?

5.  Напишите уравнение окружности с центром в точке (—2; 2) и радиусом В.

Отв е т ы : 1) (—2; 2); 2) 13; З) окружность; 4) диаметр; 5) (х + + О— 2) 169

Цель деятельности чителя

Создать условия для выведения уравнения прямой

Те мины и понятия

П ямая      авнение п ямой

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

2

Владеют базовым понятийным аппаратом, навыками стных, письменных, инст ментальных вычислений;

Познавательные: умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое асс ждение, делать мозаключения, о ли овать выводы.

П этап. Решение задач

ель деятельности

еятельность

чителя

еятельность чащихся

Совершенствовать

навыки решения задач

(П)

1.  Решить № 969 (а).

2.  Решить № 970, 971.

(Г) Решить № 1002 (а)

Пары представляют свои решения, обсуждают возникшие вопросы.

1002 (а). Решение:

Координаты точек А, В и С должны удовлетворять уравнению окружности (х — + (у— = р.

Подставив в это уравнение координаты данных точек, получим систему трех уравнений относительно неизвестных а, Ь и r:

Вычтем из уравнения (1 ) сначала уравнение (2), а затем уравнение (3). Получим систему двух линейных уравнений с неизвестными а и Ь,

которую учащиеся моЂ,т решить самостоятельно. а =

Подставив эти значения в любое из уравнений, например в уравнение (1 находим значение Р и записываем искомое уравнение:

22

7125

22

       III этап. Итоги     ока. Ре лексия

еятельность чителя

еятельность ЧаЩИХСЯ

— Оцените свою работу в паре, группе. — Какой этап ока был наиболее дным?

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 93—94; решить задачи № 969 (б), 981 (решение есть в учебнике), 1002 (б)

2

умеют применять метод координат

Регулятивные: понимают и сохраняют учебную задачу; умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: понимают и воспринимают на слух объяснение учителя.

Личностные: п оявляют познавательный инте ес к из чению п едмета

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф ; индивид альная И

Образовательные ес сы

• Задачи для фронтальной работы

1 этап. Ак ализация знаний чащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания

(Ф)

I . Ответить на вопросы учащихся.

2.  Продемонстрировать решение № 1002 (б) (один ученик у доски).

3.  Провести самостоятельную работу (контролирующая, 10—15 мин).

                  Вариант 1                                                                  Вариант П

Решить задачи № 959 (г , 968, 960 б                                                 Решить задачи № 959 в), 967, 960 в

П этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Вывести уравнение прямой

(И)

Учащиеся самостоятельно работают по учебнику.

Для более п одвин тых чащихся обязателен вывод авнения п ямой, для менее подготовленных — только о м ла

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

З

Совершенствовать навыки решения задач

1. Решить на доске и в тетрадях № 973, 975, 976.

дано: А(4•, 6); Щ-4•, 0); «-1 ; -4), СМ— медиана ЛАВС.

Написать уравнение прямой СМ.

Решение:

1)

2) Так как МС, З и С —1; —4 лежат на п ямой 1, заданной  авнением

2

ах + by + с = 0, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению.

МО, 3): ЗЬ+с=О•,

7

Подставим значения Ь и а в исходное уравнение.

7х — у + З = 0 — искомое уравнение. ЛЬ 975.

а)Дано: l: 3х — 4у+ 12 = О.

Найти: А(х; у); B(xi; у). Решение:

а) если I п Ох = А, то А(х; 0), следовательно, 3х-4 • 0+ 12 = 0,

3х = -12,

           Рис. 2                      х = —4, следовательно, А(—4; 0).

б) Если I п ф = В, то ВО, у), следовательно,

=

З • 0-4у+ 12 = 0, 12, у = З, следовательно, во, 3).

Рис. З 976.

Дано: ll : 4х+ Зу— 6 = 0; l2 : 2х+у-4=0; пЬ=А.

Найти: А(х; у).

Решение:

4х + Зу — 6

                                     -4х-2у+8=О               —4 =0 2х—2—4 =0

2

2. Решить устно задачи.

1) Окружность задана уравнением (х— 1)- + у² = 9. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат. 2) Окружность задана уравнением (х + = 16.

Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс

1)  Решение:

Центр О (1; 0) и параллельная оси ОУ прямая х = 1.

2)  Решение:

Центр А (—1 ; 2); прямая у = 2 параллельна оси ОХ

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— С какой темой познакомились на уроке?

— Зачем уравнение прямой изучается в геометрии?

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 93—95; изучить материал пункта 96; вопросы 1—21, с. 244—245; решить задачи № 972 (б), 979; записать в тетрадях и разобрать решение задачи № 984 (уч., с. 243)

Цель деятельности

Создать условия для совершенствования навыков решения задач

Термины и понятия

Прямая, уравнение прямой, окружность, уравнение окружности, метод координат

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом, навыками устных, письменных, инструментальных вычислений; умеют применять метод координат

Познавательные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.

Регулятивные: понимают и сохраняют учебную задачу; умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную дея-

тельность с учителем и сверстниками, работать в группе.                                           

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению учебного предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

•  Задания для групповой работы;

•  задания для математического диктанта

I этап. Ак ализация заданий чащихся

ель деятельности

Совместная деятельность

Выявить трудности, возникшие при выполнении домашнего задания; определить уровень знаний по теме

1 . Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2.  Проверить решение № 979.

3.  Провести математический диктант.

Вариант

. Лежит ли точка А(2; —1) на окружности, заданной уравнением (х —  + (у— = 25?

2. Напишите уравнение окружности, если ее центр — точка (4; 5), а радиус равен 3.

З. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(З; —2) и параллельной оси ординат.

4.                 Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку С(—2; З).

5.                 Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки

6.                 Найдите длину вектора  12; 5}

7.                 Найдите координаты середины отрезка PQ, если Р(5; —3);

8.                 Найдите координаты вектора АВ , если Щ2; —5), В (—3; 4).

Вариант II

1. Лежит ли точка А(2; —1) на прямой, заданной уравнением

2.                  Напишите уравнение окружности, если ее центр — точка (4; 5), а радиус равен 2.

3.                  Напишите уравнение прямой, проходящей через точку N(—2; 3) и параллельной оси абсцисс.

4.                  Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку D (3; —2).

5.                  Напишите уравнение окружности с центром в точке Р(—2; —1 ), если она проходит через точку Q(l ; З).

6.                  Найдите расстояние между точками A(—l; 3) и Щ2; —1).

7.                  Найдите координаты вектора с , равного сумме векторов а и Ь , если 12; 5},

8.                  Найдите коо динаты векто а CD, если C(—l; 6), ЦЗ; —2)

ль 979.

дано: Ме АВ•, Щ-8•, -6), вез; -1) и М(5•, у).

Найти: у.

Решение:

l)ax+by+c

      : 8a— 6b + c = 0   вез;

8а = — 6b + с

                        Ь = ——с+с

                          4       8                    2

9 з          1          а =——а——с+—с

                                                        4       4      8

5

4

АВ: х-у+2=О

2) Так как М е АВ, то ее координаты удовлетворяют уравненико 5 — у + 2 = 0; у = 7, отсюда: М (5; 7) Ответ: 7

П этап. Решение задач

цель деятельности

Задания для г пповой деятельности

Совершенствовать навыки решения задач

(Г)

Класс разбивается на несколько групп. Каждая группа решает задачу в течение 10 минут. Далее следует презентация выполненной работы.

1-я гру ппа:

Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми у — х = 0, у + х = 0, у — 2х + 4 = 0. 2-я группа:

Докажите, что линия, заданная уравнением х- + 8х + у- — 6х — 24 = 0, является уравнением  окружности. Найдите расстояние от центра окружности до прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку (5; —6). 3-я группа:

Найдите площадь треугольника, образованного осями координат и прямой, проходящей через точки A(l; 0) и    ; —4).

4-я группа:

1) Напишите уравнение прямой, проходящей через точку В(—З; 1 0) и перпендикулярной оси Оу. 2) Принадлежат ли точки А(З; —5) и В(4; 2) прямой 7х — 5у— 18 = 0?

З Выясните взаимное асположение п ямой = 30 иок жности х —5 ² +

III этап. Итоги ока. Ре лексия

Деятельность чителя

Деятельность чащихся

— Оцените свою работу и работу группы. — Что оказалось для вас наиболее сложным?

(И) Домашнее задание: 958, 944, 945, 998

Цель деятельности чителя

Создать условия для совершенствования навыков решения задач, подготовки к контрольной работе

Те мины и понятия

П ямая,       авнение п ямой, ок жность,      авнение ок жности, метод коо динат

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом, навыками устных, письменных, инструментальных вычислений; умеют применять метод координат

Познавательные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познава-

тельных задач.

Регулятивные • понимают и сохраняют учебную задачу; умеют контролировать процесс и результат учебной деятельности.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: п оявляют познавательный инте ес к из чению п едмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для самостоятельной работы

этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить уровень сформированности теоретических и практических знаний и навыков

I . Обсуждение вопросов учащихся по домашнему заданию, сообщение результатов математического диктанта.

2. Опрос по теории:

— Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам.

— Запишите формулы координат середины отрезка по координатам его концов.

— Напишите уравнение окружности с центром в точке В(4; 0), если она проходит через точку А(7; 4).

— Сформулируйте правило нахождения координат разности двух векторов.

— Напишите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

— Сформулируйте правило нахождения координат произведения вектора на число по заданным координатам вектора

П этап. Самостоятельная работа

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Выявить уровень развития умения применять теоретические знания

(И)                                                                Вариант 1

. Окружность с центром в точке      З) проходит через точку Щ 2; —1). Напишите уравнение этой окружности.

2.  Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку В(—2; 4).

3.  Выясните взаимное расположение прямой х = —5 и окружности (х — + (у— 6)2 -81.

Вариант П

1 . Окружность с центром в точке М(2; —4) проходит через точку N(—3; I Напишите уравнение этой окружности.

2.  Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку С(—б; —3).

3.  Выясните взаимное расположение прямой у = 25 и окружности (х — + (у — 7)  100.

Ответ ы :

         Вариант 1                                               Вариант П

- 65.                                           1. (Х —      0'-4- 4)²= 50.

2.  2х +у = О. 2.х—2у=0.

3.  Нет общих точек.   З. Нет общих точек

III этап. Решение задач

ель деятельности

Совместная деятельность

2

Совершенствовать навыки решения задач

(ФИ)

1.  Решить на доске и в тетрадях № 997.

2.  Решить на доске и в тетрадях № 999.

дано: А(3•, 2); ВО, 5); сез•, 2); ЦО•, -1 Доказать: ABCD — квадрат.

ромб (по признаку)

= 6 , следовательно, диагонали АС = ВД следовательно,

ABCD — квадрат, что и требовалось доказать.

999.

Дано: ABCD — параллелограмм. А (—4; 4); В(—5; —1 С(х; у); Найти: (х; у). Решение:

Так как в параллелограмме стороны попарно равны, то: 25 у ² —

                                                                                                                               + —                           25

+ (у —5)

ромб

; 5).

2

З

З. Решить на доске и в тетрадях № 980.

1-2у+у +y- lOy+25- lO=O

У2-6у+8=О

2y2- 12y+ 16 =O

Если у = 4, то х = —4 —известна АН; 4). Если у = 2, то х = —2 — известна С(—2; 2).

ЛЬ дано: ABCD- ромб. АС е ох,   е оу•, АС- 4 см

см.

Написать уравнение АВ, ВС, CD, О.

Рис. 2 Решение:

1) щ-2•, 0); ср; 0); во, 5); цо; -5). 2) щ-2•, 0) и во, 5).

                                            1                              10

—сх——су+с =0

2

5х-2у+1О=О

3)  во, 5) и ср; 0).

5b+c=O

2а + с = 0

4)  се, 0) и цо•, -5).

1

10

1

2

4.  Решить на доске и в тетрадях № 1004.

5.  Решить на доске и в тетрадях № 1007

ЛЕ 1004.

Дано: щх + Ау— = 0

: 3х- l,5y+ а-2Х + Ьау — с2 = 0

Доказать: ll Ь.

Доказательство:

Условие              выполнено, если щ • bl —ф • Ь = 0, то есть З • (—l)—2 • -3 +3 = 0.

0 = 0— верно, следовательно, Л l2, что и требовалось доказать.

Дано: ABCD — трапеция. М е АС, АМ= МС ВД ВЛ^Т = ЛО.

Доказать: - ВС) .

D Рис. З

Доказательство:

ЛТ = МА + AD + DN + ЛТ = МС + СВ + ВЛ^Т (по правилу многоугольника).

2MN= ЛИ + МС + AD+CB + DN+ BN), так как М— середины сторон BD и АС, то ЛИ + МС = 0, DN+ 0 , следовательно, 2MN= AD+CB или 2MN= О- ВС.

ЛТ = —(AD — ВС), так как AD ТТ ВС и ДТ ТТ AD , то AD—B 2

= AD — ВС, отсюда ЛТ = —(AD — ВС) , что и требовалось доказать

IV этап. Итоги ока. Ре лексия

Деятельность чителя

еятельность чащихся

— Сформулируйте три вопроса по данной теме.

— Оцените свою работу на уроке

(И) Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе; решить № 990, lOlO

Цель деятельности учителя

Создать условия для проверки знаний, умений и навыков учащихся по усвоению и применению изученного материала

Термины и понятия

Метод координат, уравнение окружности, уравнение прямой, длина вектора, расстояние между точками, координаты середины от езка

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания для решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Познавательные: проводят сравнение, сериацию и шассификацию по заданным критериям. Регулятивные: вносят необходиМые коррективы в действие после его завершения на основе учета характера сделанных ошибок; осуществляют самоанализ и самоконтроль.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: осознают важность и необходимость знаний в жизни человека

Организация пространства

Формы работы

Индивидуальная (И); фронтальная (Ф)

Образовательные ресурсы

• Задания для контрольной работы

I этап. Выполнение контрольной работы

Цель деятельности

Задание для контрольной работы

2

Осуществить проверку знаний, умений

и навыков по изученному материалу

(И)                                                                Вариант 1

1 -

1.  Найдите координаты и длину вектора а, если а = —т — п, т{— З; 6

З

2.  Напишите уравнение окружности с центром в точке А(—З; 2), проходящей через точку В(0 3. Треугольник ЛПК задан координатами своих вершин: М(—б; М2; 4), К(2; —2).

а) Докажите, что         — равнобедренный.

б) Найдите высоту, проведенную из вершины М.

4*. Найдите координаты точки N, лежащей на оси абсцисс и равноудаленной от точек    ; 3) и КО, 2).

                                                                     Вариант П

1.   Найдите координаты и длину вектора Ь , если Ь — —

2

2.   Напишите уравнение окружности с центром в точке С(2; 1), проходящей через точку D(5; 5).

З. Треугольник CDE задан координатами своих вершин: С(2; 2), D(6; 5), Ц5; —2).

а) Докажите, что ACDE — равнобедренный.                               

Цель деятельности чителя

Создать условия для введения понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0 ⁰ до 1 80⁰ , выведения основного т игоном ического тождества

Те мины и понятия

Единичная ок жность, син с, коси с, тангенс, котангенс, основное игоном ическое тождество

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Умеют применять определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для определения координаты точки единичной окружности

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий. Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и способу действия на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, ясно, точно, грамотно излагать свои мысли.

Личностные: понимают важность и необходимость из чения п едмета в жизни человека

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф • индивид альная и

Образовательные ес сы

• Тест

2

б) Найдите биссектрису, проведенную из вершины С.

4*. Найдите координаты точки А, лежащей на оси ординат и равноудаленной от точек B(l; -3) и се, 0).

Ответ ы :

                   Вариант I                                       Вариант II

2.  (х + 3)² + (у— 2)² = 25.        2. (х- 2)² +0- = 25.

3.  б) 8 ед.        3.6) 03 ед.

П этап. Итоги

ока. Ре лексия

Деятельность чителя

Деятельность чащихся

— Что выполняли на уроке?

— Как оцениваете свою деятельность на уроке?

— Какие задания вызвали за днения? Почем ?

(И) Домашнее задание: повторить материал пунктов 79—96; ответить на вопросы 1—8, с. 244

1 этап. Ак ализация знаний чащихся

ель деятельности

Совместная деятельность

Пояснить ошибки,

допущенные в конт ольной аботе

I. Сообщить результат контрольной работы.

2. П окомменти овать основные ошибки

П этап. Мотивация к деятельности

ель деятельности

Совместная деятельность

Через повторение изученного материала подвести учащихся к восприятию новой темы

1.  Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного

2.  Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

З. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30 ⁰ , 45 ⁰ и 60 (И) Тест с последующей самопроверкой.

1. Дан треугольник АВС Чему равен синус угла А?

4                                                    4          4

5                                                    5

2. Чему равен тангенс угла В?

4

5     4 3. Чему равен косинус 60⁰ ?

                         а)                                           в)

                               2                     2                      2

5

4. Если sina= —, то чему равен cosa? 9

                             9                     56

                                                б)                    в)

                                       5                             81                              9

треугольника?

⁰⁹

5.  Если cosa — , то чему равен tgd?

З

                                             в)

2

6.  В прямоугольном МСВ, sinA = —. Найти sinB. 5

5 21 21 б)   в)

     2 '                      5                   25

7.  Упростите выражение: sin30 ⁰ • cos45 ⁰ • tg60 ⁰ .

а)                    6)                    в)

      4                      4                    4

III этап. Из чение новой темы

ель деятельности

Совместная деятельность

2

Ввести понятия синуса, коси са, тангенса

(Ф)

1. Ввести понятие единичной пол ок жности (с. 248, ис. 290).

2

и котангенса через координаты точки единичной окружности

2.  Ввести понятие синуса и косинуса для углов 0 ⁰ < а< 80 ⁰ : sina= у; cosa = х.

Таким образом, для любого угла а из промежутка 0⁰ < а < 1 80 ⁰ синусом угла а называется ордината у точки М, а косинусом угла а — абсцисса х точки М, лежащей на единичной полуокружности.

0<sina< 1; —l <cosa< 1.

3.  Найти значения синуса и косинуса для углов 0 ⁰ , 90 ⁰ и 180 ⁰ .

sina

4.  Определить тангенс угла а (а $ 90 ⁰ ): tga   при а $ 90 ⁰ ; tg 0 ⁰ = 0; tg 180 ⁰ = 0.

cosa

5.  Вывести основное тригонометрическое тождество sin а + + cos а = 1, используя рис. 290 в учебнике на с. 248.

6.  Составить таблицу:

Значения для углов от 0 ⁰ до 90 ⁰ учащиеся заполняют самостоятельно (материал 8 класса). Остальные значения заполняют с помощью учителя, использ я о лы п иведения и единич ю ок жность

IV этап. Зак епление изученного мате иала

Цель деятельности

Деятельность чителя

Деятельность учащихся

2

В процессе решения простых задач отработать понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса

1.  Решить № 101 1 (устно).

2.  Решить № 1012 на доске и в тетрадях.

1012.

Решение:

Точка с координатами (х; у) принадлежит единичной полуокружности, если выполняются условия: —l ' х S 1, —1 ' у S I их² +В = 1. Точка М (0; 1) удовлетворяет всем условиям она лежит на единичной полуокружности.

точка ЛЬ удовлетворяет всем условиям она лежит на единич-

ной полуокружности.

Точки МзАО; 0),         ; 0) также лежат на еди-

ничной полуокружности.

Синус ИОМ— это ордината точки М. Косинус ЛОМ— это абсцисса точки М. Тангенс ИОМ авен отношению синуса ДОМ к его косинусу.

2

3

З. Решить № 1013 на доске и в тетрадях

sinZAOM1 = 1, cosZAOMl = О, tgZAOMl = О.

1

sinZAOM2 = coszAOM2 -    «ИОМ2 2

sinZAOM3 =     , cosZAOM3 2 2

- 1 .

sinZAOM4 = -, cosZAOM4 = -— 2              2

tgZAOM4 -

Г•С2 1013.

Решение:

l—cos ² а , но так как 0

а) cosa = —

б) cosa =

в) cosa = — Ответ: а)

=

             2      2

sinas 1

                                                                                          V этап. Итоги    ока. Ре лексия

еятельность чителя

еятельность чащихся

— Что повторили на уроке?

— Что является абсциссой точки единичной окружности? Ординатой точи единичной ок жности?

(И) Домашнее задание: изучить материал пунктов 97—99; ответить на вопросы 1—4, с. 266; решить задачи № 1014, 1015

Цели деятельности учителя

Совершенствовать навыки нахождения синуса, косинуса, тангенса для углов от 0 ⁰ до 1 80 ⁰ ; способствовать развитию умения пользоваться основным тригонометрическим тождеством

Термины и понятия

Единичная окружность, синус, косинус, тангенс, котангенс, основное тригонометрическое тождество

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для определения координаты точки единичной окружности

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями опрёделения понятий.

Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и способу действия на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать в группе, ясно, точно, грамотно излагать

свои мысли.

Личностные: осознают важность и необходимость знаний в жизни человека

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

• Задания для математического диктанта

этап. Актуализация знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

2

Повторить определения синуса, косинуса, тангенса

. Проверка выполнения домашнего задания. (Двое учащихся у доски.) 2. Математический диктант ( l 0—12 мин).

Вариант 1

1.                 Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите синус, косинус и тангенс меньшего острого угла этого треугольника.

2.                 Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а противолежащий угол равен 30 ⁰ . Найдите гипотенузу этого треугольника.

3.                 Вычисляя синус острого угла, ученик получил число 1,05. Верны ли его вычисления?

12

4.                 Найдите косинус острого угла, если его синус равен          

12

5.                 Найдите тангенс острого угла, если его синус равен —

9

6.                 Синус острого угла прямоугольного треугольника равен     Че ^м               у равен косинус второго острого угла этого треугольника?

2

Вариант П

1.                 Стороны прямоугольного треугольника равны 10 дм, 8 дм и 6 дм. Найдите синус, косинус и тангенс большего острого угла этого треугольника.

2.                 Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а противолежащий угол равен 45 ⁰ . Найти гипотенузу этого треугольника.

З. Вычисляя косинус острого угла прямоугольного треугольника, ученик получил число 1,05. Верны ли его вычисления?

24

4.  Найдите синус острого угла, если его косинус равен — 25

24

5.  Найдите тангенс острого угла, если его косинус равен

25

12

6.  Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен          Чему равен синус второго острого угла этого треугольника? 37

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

Совершенствовать навыки решения задач

(Г)

1.                 Решить задачи № 1017 (б), 1018 (а) в малых группах. Варианты решений обсудить.

2.                 Самостоятельно решить № 1018 (а, в, д), 1019

ЛЬ 1017 (6).

в                          Так как косинус угла — это отношение прилежащего

катета к гипотенузе и cosZA = —, то для построения

угла А надо построить прямоугольный МСВ, в котором АС = 3, АВ = 4.

ЛЬ 1018.

Если точка А имеет координаты (х; у), то х = ОА • cosa, ау = ОА • sina.

а) ОА = 3, а = 45 ⁰                        • cos 45 ⁰                     ; у = 3 • sin 450

                                                            2                                2

То есть А

5 в) 5, а = 150⁰ З • cos 150 ⁰ = —• sin 150 ⁰ = -— .

                                                                                        2                                          2

53 5

То есть А

                             2       2

Цель деятельности чителя

Совершенствовать навыки нахождения синуса, косинуса, тангенса для углов от 0 ⁰ до 80 ⁰ ; способствовать развитию умения пользоваться основным т игономет ическим тождеством

Те мины и понятия

Единичная ок жность, си с, косин с, тангенс, котангенс, основное т игономет ическое тождество

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Умеют применить определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для определения координаты точки единичной окружности

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий. Регулятивные: умеют осуществлять контроль по результату и способу действия на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать в группе, ясно, точно, грамотно излагать свои мысли.

Личностные: п оявляют познавательный инте ес к из чению п едмета

2

3

д) Т = 5, а =                                                                                А (Ф; 1).

Ответ: а) А

Г,С2 1019.

Координаты точки А можно вычислить по формулам: х = ОА • cosa, У = ОА • sina.

В прямоугольной системе координат ХОУ для координат точки А выполняется равенство х² + у² = ОА

б) А(0; 3), тогда 0² + 3 ² = 0,4 ² ОА = 3. Отсюда по формуле х = ОА • cosa получаем: 0 = 3 • cosa cosa= 0 а = 90⁰ .

г) A(-2Ji; 26 (-2Ji) ² + (2Ji) ² = от, тогда 0А ² = 16х ОА = 4.

Тогда по формуле х = ОА • cosa получаем: — 20 = 4 • cosa

COSC = — 2

Ответ: б 90⁰ ; г 135 ⁰

                                                                                        III этап. Итоги     ока. Ре лексия

еятельность чителя

еятельность чащихся

— Подведите итог урока. Достигли ли мы поставленных целей? — Оцените свою або  Что для вас оказалось наиболее сложным?

(И) Домашнее задание: решить № 101 7 (а, в), 1018 (б, г), 1019 (а, в)

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная (Ф ; индивид альная (И

Образовательные ес сы

Чертежи для задач

I этап. Решение задач по готовым че тежам

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения задач

1 . Решение задач по готовым чертежам.

1) Найти х и у:                                  4) Найти а и

45)

Рис.

Рис. 4 2) Найти ZCOA, сов. 5) Найти координаты то-

чек А и В; ОА

Рис. 2

Рис. 5

З) Найти ZCOD.                              6) Найти SAB().

                Рис. З                                                                  Рис.

2. П ове ка домашнего задания

От в е ты к задачам по готовым чертежам:

2                                     2

2)   ZCOA = 30 ⁰ , СОВ = 120 ⁰ .

3)   ZCOD= 105 ⁰ .

П этап. Самостоятельная работа с взаимопроверкой

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень сформированности знаний по теме

(И)

Вариант 1        Вариант II 1. Найдите:        l. Найдите:

а) sina, если cosa= — а) sina, если cosa= —— ; З     4

2            2 б) сом, если sina—   б) cosa, если sina= —

                                  5                                                                                                  З

в) tga, если cosa — 2                                                                     в) tga, если cosa = 2

2.              Проверьте, лежат ли на единичной окружности точки:         2. Проверьте, лежат ли на единичной окружности точки:

3.              Угол между лучом ОМ, пересекающим единичную З. Угол между лучом ОР, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен а полуокружность, и положительной полуосью Ох равен Д Найдите координаты точки М, если: Найдите координаты точки Р, если:

а) ом- 4; а = 60⁰ ;                                    6) ом- 8; а = 150⁰ .                                а) ОР =             30 ⁰ ;                         6)  120⁰ .

Ответы:

                              Вариант 1                                                            Вариант П

Jii 46 в)

                З                                           5                                                                                  4                                          З

2. а) да;                        б) нет;             в) нет.                              2. а) да;                      б) нет;             в) нет.

З. а) М(2; 2$);                                                                    

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

— Оцените свою работу на каждом этапе урока.

— Какие трудности возникли при выполнении заданий и почему?

(И) Домашнее задание: решить задачи.

4

1. Постройте угол А, если cosZA =       Найдите sinZA, tgZA.

7

2

ДЕРЕВО ЧУВСТВ

Если чувствую себя хорошо, комфортно, то вешаю на дерево яблоки красного цвета, если нет, зеленого

2.  Найдите значение выражения sin а • tga— cos а, если известно, что

sina= — З

3.  Найдите наименьший угол между лучами ОА и ОД если А (—2; 2$)

Щ5; 5), О — начало координат

Цель деятельности учителя

Создать условия для доказательства теоремы о площади треугольника

Термины и понятия

Синус, треугольник, площадь треугольника

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять определение синуса для доказательства теоремы

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Регулятивные: умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации. Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем.

Личностные: владеют коммуникативной компетентностью

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные ресурсы

• Задания для фронтальной, групповой работы

этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить выполнение домашнего задания

1 . Проверить правильность выполнения домашнего задания, для этого пригласить к доске троих учащихся.

2. Вспомнить, какие формулы используются для вычисления площади треугольника и площади параллелограмма

П этап. Мотивация к деятельности

Цель деятельности

Деятельность чителя

Деятельность чащихся

Совершенствовать

навыки вычисления площади треугольника

(Ф)

1)

2)

5

3)

Вычислить площади

Рис. 2

Рис.

треугольников:

4)

Рис. 4

        5)         

Рис. 5

В

х

Ответ ы :

2) 63. 3) 1646 4) 20.

III этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель деятельности

Совместная деятельность

Доказать теорему о площади треугольника

(Г) Решите задачу.

                                                                  дано: ЛАВС ВС- а, АС = Ь,                а.

Найти: площадь треугольника. Решение:

1.  Координаты точки В равны: х = а • cosa,y = Ь • sina.

2.  Высота   а • sina.

            Рис. б                             З. —АС                 —b (а sina)= —a• b • sina.

                                                                                  2                                                          2

Далее учащимся п едлагается све ить свое ешение и доказательство тео емы в учебнике на с. 256, сделать вывод

IV этап. Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

При решении простеЙших задач отработать применение доказанной формулы

(Ф)

1.   Решить на доске и в тетрадях задачи № 1020 (а), 1022, 1024.

2.   Решить задачу: найти площадь равнобедренного треугольника с углом при основании 5 ⁰ и боковой стороной 5 см.

Рис. 7

               25     2

Ответ:      см

4

V этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— По каким формулам можно вычислить площадь треугольника?

— Как найти синус угла прямоугольного треугольника?

— Составьте синквейн к уроку

(И) Домашнее задание: выучить теорему; решить № 1020 (б, в), 1021,

1023

Цели деятельности учителя

Создать условия для доказательства теоремы синусов и теоремы косинусов; способствовать развитию умения применять теоремы синусов и косинусов при решении задач

Термины и понятия

Синус, косинус, треугольник, площадь треугольника

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять определение синуса для доказательства теоремы

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий; умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации.

Регулятивные: осознают и принимают учебные задачи.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем; участвуют в диалоге.

Личностные: владеют коммуникативной компетентностью

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные ресурсы

• Задания для математического диктанта

I этап. Актуализация опорных знаний

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить уровень сформированности теоретических знаний

1 . Подготовить у доски доказательство теоремы о площади треугольника.

2.  Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

3.  Провести математический диктант (10 мин).

Вариант 1

. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 7 см, а высота равна 4 см.

2.                  Найдите синус угла, если его косинус равен 0,6.

3.                  Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,3.

4.                  Начертите треугольник АВС с тупым углом С. Проведите высоту треугольника из вершины В.

5.                  Луч ОС образует с положительной полуосью абсцисс угол 60 ⁰ . Найдите координаты точки С, если ОС = 6 дм.

6.                  Определите, каким — остроугольным, прямоугольным или тупоугольным — является треугольник, два угла которого равны 430 и 480.

7.                  Точка С единичной полуокружности имеет координаты  Найдите угол, который образует луч ОС с положи-

тельной полуосью ОХ.

Вариант П

1.                  Найдите площадь треугольника, если его основание равно 10 дм, а высота равна 5 дм.

2.                  Найдите косинус угла, если его сикус равен 0,8.

3.                  Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,7.

4.                  Начертите треугольник CDE с тупым углом Е. Проведите высоту треугольника из вершины С.

5.                  Луч ОВ образует с положительной полуосью абсцисс угол 30 ⁰ . Найдите координаты точки В, если ОВ = 8 дм.

6.                  Определите, каким — остроугольным, прямоугольным или тупоугольным — является треугольник, два угла которого равны 35 ⁰ и 56 ⁰ .

7.                  Точка А единичной полуокружности имеет координаты  Найдите угол, который образует луч ОА с положитель-

ной полуосью ОХ

2

3

е) а = 6,3; Ь = 6,3;         54 ⁰ .

По теореме синусов: 8 = b² + а) — 2abcosZA = 6,3 ² + 6,3 ² —2 • 6,3 • 6,3 • cos 54⁰ ==2 • 6,3 ² (1 — COS 54 ⁰ ) 5,7.

По теореме синусов:

                                    sinZA sinZB sin ZC           sinZA sin 70 ⁰

5,7 6,3 •sin 54⁰ sin И = sin ZB = = 63 ⁰ . sin 54⁰                     5,7

и) а = 6; Ь = 7,3; с = 4,8.

7,3 ² +4,8 ² —6 ² По теореме синусов с = b² + а-² — 2bccosZA >cosZA =

0,5755 И = 54 ⁰ 52'.

b•sinZA

По теореме синусовSin Цв =

                                   sin И sin ZB                           а                 6

= 84⁰ 16'. ZC= 180 ⁰ - ZA+ZB =40 ⁰ 52'

IV этап. Итоги ока. Ре лексия

еятельность чителя

еятельность чащихся

— Как вы думаете, для чего были изучены теоремы синусов и косинусов? — Почем тео е косин сов называют обобщенной тео емой Пи аго а?

(И) Домашнее задание: выучить п. 101, 102; решить № 1025 (б, д, ж)

Цель деятельности чителя

Создать условия для ознакомления учащихся с методами решения треугольников, закрепления знания теорем синусов и косисов, об чения п именению тео ем в ходе ешения задач

Те мины и понятия

Си с, косин с, т е гольник, площадь е гольника, п илежащий гол, п отиволежащий гол

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Умеют применять теоремы синусов и косинусов для решения треугольников

Познавательные: умеют понимать и использовать математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации, видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации.

Регулятивные: понимают и сохраняют учебную задачу.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную дея-

тельность с учителем, участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность п и ешении геомет ических задач

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф ; индивид альная И :           пповая Г

Образовательные ес сы

• Чертежи для задач

этап. Ак ализация опо ных знаний

ель деятельности

Совместная деятельность

Проверить уровень теоретических знаний

1 . Теоретический опрос: 1-й вариант доказывает теорему синусов; 2-й вариант

2. Устное решение задач по готовым чертежам:

1) Найти АВ.                           2) Найти АВ.                        3) Найти угол В.

2

Рис. З

446

Ответы: 1) АВ = 40-206 ; 2)                             ; 3)       =        4)         75 ⁰

—

теорему

косинусов.

4) Найти угол В.

Рис. 4

П этап. Из чение нового мате иала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Создать условия для организации самостоятельного изучения темы урока

(И) l. Прочитать самостоятельно в учебнике п. 103 на с. 258—259.

(Ф) 2. Обсудить прочитанный материал, задавая вопросы: Что значит «решить треугольник»?

— Перечислите три основные задачи на решение треугольников.

— Составьте план решения треугольников:

1) по двум сторонам и углу между ними;

2) по стороне и двум прилежащим к ней углам; 3) по трем сторонам.

3. Решить треугольник, если (рис. 5):

а) ВС, если АВОтветы:

               если ВС а,                                                       а) ВС -

в) С, если АВ

г) ZB, если И - а, zc=y. 6) АСесли ZC =у, = Р, АС-

с

а

с2 +b2 —2ccosa

a•sinP sin(y + Р)

Рис.

     в) cosZC =  

b•siny

д) АВ= sinp

2ab

III этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

2

Научить применять теоремы синусов и косинусов при решении задач

(И)

. По рис. 294 учащиеся самостоятельно разбирают решение примера в учебнике на с. 255.

2. Решить № 1026 на доске и в тетрадях. (Г)

З. Решить № 1029 и 1031 по группам

1026.

дано: МВС, АС = 12 см, И = 75

Найти: АВ , SАВС.

Решение:

1)            = 180 ⁰ - (60 ⁰ + 75 ⁰ ) = 45 ⁰ .

АС 2) По теореме синусов:

sin ZB

 14,7 (см).

0,8071

= ^Щ • АВ • АС • sinZA•,

2

Ответ: 14,7 см; 85 см2

М 1031.

а² = b² + 8 — 2bccosZA

25 = 16+ 16-2 • 16 • cosZA —7 = 32 • cosZA cosZA = 0,2188

И = 12⁰ 38'

Так как против большей стороны угольный.

а² = b² + с² — 2bccosZA

289 = 64 +225 - 240 • cosZA

0 = 240 • cosZA cosZA = 0

И = 90 ⁰

ДАВС — прямоугольный.

а² = + 8 — 2bccosa

⁰ .

Рис. 6

    АВ             12             АВ

sin ZC sin 45 ⁰           sin 60 ⁰

         .      . 14,7 • 0,9659

2

лежит острый угол, то ДАВС

85,2 (с“).

— остро-

2

3

81      +36-60 • cosa

IO         • cosa cosa = —0, 16666 < O, CJ1eAOBæreJ1bHO La — AABC — Tynoyr0J1bHb1ü.

1029.

nano: AABC, BC = a, LB = a, ZC Haümu: 6HCCeKTPHCb1.

Pezuewe.•

a l) PaCCMOTPHM ABCBI: ZBI —- 180⁰ 2

2) PaCCMOTPHM ABCCI: LC1 = 180 ⁰ — a —— ; 2

a sin a

ABI

3)

        sin p sin(a + P)            sin(a + P)

4) PaccMOTPHM AABAI :                    = 900 +

2

asinß • sin a

                asinß        asina

O TB e T :

-rynoä.

BC sin ZBI

BC sin LC1

sinZBl asina •sinß

P) • cos

asina • sin p

P) • cos

5

3 M

Puc 7

BBI sin LC

sin LB

AB sin ZAI

2

2

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Что значит «решить треугольник»?

— Задайте т и воп оса по ок

(И) Домашнее задание: решить ЛЬ 1027, 1028, 1032

Цель деятельности учителя

Создать условия для ознакомления учащихся с методами решения треугольников, закрепления знаний теорем синусов и косисов, об чения п именению тео ем в ходе ешения задач

Термины и понятия

Синус, косинус, треугольник, площадь треугольника, прилежащий угол, противолежащий угол, радиус окружности, описанный около т е гольника

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Умеют применить теоремы синусов и косинусов для решения треугольников

Познавательные: умеют понимать и использовать математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации, видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации.

Регулятивные: принимают и сохраняют учебные задачи.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совмест-

ную деятельность с учителем, участвовать в диалоге.

Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность п и ешении геомет ических задач

О ганизация п ост анства

Фо мы аботы

Ф онтальная Ф ; индивид альная И

Образовательные ес сы

• Задания для фронтальной работы

I этап. Ак ализация опо ных знаний

ель деятельности

Совместная деятельность

Проверить успешность учащихся в выполнении домашней работы

1 . Сформулировать теорему о площади треугольника.

2. Сформулировать теорему синусов. З. Сформулировать теорему косинусов.

4.  Объяснить применение теоремы косинусов при решении треугольников.

5.  Определить, в какой задаче на решение треугольников можно применять только теорему синусов.

6.  Прочитать самостоятельно по учебнику решение № 1033 и записать решение в тетрадь.

7.  П очитать в чебнике п. 104 на с. 256—257

П этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность чителя

Деятельность учащихся

2

Совершенствовать навыки решения задач

(Ф/И) Решить задачи.

1)              В треугольнике АВС И = 20 ⁰ , ZB = 40 ⁰ , АВ = 12 см. Найти радиус окружности, описанной около треугольника.

2)              Стороны треугольника равны 12, 13 и 14. Найти ращус окружности, описанной около треугольника.

3)              Решить № 1036, 1037, 1038 на доске

и в тетрадях

Ответ ы :

43.

2) R = 7,55.

в Воспользуемся рисунКом ется схематичным la, то есть рисунка на с.

По условиям задачи АС

Е ZEDB = 45 ⁰ , ОЕВ = 90 ⁰ длину отрезка АВ.

а)              б) Рис. 1

Из треугольника ADE находим АЕ:

AE=DE •             = 50  м 0,035        м.

Треугольник DEB прямоугольный и равнобедренный, так как ИВЕ = 180 ⁰ - 90 ⁰ - = 45 ⁰ = ZBDE. следовательно, Таким образом, АВ = АЕ + ВЕ 52 м. Ответ: ^х 52 м. 1037.

дано: АВ = 70 м; ПАВ = 12 ⁰ 30'; ЛВС = 72 ⁰42'; CD ИВ.

Найти: CD.

Решение:

1) В МОС. CD=AD tgZA, CD • tg12 ⁰ 30'; В ДОС: CD=BD • tgZB, CD = BD №72 ⁰ 42'•, 2) Примем AD = х м, получим BD = 70 — х м. х = (70 - х) tg72⁰ 42', х- -х) • 3,21; 3,4327х = 224,77; х х 65,48. О = 65,48 м.

3) 65,48 • 0,2217- 14,52 м. Ответ: 14,52 м.

16, который являизображением рисунка 298 учебника.

= 50 м, ZEDA = 2 ⁰

. Требуется найти

DE — -АС = 50 м

72042'

Рис. 2

Цель деятельности учителя

Создать условия для ознакомления учащихся с понятием «угол между векторами», введения понятий скалярного произведения двух векторов, скалярного квадрата

Термины и понятия

Косинус, угол между векторами, скалярное произведение, скалярный квадрат

Плани емые ез льтаты

П едметные мения

Униве сальные чебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания

Познавательные: умеют понимать и использовать математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации; осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Регулятивные: принимают и сохраняют учебные задачи.

Коммуникативные: умеют участвовать в диалоге.

Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность п и ешении геомет ических задач

О ганизация пространства

Формы аботы

Ф онтальная (Ф); индивид альная (И)

Образовательные есу сы

, Тест

2

З

1038.        в          Е дано: ДВЕ = 60 ⁰ , САВ = 30 ⁰ , ВС=           м.        100 м Найти: ск.

Решение:

1) Так как СВЕ = 90 ⁰ ; ИВЕ - 60 ⁰ , то СВА = 30 ⁰ , Рис. З следовательно, ЛАВС — равнобедренный, ZC = 120 ⁰ , ВС = АС = l00 м. 2) так как ZBCA и ZkCA - смежные, то ZkCA = 60 ⁰ , ЛАС = 30 ⁰ ,

ск                 ,         50 м.

2

Ответ: 50 м

III этап.

Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

— Оцените свою деятельность на каждом этапе урока. — Что для вас оказалось наиболее сложным?

(И) Домашнее задание: решить № 1034, 1060 (а), 1061 (а)

этап. Тест

ель деятельности

Задания для самостоятельной аботы

2

Проверить уровень усвоения теоретических знаний

(И) Тест с самопроверкой.

Вариант 1

1.           Для треугольника справедливо равенство:

а) +0- мС АС cos ZBCA•, 6) ВС^Ю =АВ² +А&-ИВ • АС • cos ЛВС;

   в) АС² =АВ²                  - ИВ • ВС • cos ИСВ.

2.           Площадь треугольника ЛПК равна:

а) —WW• МК •sin ZMNk

в) —лл^Г• ЛК •sin ZWWk .

3.           Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:

а) тупого угла;

б) прямого угла;

в) острого угла.

4.           В треугольнике АВС известны длины сторон АВ и ВС. Чтобы найти сторону АС, необходимо знать величину:

   а) угла А;        б) угла В;        в) угла С.

5.           Треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см: