Урок алгебры в 11 классе по теме: «Теорема
Урок алгебры в 11 классе по теме:
«Теорема Безу и следствие из неё»
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
(Г. Лейбниц)
Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц (1646 - 1716) — немецкий философ, логик, математик
Ал-Хорезми (ок. 783 — ок. 850) - основатель классической алгебры
Ал-Хорезми
(ок. 783 — ок. 850) -
основатель классической алгебры.
Джерола́мо Карда́но
(1501-1576) — итальянский математик
Лодовико Феррари
(1522-1565 ) — итальянский математик, нашедший общее решение уравнения четвёртой степени.
Нильс Хенрик Абель (1802-1829)– норвежский математик
Нильс Хенрик Абель (1802-1829)– норвежский математик
В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше.
Методы решения уравнений Метод разложения на множители
Методы решения
уравнений
Метод разложения на множители
Метод введения
новой переменной
Функционально-
графический
метод
Методы разложения на множители
Методы разложения
на множители
Вынесение общего множителя за скобку
Способ
группировки
Формулы сокращённого
умножения
Решить уравнение:
x3 + 2x2 - 7x - 12 = 0
?
Решить уравнение: ? ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2), где х1 и х2 корни многочлена
x3 + 2x2 - 7x - 12 = 0
Решить уравнение:
?
ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2), где х1 и х2 корни многочлена
Р(х) = x3 + 2x2 - 7x – 12
1 | 2 | -7 | -12 | |
-3 | 1 | -1 | -4 | 0 |
Делители свободного члена:
х = - 3 - корень многочлена Р(х)
± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12
Остаток Р(-3) = 0 Р(2) = -10 Р(1) = -16
1 | 2 | -7 | -12 | |
-3 | -1 | -4 | 0 |
2 | 1 | 4 | 1 | -10 |
Остаток
Р(-3) = 0
Р(2) = -10
Р(1) = -16
Р(-2) = 2
Не являются
корнем
Корень
Пусть Р(х) – многочлен ненулевой степени, а – некоторое число.
Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х – а равен Р(а).
Если число а является корнем многочлена то при делении на
х – а получается остаток равный 0.
1 | 3 | -4 | -16 | |
-2 | 1 | 0 | -7 | 2 |
Р(х) = x3 + 2x2 - 7x – 12
Доказательство: По теореме о делении с остатком следует, что
Доказательство:
По теореме о делении с остатком следует, что Р(х) = (х – а) Q(х) + r,
где Q(х) – многочлен степени на 1 меньше, чем р(х), r – остаток (число).
Пусть х = а, тогда Р(а) = (а – а)Q(х) + r = r. Ч.т.д.
Теорема Безу.
Остаток от деления многочлена Р(х) ненулевой степени на двучлен х – а равен Р(а).
Доказательство:
2. Если число а – является корнем многочлена, то Р(а) = 0,
следовательно r = 0 и многочлен примет вид
Р(х) = (х – а) Q(х). Значит многочлен Р(х) делится на х – а. Ч.т.д.
Следствие из теоремы Безу
Если число а является корнем многочлена Р(х), то Р(х) делится на двучлен х – а.
Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х – а равен Р(а).
Если число а является корнем многочлена Р(х), то Р(х) делится на двучлен х - а.
Этье́нн Безу́ (1730 - 1783) — французский математик, член Парижской академии наук
Решить уравнение: ? ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2), где х1 и х2 корни многочлена x3 + 2x2 - 7x…
x3 + 2x2 - 7x - 12 = 0
Решить уравнение:
?
ах2 + bх + с = а(х – х1)(х – х2), где х1 и х2 корни многочлена
x3 + 2x2 - 7x – 12 = 0
(х + 3)(x2 - х - 4) = 0
Ответ: -3;
Р(х) = x3 + 2x2 - 7x – 12
Делители свободного члена:
х = -3 – корень многочлена Р(х)
1 | 2 | -7 | -12 | |
-3 | 1 | -1 | -4 | 0 |
± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 12
Алгоритм решения уравнения с помощью теоремы
- найти все целые делители свободного члена;
- из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения;
- левую часть уравнения разделить на (x - a);
- записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;
- решить полученное уравнение.
!
Алгоритм решения уравнения с помощью
теоремы Безу
Подумай и реши: Решение: r =
Подумай и реши:
Решение: r = Р(2) = 3
При каком значении a многочлен
x4 + ax3 + 3x2 – 4x – 4 делится без остатка на двучлен x – 2 ?
Решение: r = Р(2) = 8а + 16
8а + 16 = 0, а = -2
3. Разложите на множители х4 + 324?
Найдите остаток от деления многочлена
x3 - 3x2 + 6x – 5 на двучлен x - 2.
Дома: Докажите утверждение «Многочлен степени n имеет не более n корней»
Дома: Докажите утверждение
«Многочлен степени n имеет не более n корней».
Благодарю за
внимание!
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
