Тема занятия «Определение сходимости знакочередующихся рядов».

ТЕМА6 Определение сходимости числовых рядов по признаку Даламбера и Коши. Пример 1 Исследовать ряд на сходимость  Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть  нужно использовать признак Даламбера. Сначала полное решение и образец оформления, комментарии ниже. Используем признак Даламбера: , а это верная предпосылка того, что  Таким образом, исследуемый ряд сходится.   (1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему:  . Из условия мы  видим, что общий член ряда  . Для того, чтобы получить следующий член ряда  необходимо вместо  (2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. (3) В числителе раскрываем скобки. В   подставить  :  . знаменателе выносим четверку из степени.  (4) Сокращаем на  знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.  . Константу   выносим за  (5) Неопределенность  знаменателя на «эн» в старшей степени. (6) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.  устраняется стандартным способом – делением числителя и  (7) Упрощаем ответ и делаем пометку, что  Даламбера исследуемый ряд сходится. Пример 2 Возьмём похожий ряд и исследуем его на сходимость  с выводом о том, что, по признаку  Сначала полное решение, потом комментарии: Используем признак Даламбера: Таким образом, исследуемый ряд сходится. (1) Составляем отношение  (2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. (3) Рассмотрим выражение  знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в  четвертую степень:  знаком с биномом Ньютона, данная задача вообще может оказаться невыполнимой.  Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки  получим старшую степень  . По аналогии с  предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя  на  многочлены    у нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики,   – одного порядка роста. Таким образом, вполне  . Внизу у нас такая же старшая степень:  .  и   в числителе и выражение   в  , чего делать совершенно не хочется. Кроме того, для тех, кто не , то  можно обвести отношение  штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов:  и  Пример 3 , они тоже одного порядка роста, и их отношение стремится к единице.  простым карандашом и сразу указать, что эта    Исследовать ряд на сходимость  Пример 4 Исследовать ряд на сходимость  В общий член ряда входит и степень, и факториал. Ясно, как день, что здесь надо  использовать признак Даламбера. Решаем. Таким образом, исследуемый ряд расходится. (1) Составляем отношение  чтобы получить следующий член ряда, вместо  . По условию общий член ряда:   нужно подставить  , таким  . Для того  образом:  (2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. (3) Факториалы расписываем подробно.  .  (4) Сокращаем всё, что можно сократить. (5) Константу   выносим за знак предела. В  числителе раскрываем скобки. (6) Неопределенность  – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. Пример 5  устраняем стандартным способом  Исследовать ряд на сходимость  Пример 6 Исследовать ряд на сходимость  Иногда встречаются ряды, которые в своей начинке содержат «цепь» множителей, этот  тип ряда мы еще не рассматривали. Как исследовать ряд с «цепочкой» множителей?  Использовать признак Даламбера. Но сначала для понимания происходящего распишем  ряд подробно: Из разложения мы видим, что у каждого следующего члена ряда добавляется  дополнительный множитель в знаменателе, поэтому, если общий член  ряда  , то  следующий член ряда: . Вот здесь часто автоматом допускают  ошибку, формально по алгоритму записывая, что  Примерный образец решения может выглядеть так: Используем признак Даламбера: Таким образом, исследуемый ряд сходится. Пример 7 Исследовать ряд на сходимость  Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от  значит, нужно использовать радикальный признак Коши: , а  Таким образом, исследуемый ряд расходится. (1) Оформляем общий член ряда под корень. (2) Переписываем то же самое, только уже без корня, используя свойство  степеней  . (3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что   в куб, возвести  . Здесь можно было пойти  (4) В результате у нас получилась неопределенность  длинным путем: возвести  знаменатель на «эн» в старшей степени. Но в данном случае есть более эффективное  решение: можно почленно поделить числитель и знаменатель прямо под степенью­ константой. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на  (старшую степень).  (5) Собственно выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся  к нулю.  в куб, потом разделить числитель и    (6) Доводим ответ до ума, помечаем, что   и делаем вывод о том, что ряд расходится. Пример 8 Исследовать ряд на сходимость  И еще пара типовых примеров. Полное решение и образец оформления в конце урока Пример 9 Исследовать ряд на сходимость  Используем радикальный признак Коши: Таким образом, исследуемый ряд сходится. (1) Помещаем общий член ряда под корень. (2) Переписываем то же самое, но уже без корня, при этом раскрываем скобки, используя  формулу сокращенного умножения:  . (3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель и указываем, что  . (4) Получена неопределенность вида  поделить числитель на знаменатель на «эн» в старшей степени. Нечто подобное у нас  встречалось при изучении второго замечательного предела. Но здесь ситуация другая.  . Здесь можно прямо в скобке почленно  Если бы коэффициенты при старших степенях были одинаковыми, например:  , то фокус с почленным делением уже бы не прошел, и надо было бы использовать второй  замечательный предел. Но у нас эти коэффициенты разные (5 и 6), поэтому можно (и  нужно) делить почленно (кстати, наоборот – второй замечательный предел  при разных коэффициентах при старших степенях уже не прокатывает). Если помните, эти тонкости рассматривались в последнем параграфе статьи Методы решения пределов. (5) Собственно выполняем почленное деление и указываем, какие слагаемые у нас  стремятся к нулю. (6) Неопределенность устранена, у нас остался простейший предел:  в бесконечно большой степени стремится к нулю? Потому что основание степени  . Почему    удовлетворяет неравенству  . Если у кого есть сомнения в справедливости  предела  , то я не поленюсь, возьму в руки калькулятор: Если  , то  Если  , то  Если  , то  Если  , то Если  , то  … и т.д. до бесконечности – то есть, в пределе:  Прямо таки бесконечно убывающая геометрическая прогрессия на пальцах =) (7) Указываем, что  Пример 10  и делаем вывод о том, что ряд сходится. Исследовать ряд на сходимость  Это пример для самостоятельного решения. Пример 11 Исследовать ряд на сходимость  Почти классика. Натуральный логарифм и какая­нибудь бяка. Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот  факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная. Из  темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь:  нас как раз такой канонический случай. Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и  , и у  переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы:  . Затем под интегралом  переписываем «начинку» ряда с буковкой «хэ»:  . Чего­то не хватает…, ах, да, еще в  числителе нужно прилепить значок дифференциала:  . Теперь нужно вычислить несобственный интеграл  . При этом возможно два случая: 1) Если выяснится, что интеграл   сходится, то будет сходиться и наш ряд  .  расходится, то наш ряд  2) Если выяснится, что интеграл   расходиться. Повторюсь, если материал запущен, то чтение параграфа будет трудным и малопонятным,  поскольку применение признака по сути дела сводится к вычислению несобственного  интеграла первого рода. Полное решение и оформление примера должно выглядеть примерно так: Используем интегральный признак:  тоже будет  Подынтегральная функция непрерывна на Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным  интегралом. Пример 12 Исследовать ряд на сходимость  В рассмотренных примерах логарифм также мог находиться под корнем, это не изменило  бы способа решения. И еще два примера на закуску Пример 13 Исследовать ряд на сходимость  По общим «параметрам» общий член ряда вроде бы подходит для использования  предельного признака сравнения. Нужно всего лишь раскрыть скобки   и сразу  сдать на кандидата предельно сравнить данный ряд со сходящимся рядом  Впрочем, я немного слукавил, скобки можно и не раскрывать, но всё равно решение через  предельный признак сравнения будет выглядеть довольно вычурно. Поэтому мы используем интегральный признак Коши: .  Подынтегральная функция непрерывна на  Получено конечное число, значит, исследуемый ряд  сходится вместе с соответствующим  несобственным интегралом. ! Примечание: полученное число  Пример 14  –  не является суммой ряда!!! Исследовать ряд на сходимость Пример 3: Используем признак Даламбера: Таким образом, исследуемый ряд расходится. Примечание: Можно было использовать и «турбо»­метод решения: сразу обвести  карандашом отношение  «одного порядка роста». Пример 5: Используем признак Даламбера: , указать, что оно стремится к единице и сделать пометку:  Таким образом, исследуемый ряд сходится. Пример 8: Используем радикальный признак Коши. Таким образом, исследуемый ряд сходится. Пример 10: Используем радикальный признак Коши. Таким образом, исследуемый ряд расходится. Примечание: Здесь основание степени  Пример 12: Используем интегральный признак. , поэтому    Подынтегральная функция непрерывна на  . Получено конечное число, значит, исследуемый ряд  сходится вместе с соответствующим  несобственным интегралом. Пример 14:  Используем интегральный признак.   Подынтегральная функция непрерывна на  . Таким образом, исследуемый ряд  расходится вместе с соответствующим несобственным  интегралом. Примечание: Ряд  признака сравнения. Для этого необходимо раскрыть скобки под корнем  также можно исследовать с помощью предельного     и сравнить исследуемый ряд с расходящимся рядом  .