Тема: Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

Тема:  Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.  Асимптоты графика функции.  Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график  функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. Вертикальная асимптота — прямая вида   при условии  существования предела  Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два  односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт  себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например: . 1.    2.  Горизонтальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела . существования пределов Наклонная асимптота — прямая вида   при условии  1. 2. Общая схема исследования функции и построения её графика. При решении этой задачи находят: 1) область определения функции; 2)  точки  разрыва  и  исследуют  поведение  функции  в  граничных  точках  области определения; 3) находят нули функции и промежутки ее знакопостоянства; 4) находят асимптоты; 5) критические точки и интервалы монотонности; 6) точки перегиба и интервалы выпуклости. Замечание. Если функция f(x) четная, т.е. f(x) = f(–x), или нечетная, т.е. f(x) = – f(– x),   то   исследование   функции   достаточно   провести   для   x³0,   а   затем   по   свойству четности или нечетности построить график при x<0. Завершают исследование функции построением ее графика. Пример 1. Исследовать функцию у =   и построить ее график. Решение. 1)   Функция   у   =   определена   всюду,   кроме   точки   x=1.   Отсюда область определения её: (–¥,1) È(1,+¥). 2) x=1 – точка разрыва функции. Исследуем поведение функции в граничных точках области определения: f (x) =   = +¥, f (x)   =   =   +¥,   так   как   при   х®1   знаменатель   дроби   является положительной бесконечно малой. = = =+¥; = =–¥. = 3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При х = 0 получаем у = 0, т.е. график функции пересекает координатные оси в точке O(0,0). 4) Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции. Найдем наклонные асимптоты: k= = = =  = 1, т.е. k =1; b   =  ( f (x)– kx) = =  =   =  =  = = =  =  =2, т.е. b=2. Имеем уравнение правой наклонной асимптоты y = x+2. Легко убедиться, что при x ®–¥ k и b имеют те же значения, т.е. уравнение левой наклонной асимптоты такое же y = x+2. 5) Найдем производную функции: y' =  =  =  = Приравнивая   y'   к   нулю,   получим x3–3x2=0,   откуда   имеем   критические точки x1=0, x2=3. Для исследования знака производной в интервале (–¥;0), (0;3) и (3; +¥) на числовой оси отметим точки x=0, x=3 их=1.  =  . Определим знаки y' =   в указанных интервалах. Таким образом, в интервале (–¥;1) функция возрастает, в интервале (1,3) – убывает, в интервале (3,+ ¥) она возрастает. В точке x=3 функция имеет минимум: f (3) = = 6,75. 6) Найдем вторую производную: y''= = = = = = , y''=0 при x=0. Так как знаменатель дроби (x–1)4>0 всегда (кроме x=1), то знак второй производной зависит лишь от числителя. При x<0 y''<0, при x>0 y''>0. = Точка x=0   является   точкой   перегиба.   При x<0   кривая   направлена   выпуклостью вверх,   так   как   y''<0,   а   при x>0   –   выпуклостью   вниз.   В   точке   перегиба f (x)   имеет значение f (0)=0. Результаты наших исследований объединим в таблицу. x y' y'' y (–¥,0) + – äÇ 0 0 0 точка перегиба (0,1) + + Èä 1 не существует 3 0 (1,3) – + æÈ min (3,+¥) + + Èä Строим график функции, предварительно построив асимптоты и отметив точки минимума, перегиба и пересечения графика с осями координат. Рис.41