Теорема

Фалес Милетский VI век до н. э.

Фалес первым сформулировал и доказал несколько геометрических теорем, среди которых:
1) вертикальные углы равны;
2) имеет место равенство треугольников по одной стороне и двум прилегающим к ней углам;
3) углы при основании равнобедренного треугольника равны;
Фалес научился определять расстояние от берега до корабля. В основе этого способа лежит теорема, названная впоследствии теоремой Фалеса:

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают равные отрезки на одной его стороне, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Легенда рассказывает о том, что Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды, дождавшись момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.

Теорема Фалеса

Теорема. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. а).

Теорему Фалеса можно применять для деления отрезка на n равных частей (рис. б).

Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема. (О пропорциональных отрезках.) Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Отношением двух отрезков AB и CD называется число, показывающее сколько раз отрезок CD и его части укладываются в отрезке АВ.

Говорят, что отрезки АВ, CD пропорциональны отрезкам A1B1, C1D1, если равны их отношения

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. если CD – биссектриса треугольника ABC, то AD : DB = AC : BC.

Обратное свойство

Если луч, проведенный из вершины угла треугольника, делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника, прилежащим к лучу, то этот луч является биссектрисой угла треугольника.

Доказательство: Пусть для луча CD выполняется равенство AD : DB = AC : BC. Проведем прямую BE, параллельную CD. По теореме о пропорциональных отрезках, AD : DB = AC : CE. Сравнивая эти два равенства, получаем равенство BC = CE, из которого следует равенство углов CBE и BEC. Но угол CBE равен углу BCD, а угол BEC равен углу ACD. Значит, CD – биссектриса треугольника ABC.

№ 1

Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, C и B, D соответственно. Найдите OC, если OB = BD = 5 и OA = 6.

Ответ: 12.

№ 2

Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, C и B, D соответственно. Найдите OD, если OA = 6, AC = 12 и OB = 5.

Ответ: 15.

№ 3

Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, C и B, D соответственно. Найдите OA, если OC = 24 и OB : OD = 2 : 3.

Ответ: 16.

№ 4

Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, B и C, D соответственно. Найдите OA, если OB = 15 см и OC : OD = 2 : 5.

Ответ: 6 см.

№ 5

Определите, пропорциональны ли пары отрезков а, b и c, d, если:
а) a = 0,8 см, b = 0,3 см, с = 2,4 см, d = 0,9 см;
б) а = 50 мм, b = 6 см, с = 10 см, d = 18,5 см.

Ответ: а) Да;

б) нет.

№ 6

Среди отрезков a, b, c, d, e выберите пары пропорциональных отрезков, если а = 2 см, b = 17,5 см, с = 16 см, d = 35 см, е = 4 см.

Ответ: a, e и b, d.

№ 7

Даны три отрезка: а, b, и с. Какова должна быть длина четвертого отрезка d, чтобы из них можно было образовать две пары пропорциональных отрезков, если а = 6 см, b = 3 cм, с = 4 см, и отрезок d больше каждого из этих отрезков.

Ответ: 8 см.

№ 8

На одной из сторон угла расположены два отрезка 3 см и 4 см. Через их концы проведены параллельные прямые, образующие на другой стороне также два отрезка. Больший из отрезков равен 6 см. Чему равен другой отрезок?

Ответ: 4,5 см.

№ 9

Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A1, A2 и B1, B2 соответственно. Найдите: а) B1B2, если OA1 = 8 см, A1A2 = 4 см, OB2 = 6 см; б) OB1 и OB2, если OA1 : OA2 = 3 : 5 и OB2 – OB1 = 8 см; в) OA1 и OA2, если OB1 : B1B2 = 2 : 3 и OA1 + OA2 = 14 см.

Ответ: а) 2 см;

б) 12 см и 20 см;

в) 4 см и 10 см.

№ 9

Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A1, A2 и B1, B2 соответственно. Найдите: а) B1B2, если OA1 = 8 см, A1A2 = 4 см, OB2 = 6 см;

Ответ: а) 2 см;

№ 10

В треугольнике АВС сторона ВС разделена на четыре равные части и через полученные точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ, равной 18 см. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника.

Ответ: 4,5 см, 9 см, 13,5 см.

№ 22

В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны CD. Отрезок AE пересекает диагональ BD в точке F. Найдите отношение DF : FB.

В треугольнике CDH EF – средняя линия. Следовательно, DF = FH. В треугольнике ABF GH – средняя линия. Следовательно, BH = HG. Значит, DF : FB = 1 : 2.

№ 23

В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны CD. Отрезок AE пересекает диагональ BD в точке F. Найдите отношение AF : FE.

В треугольнике CDH EF – средняя линия. Следовательно, AF = CH = 2FE. Значит, AF : FE = 2 : 1.

№ 24

В параллелограмме ABCD точки E и F – середины сторон соответственно CD и AD. Отрезки AE и BF пересекаются в точке G. Найдите отношение AG : GE.

В треугольнике ADH FG – средняя линия. Следовательно, AG = GH. В треугольнике CDM EH – средняя линия. Следовательно, EH = CM/2 = AG/2. Значит, AG : GE = 2 : 3.

№ 11 не надо

Основания трапеции равны 14 см и 20 см. Одна из боковых сторон разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри трапеции.

Ответ: 16 см и 18 см.

№ 12 не надо

На медиане CC1 треугольника ABC взята точка M, CM:MC1 = 3:1. Через нее проведена прямая, параллельная стороне BC, пересекающая сторону AB в точке N. Найдите отношение AN:NB.

Решение. C1N:NB = 1:3, AC1 = C1B, следовательно, AN:NB = 5:3.

№ 13 не надо

В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1, которые пересекаются в точке M. Найдите отношение CM : MC1.

№ 14 не надо

На продолжении стороны AC треугольника ABC взята точка K, AC = CK. Через нее и середину L стороны AB проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке N. Найдите отношение BN:NC.

В треугольнике ABK отрезки BC и KL являются медианами. В силу предыдущей задачи, BN:NC = 2:1.

№ 15 не надо

На продолжении стороны AC треугольника ABC взята точка D, AC = CD. Через нее и середину E стороны BC проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке F. Найдите отношение AF:FB.

Треугольнике BEF и CEG равны по 2-му признаку. Следовательно, AF = 2CG = 2FB, значит, AF:FB = 2:1.

№ 16 не надо

В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий CC1 в точке M, для которого CA1:A1B = 3:1. Найдите отношение CM : MC1.

Он является средней линией треугольника AA1B, следовательно, A1D = DB. В треугольнике CC1D CA1: A1D = 3:0,5. Значит, CM : MC1 = 6:1.

№ 17 не надо

В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий CC1 в точке M, для которого CA1:A1B = 3:1. Найдите отношение AM : MA1.

Имеем, C1D: DB = 3:1. Следовательно, AC1 : C1D = 4:3. Значит, AM : MA1 = 4:3.

№ 18 не надо

В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий CC1 в точке M, для которого CA1:A1B = 1:2. Найдите отношение CM : MC1.

Он является средней линией треугольника AA1B, следовательно, A1D = DB. В треугольнике CC1D CA1: A1D = 1:1. Значит, CM : MC1 = 1:1.

№ 19 не надо

В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий CC1 в точке M, для которого CA1:A1B = 1:2. Найдите отношение AM : MA1.

Имеем, С1D : DB = 1:2. Следовательно, AC1: C1D = 3:1. Значит, AM : MA1 = 3:1.

№ 20 не надо

В треугольнике ABC проведена отрезки AA1 и отрезок CC1, пересекающиеся в точке M, для которых AC1:C1B = 1:2, CA1:A1B = 2:1. Найдите отношение CM : MC1.

№ 21 не надо

В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий CC1 в точке M, для которого CA1:A1B = 2:1. Найдите отношение AM : MA1.