Теория вероятностей в азартных играх

Открытая Международная научно-исследовательская конференция старшеклассников и студентов “Образование. Наука. Профессия” Секция “Математика”                                   «Теория вероятностей в азартных играх» Орлов Владислав ОГБОУИ «Смоленский фельдмаршала Кутузова кадетский корпус» Научный руководитель: учитель математики Лариса Николаевна Гришкова 2018 1 СОДЕРЖАНИЕ: Введение………………………………………………………………………………………….3 Глава 1.История возникновения теории вероятностей………………..………...…………....4 Понятие теории вероятностей…………………………………………………………………..4 Начальная история..……………………………………………………………………………...4 Развитие теории вероятности в 19­21 веках……………………………………………………5 Глава 2.История азартных игр…………………………………………………………………8  Понятие азартных игр…………………………………………………………………………...5  История возникновения…………………………………………………………………………6  Глава 3.Вероятность азартных игр…………………………………………………….....……8  Исследование…………………………………………………………..……………………….11  Эксперименты..………………………………………………………………...……………….14  Заключение…………………………………………..……………………..…………….……..20 Ссылки …………………………………………………………………………...……………..21 Приложения……………………………………………………………………………………..22 Аннотации……...…...……………………………………………………………….…...……..25 2 "Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о  себе." Дюма. Введение. Миры игры и чисел похожи на параллельные миры. Каждый из них развивается в своём         направлении, но вместе с тем они взаимно обусловливают друг друга, тесно  взаимодействуют. Причем не только математики помогают игрокам, но и наоборот. Если  бы не увлеченность человека азартными играми, то современная математика долго  находилась бы на том уровне, который занимала во времена Евклида. По своей натуре  человек ­это борец. Испокон веков дух соревнования просто необходим нам. Мы всегда  искали, и будем искать моменты борьбы, волнующие кровь. Одним из способов достижения этого с давних времен у всех народов являются азартные игры. Мы живем уже в 21 веке.  Казалось бы, нас уже трудно убедить в том, что делая минимальные вложения можно  получить большие (а иногда даже огромные) дивиденды. Но оказывается желание поверить  в чудо и выиграть крупный куш никуда не исчезло.  Современный мир не утратил интереса  к азартным играм. Карты, домино, игровые автоматы, различные лотереи – это все можно  отнести к азартным играм. Жажда быстрого обогащения толкает людей на риск: либо  выиграть, либо все проиграть. Самые простые расчеты выигрыша в азартных играх  показывают, как мала вероятность удач. Большинство людей твердо верят, что  настойчивость является залогом успеха. Возможно, иногда это действительно так, для  некоторых жизненных ситуаций. Но это совершенно не так, для азартных игр и вообще игр  с элементами случайности. Теория вероятности и азартные игры тесно связаны между  собой. Люди, разбирающиеся в теории вероятности, годами просчитывают возможные  варианты, для увеличения шансов на выигрыш, и иногда им это действительно удается. Но  на самом деле в азартных играх настойчивость ведет к банкротству. И я могу строго  доказать этот универсальный принцип. Отсюда появилась цель моего исследования: вывести математические закономерности и  рассчитать вероятность выигрыша в лотерею. Задачи исследования: 3 1. Выявить практическую значимость темы. 2. Изучить литературу, описывающую методы математической статистики и  комбинаторики. 3. Рассчитать вероятность выигрыша в лотерею.               Объектом исследования являются математические закономерности выигрыша в лотереи. Предмет исследования – вероятность выигрыша в лотерею. Актуальность: Пристрастие к азартным играм – это серьезная психическая зависимость, в  определенных случаях более тяжелая, чем никотиновая, алкогольная или наркотическая.  Роль и место игровых явлений и технологий выросло до необычайного размера. В  современном социуме проблемы игры и реального состояния игросферы общества и  личности предельно заостряются.  Нужно понимать, что настойчивость не является  залогом успеха, в азартных играх она ведет к банкротству.      Глава 1. История возникновения теории вероятностей. Со случайностью мы встречаемся каждый день: случайная поломка, случайная находка,  случайная встреча. Перечислять можно бесконечно. Казалось бы, математика тут не  причём, но и здесь великие ученые нашли закономерности – они позволяют умному  человеку достаточно уверенно чувствовать себя со случайными событиями. Изучением  этих событий занимается один из разделов математики, теория вероятностей.                         Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных  явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними   Теория вероятностей или теория вероятности – это один из разделов Высшей  Математики. Это самый интересный раздел Науки Высшая Математика. Теория  вероятности, которая являясь сложной дисциплиной, имеет применение в реальной жизни.  Теория вероятностей представляет несомненную ценность для общего образования. Эта  наука позволяет не только получать знания, которые помогают понимать закономерности  окружающего мира, но и находить практическое применение теории вероятности в  повседневной жизни. Так, каждому из нас каждый день приходиться принимать множество  решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить»  в некоторую определенность. Иногда это знание может оказать существенную помощь при  принятии решения. Изучение теории вероятностей требует больших усилий и терпения.  Теория вероятностей — сравнительно молодая ветвь математики и её изучение требует  больших усилий и терпения. Возникновение теории вероятностей как науки относят  4 к средним векам и первым попытка математического анализа азартных  игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго  математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим  фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных  представлениях.  Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности,  исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх. В основном, они использовали игру  «кости». Однажды, страстный игрок в кости, француз де Мере, захотел разбогатеть,  придумывая новые правила игры. Одним из вариантов, это бросание кости 4 раза подряд.  Он держал пари, что при этих условиях хотя бы один раз выпадет шестерка (6 очков). Для  полной уверенности в выигрыше француз обратился к известному математику Паскалю с  просьбой рассчитать вероятность выигрыша в этой игре. Вскоре, после опытов, Паскаль  доказал, что у де Мере было больше шансов выиграть, чем проиграть. Рассуждения  Паскаля и все его вычисления были основаны на классическом определении понятия  вероятности как отношения числа благоприятствующих случаев к числу всех  равновозможных случаев.            Первые исследования проводили Дж. Кардано и Н. Тарталья, сами того не подозревая. Они подсчитывали различные варианты выпадения очков. Некоторых успехов добился и Х.  Гюйгенс. Он работал над задачами теории вероятностей, при этом не был знаком с  работами предшественников. Он выпустил сборник своих работ в 1657 году.   Развитие теории вероятности в 19­21 веках.                                                                             Одним из периодов исследования теории вероятностей с XIXпо XX вв. связан с именами  русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Хотя  теория вероятностей развивалась и раньше, но со 2­ой половины XIX века исследования по  данному вопросу в России занимают ведущее место в мире. Чебышев со своими учениками  смогли обобщить некоторые теоремы более ранних учёных, также они решили ряд общих  задач в теории вероятностей. Чебышев смог в 1867 году очень просто объяснил и доказал  закон больших чисел. В это же время в Западной Европе велись работы по математической статистике.  Разработки европейских ученых стояли наряду с основными теоретическими работами  Чебышева и его учениками.                                                                                                              Вообще, период с XIX по XX вв. характеризуется созданием нескольких систем строгого  математического обоснования теории вероятностей, расширением круга применений,  новых методов для анализа, которые можно использовать на практике. Работы Э. Бореля,  П. Леви, М. Фреше, Р. Мизеса, Н. Винера и Дж. Дуба позволили расширить знания в теории  вероятности в период XX века.                                                                                                       5 В настоящее время изучением теории вероятностей занимаются в Киеве, во главе с Ю.В.  Ленником.                                                                                                                                          Глава 2. История азартных игр.                                                   Азартная игра (фр. jeu de hasard — буквально «игра случая») – игра, результат которой  зависит в большей степени от случая, или удачи, чем практических умений игрока. Чаще  всего азартные игры имеют материальный выигрыш. Хотя среди детей, или в кругу друзей  возможен вариант игры «на интерес», или на минимальные имущественные ставки.         Игральные кости, карты, лотерейный билет, банальное «Поле чудес» и т.д. ­ кто в наше  время о них не слышал. Каждый из нас хотел бы выиграть приз, полагаясь наудачу и  везение. Но мало кто знает, что во всех этих играх действует теория вероятности. С  помощью этого раздела высший математики можно посчитать вероятность выигрыша или  же его проигрыша. Но вряд ­ ли мы увидим человека, который за покерным столом будет  сидеть с тетрадью и калькулятором.  Поэтому все же приходиться полагаться на «везение  фортуны». Дальше я хочу рассказать немного об истории азартных игр и отдельно  остановиться на истории развития азартных игр в России.                                                        Азартные игры с давних времен являлись частью цивилизации. Игральные кости из камня и  бронзы находят в доисторических захоронениях.                                                                          Римляне и египтяне любили игры, где мастерство сочеталось с удачей. Игры в кости были  так же популярны в Греции и Риме. Однажды, некий император сделал ставку  эквивалентную $40 000 на один бросок костей. А римские солдаты переворачивали  колесницы набок, и использовали колеса в виде рулетки. В Библии есть отсылки к  бросанию жребия. В США азартные игры были всегда. Колумб ввез в Америку игральные кости и карты.  Проводились лотереи для сбора средств на военные цели в Америке в 1776 году. Конгресс  организовал лотерею с призовым фондом около 5 мил. долларов, чтобы собрать  необходимые средства для ведения войны за независимость.                                                      Генерал Вашингтон и его офицеры играли в карты на деньги, рассматривая это как  развлечение, но никак не для заработка денег.  Игры на «Диком Западе» в США были очень опасны. Так однажды Бешеный Билл Хикок  выиграл в покер с набором карт, состоящий из двух восьмерок, дамы и двух тузов и был  застрелен оппонентом. Позже такую комбинацию карт начали называть «Рукой мертвеца».   История азартных игр в России несколько отстает от остального мира и стран­                        .  прародительниц игр наудачу. Так, карточные игры получили распространение в  Российской империи лишь в конце XVI — начале XVII веков, будучи популярными уже более 200 лет в Европе. Однако, несмотря на это, они быстро ворвались в моду у  столичного дворянства и стали важным атрибутом светской жизни, определяющим  6 успешность. За карточным столом завязывались важные знакомства и строились  карьеры, игры являлись одной из любимых форм досуга придворного общества и  служили способом выразить свое почтение. После восхождения на трон царя Алексея Михайловича Романова в 1649 году, игры в  карты приравнивались к серьезному преступлению и грабежу, а игроков полагалось  сажать в тюрьму и конфисковать имущество. Однако, даже опасность серьезных  наказаний не способна была искоренить страсть к азартным играм. Служивые, казаки  стрельцы и прочий люд продрожали развлекаться подобными способами. После смерти царя преследования в отношении азартных игроков смягчились. Уже при Петре I табу на карточные игры было снято. Порицались лишь игры на  большие деньги и в долг. Позднее, в эпоху правления Елизаветы Петровны карточные игры в России разделились на дозволенные и порицаемые, запрещенные (со временем этот список менялся). С  этого моменты дворяне и знать смогли беспрепятственно развлекаться после балов в  своих поместьях, что можно считать началом развития истории азартных игр в карты в  нашей стране. С эпохи правления Екатерины II карточные игры становятся неотделимой частью  русской культуры дворянского сословия. Более того, прослеживается сильная  национальная зависимость к азартным играм. Так, иностранцы, прибывающие при  императорском дворе, отмечали, что карточные игры являются душой всех  удовольствий и развлечений. Азартные игры в 18 веке распространились в рядах царской армии среди бравых  гусаров, гвардейских офицеров и прочих. Дворяне кутили и проигрывали крупные  суммы, некоторые из них становились такими ассами в игре, что попадали в списки  первых шулеров. В культурной России 18 ­19 веков просматривается сильная увлеченность азартными  играми в произведениях классиков: А.С. Пушкин («Пиковая Дама»), Н.В. Гоголь  «Игроки», А.С. Грибоедов, М.Ю. Лермонтов, Лев Толстой и прочие. По словам Пушкина, из смерти или жизни без игры, он бы предпочел первое. Александр Сергеевич был очень увлеченным игроком, и играл достаточно хорошо. Однако, из­за  страсти не мог остановиться и все терял. Однажды во время игры в штос с А.М.  Загряжским ему не хватило средств отыграться. На кон была поставлена новая глава из 7 «Евгения Онегина». Ее поэт так же проиграл, однако со следующей ставкой отыграл  назад, а также сделал прибыль в полторы тысячи. Федор Михайлович Достоевский имел сильную зависимость к игре в рулетку. Однажды он даже проиграл обручальное кольцо своей жены, чем расстроил супругу. Незадолго  до этого он как же сильно проигрался, и чтобы расплатиться с долгами, менее чем за  месяц написал роман «Игрок». Русские дворяне и князья числились в постоянных клиентах в заграничных казино в  Монте­Карло или в немецком Баден­Бадене. В карточные долги не влезал редкий  аристократ, но их уплата всегда была делом чести. Простой народ так же не отставал от знати и предавался азартным играм на постоялых  дворах или в кабаках. В советский период азартные игры всячески искоренялись. Одно время недолго была  дозволительна игра в бридж. Несмотря на запреты, простые граждане во дворах  продолжали играть на мелкие деньги в лото и в покер. Недолгая история развития азартных игр в России в очередной раз показала, что  русские склонны к риску, а ради призрачного шанса готовы дерзнуть многим.           Глава 3. Вероятность азартных игр. Мы узнали историю азартных игр. И, конечно же, очень интересно попробовать совместить  столь разные вещи, как азартные игры и теория вероятности. Ответить на вопрос, можно ли с помощью вероятности стать победителем.      Вероятность события А в науке обозначают символом Р {A}, где Р начальная буква  французского слова Probabilite – вероятность, А – слова Accident – случайность,  происшествие. В общем случае Р {A} =N(A)/N, где N(A) – число случаев,  благоприятствующих событию, а N– общее число всех случаев Если А невозможно, то Р(А) = 0, если же А – достоверное событие, то Р(А)=1.                                                     Пример.  Бросается игральный кубик, какова вероятность того, что выпадет число 4.            Решение. Случайный эксперимент ­ бросание кубика. Элементарное событие ­ число на выпавшей  грани. У кубика 6 граней, выпасть может любая из них, следовательно, N=6. Число 4 может выпасть только в одном случае, т.е. N(A)=1. Тогда P(A)=1/6.                         Теорема  сложения вероятностей: Суммой события А и В называют событие А+В, состоящее в  8 появлении либо только события А, либо только события В, либо и события  А и В  одновременно .     Р{А1 + А2} = Р{А1} + Р{А2}                                                                                                          Пример. В ящике лежат 10 шаров: 4 красных, 1 синий и 5 черных. Наугад вынимается один  шар. Какова вероятность того, что шар красный или синий.                                            Решение. Пусть событие А – вынут красный шар. Р(А)=4/10. Событие В – вынут синий шар. Р(В)=1/10. Тога вероятность того, что вынут шар красный или синий равна  Р(А+В)=4/10+1/10=0,5.                                                                                                             Теорема произведения вероятностей: Произведением событий А и В называется событие  АВ, состоящее в появлении и события А и события В. Р {А1∙А2}= Р {А1}∙ Р {А2}                                                                                                    Пример .Дважды бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что оба раза  выпадет число 5.                                                                                                                            Решение. Пусть событие А ­  1­ый раз выпадет 5, событие В­ 2­ой раз выпадет 5. Р(А)=1/6,  Р(В)=1/6. Тогда Р(АВ)=1/6*1/6=1/36.                                                                                              Иногда в задачах число элементарных исходов бывает так велико, что выписать их все не  представляется возможным. Поэтому применяются формулы из комбинаторики:                   1) Рn=n!­ перестановки из n­ элементов – соединения , которые отличаются друг от друга  только порядком расположения.   Пример: Есть 4 шара разного цвета. Сколькими способами можно вытащить их из урны.        Решение: На первом месте может быть любой из 4­х шаров ­  4 способа для дальнейшего  расположения. На втором месте – любой из 3­х оставшихся, получается 4*3=12 вариантов,  на третьем месте один из двух оставшихся. Вариантов уже 12*2=24 или по формуле Р4=4! =4*3*2*1=24.                                                                                                                             2)  Размещения (порядок важен): А=m!/(m­n)!, где m ­ общее количество элементов, n­  количество отбираемых элементов.                                                                                                3) Сочетания (порядок не важен):  Сm n= m! (m−n)n! , где m­ общее количество элементов,  n­количество отбираемых элементов.                                                                                            Теперь рассмотрим задачи, связанные с азартными играми, где мы можем применить нашу  теорию.                                       9 Задача 1. Из полной колоды карт (52 карты) вынимаются наугад три карты. Найти  вероятность того, что этими картами будут тройка, семерка и туз (“Пиковая дама”, А.С.  Пушкин).                                                                                                                               Решение: Событие А={вынули три карты ­3, 7, туз}. Всего элементарных событий ­ число  сочетаний из 52 по 3:  C52 52! 3!49! = 22100. Число благоприятных исходов события  А: N(A)=4*4*4=64.Вероятность события А: Р(А)=N(A)/N=64/22100=16/5525.                         Задача 2.                                                                                                                                             Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.              Решение.                       =  3 Появление хотя бы одной бубновой карты обозначим – событие А, хотя бы одной  червонной карты – событие В. Нам надо определить вероятность события С = А + В.  События А и В – совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого. Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт.                                       При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной, ни  бубновой карты равна 26/52, при вытаскивании второй карты 25/51, третьей 24/50,  четвертой 23/49.                Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна . Тогда    Вероятность выпадения выигрышных комбинаций при игре в карты.(См. Приложение1)  Лотереи являются популярным развлечением во всем мире. Многие люди хотят испытать                     удачу, делая минимальные вложения, а получая огромные выигрыши. Причин для  подобного риска немало: желание быстро и без усилий разбогатеть, поверить в чудо,  изменить жизнь, весело провести время, получить позитивные эмоции. Рассмотрим  следующие задачи.                 Задача 3. Есть 20 лотерейных билетов среди которых­ 3 выигрышных. Найти вероятность  того, что среди 5 наугад выбранных билетов 2 выигрышных.                             Решение. N­ число всех исходов события ­ выбор 5 билетов из 20 возможных. N= С20 5 =                5!∙15!=16∙17∙18∙19∙20 20! 1∙2∙3∙4∙5 =16∙17∙3∙19 1 =16∙17∙3∙19=15504. N(A)­  число благоприятных исходов­ выбор 2 выигрышных билетов из 3 возможных: N(A)= 10 2= 3! С3 2!∙1!=3 . Р(А)= 3 15504 = 1 5168.  Задача 4.В лотерее разыгрывается 100  билетов. Из них 15  выигрывают по 20000 руб.,25­   по 10000 руб.,60­ по 5000 руб. Мы  приобрели 2 билета. Какова вероятность выиграть не менее 30000 руб.?                                   Решение.  2 = Число всех исходов N(A)=  С100 благоприятных исходов N(A)= 100! 2!∙(100−2)! = 100! 2∙98!= 99∙100 2 С15 2 +С15 1 = 1 ∙С25 15! + 2!∙(15−2)! 15! ∙ 1!∙(15−1)! = 14∙15 2 25! 1!∙(25−1)!                =4950.  Число  +15∙25=480.   Вероятность выигрыша  Р(А)= 4950= 16 480 165 .                                                                            Из года в год в СМИ регулярно появляются сообщения о грандиозных выигрышах в  лотерею. Хоть раз в жизни каждый из нас задумывался о том, как хорошо было бы выиграть крупный куш. Фантазии обычно остаются только фантазиями. И мы так и продолжаем с  интересом слушать сообщения о невероятных удачах других людей. Но вот вопрос: почему бы не попробовать выиграть?   Я решил проверить, как ученики моего 9 «А» класса СФККК относятся к азартным играм.  Для этого я провел небольшое анкетирование: 1) Участвовали Вы или Ваши родственники в какой – либо государственной лотерее?           2) Верите ли Вы в возможность быстрого выигрыша? 3) Верите ли вы в математический расчет выигрыша?    учеников было всего лишь два ответа: «да» или «нет».  У  11 2 вопрос 18% 82% да нет 1 вопрос 33% 67% да нет                                                                                                                                         3 вопрос 33% 67% да нет                                                                                                                                                                         Как мы видим, ответ очевиден: подавляющее большинство готово участвовать в различных  розыгрышах. Более того, верят в быстрый и немалый выигрыш. 12 И тогда у меня возникла идея эксперимента. Я решил провести в классе мини­лотерею.  Участникам необходимо было вычеркнуть 6 чисел из 45. Выигрышными в этой лотерее  являются числа 4,5 и 6. По полученным данным я составил таблицы и гистограммы. (См. Приложение 1) Для анализа возможных комбинаций я использовал абсолютную частоту, которая  показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие,  и относительную частоту (которую иногда называют просто частотой), которая  показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события. Абсолютная частота – это количество событий, интересующих исследователя.  Относительная частота – это абсолютная частота, отнесённая к общему количеству  событий в некотором опыте. Вероятность – это то значение, к которому стремится  относительная частота при бесконечном увеличении числа опытов. 1 эксперимент Исходы Абсолютная  частота Относительная частота  Эксперимент 2  Исходы Абсолютная  частота Относительная частота  Эксперимент 3  Исходы  Абсолютная  частота Относительная частота  Эксперимент 4  Исходы Абсолютная  частота Относительная частота  0 5 1 7 2 2 0.33336 (33,3%) 0,46666 (46,6%) 0,13333 (13,3%) 0 5 1 6 2 2 0.33336 (33,3%) 0,4 (40%) 0,13333 (13,3%) 0 5 1 6 2 3 0.33336 (33,3%) 0,4 (40%) 0,13333 (13,3%) 0 5 1 7 0.33336 (33,3%) 0,46666 (46,6%) 2 0 0 13 3 0 0 3 0 0 3 0 0 3 2 0,13333 (13,3%) 4 0 0 4 1 0,06666 (6,6%) 4 0 0 4 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 6 0 0 6 0 0 6 0 0 6 0 0 Эксперимент 5 Исходы  Абсолютная  частота Относительная частота  Эксперимент 6  Исходы  Абсолютная  частота Относительная частота  0 5 1 5 2 4 0.33336 (33,3%) 0.33336 (33,3%) 0,26666 (26,6%) 0 7 1 4 2 2 3 0 0 3 1 0,46666 (46,6%) 0,26666 (26,6%) 0,13333 (13,3%) 0,06666 (6,6%) 4 0 0 4 0 0 5 0 0 5 0 0 6 0 0 6 0 0 Дальше я рассчитал вероятность выигрыша и продемонстрировал результаты ученикам  моего класса. Пусть  х0,х1,х2,х3,х4,х5,х6  вероятность того, что 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 отмеченных чисел оказались выигрышными. Число всех  исходов (угаданы  все  6 чисел  из  45) равно: С45 6 = 45! 6!(45−6)! = 45∙44∙43∙42∙41∙40 1∙2∙3∙4∙5∙6  =8145060 . 6 С39 ­ количество выборов 6 чисел, не  совпадающих с данными 6 числами: 6 = 39! ¿С39 6!33!=3262623 0 ­ количество выборов 1 числа из  5 1∙С39 С6 6 данных и 5 чисел, не совпадающих с  данными 6 числами: С6 5 =6∙575757=3454542 1∙С39 х0 ­ вероятность того, что 0 отмеченных  чисел оказались выигрышными:               х0= 6 С39 6 ≈0,400565 С45 х1= 5 1∙∙С39 С6 С45 6 ≈0,424127 14 4 2∙С39 С6 ­ количество выборов 2 чисел из  6 данных чисел и 4 чисел, не совпадающих с  данными 6 числами: 2∙С39 С6 3∙С39 С6 из 6 данных чисел и 3 чисел, не  совпадающих с данными 6 числами: 4 =15∙82251=1233765 3 −¿  количество выборов 3 чисел  =20 ∙9139=182780 3 3∙С39 С6 2 4∙С39 С6 количество выборов 4 чисел из 6  данных чисел и 2 чисел, не совпадающих с  данными 6 числами: 4∙С39 С6 2 =¿ 15 ∙741=11115 39−¿1 5∙с¿ количество выборов 5 чисел из 6  С6 данных чисел и 1 числа, не совпадающего с  данными 6 числами: С6 Т.о. вероятность проигрыша равна  1 =6∙39=234 5∙С39 х2= 4 2∙С39 С6 6 ≈0,151474 С45 х3= 3∙С39 3 С6 6 ≈0,022441 С45 х4= С6 4∙С39 2 6 ≈0,001365 С45 х5= С6 5∙С39 1 6 ≈0,0000287 С45   х0+х1+х2+х3≈0,400565+0,424127+0,151474+0,022441=0,998607 Вероятность самого большого выигрыша: х6≈0,0000001227=0,1227∙10−6 Вероятность самого маленького выигрыша  х4≈0,001365=0,1365∙10−2 . . Произведенные расчеты, наглядно показали моим одноклассникам насколько мала,  вероятность выигрыша. Еще меньше вероятность выигрыша в лото 7 из 49:  х7= 1 85900584 . Еще одна гос. лотерея «Русское лото», в которой имеется 90 бочонков, а в билете  зачеркивается 30 номеров. По правилам лотереи, джекпот выигрывает билет, если на 15  ходу все 15 чисел окажутся в билете. Получается лотерея 15 из 90. Количество таких  комбинаций равно: 15 15= С90 90! 15!(90−15)! =457956739644608000. Продолжаем исследования. Проведем очередное анкетирование среди не только  учеников, но и взрослых (учителя, родители). Блиц ­ опрос: бросаем монету, например, 10  раз. Какова вероятность того, что 5 раз выпадет орел и 5 раз решка (см. Телеканал  «Пятница» передача «Орел или решка»). И данный блиц ­ опрос подтвердил очень простой, ≈ но   очень интересный математический парадокс  (1 2 ) 10! 5!·5!  ∙  Р10  (5) = C 5 10  ∙  10 (1 2 ) 10 (1 2 ) =  252 210  =   50%.  10  = 7 ∙ 9 ∙ 4 ∙    ≈ 0,24 = 24% Казалось бы, при увеличении числа бросков шансы приблизиться к заветным 50%  увеличиваются. Но проведем очередные вычисления: Р1000  (500) = C 500 1000  ∙  1000 (1 2 ) =  1000! 500!·500!  ∙  1000 (1 2 )  = 0,02= 2% Какой напрашивается вывод ­ чем больше ставок мы делаем, тем меньше наш шанс на выигрыш!!! «Двадцать одно». В настоящее время невозможно установить кто придумал эту игру. Некоторые считают,  эту игру создали в Италии, где Монах Бернард в своих выступлениях рассказывал о  правилах игры, где за 3 хода нужно было набрать 31 очко. Так же игра блэкджек, которая  сильно напоминает «21», пользуется популярностью во Европе по сей день. Но правила,  которые используются в современной игре «21» появились только в СССР. Тогда  невозможно было достать колоду из 52 элементов, поэтому советские люди несколько  упростили игру: 2 считали за вальта, 3 за даму, 4 за короля.  Я буду рассматривать игру «21» с 36 картами. Правила. Правила предельно просты. Вам сначала раздают по две карты. Если считаете, что после  того, как вы возьмете еще одну карту и не случится перебор, то заявляете это человеку,  который раздает карты.  Если количество очков превышает 21­ это автоматически  проигрыш, кроме нескольких комбинаций, которые обговаривают перед игрой. Количество  “прикупов” (добор карт) не учитывается. Номинал карт: 6 – шесть очков 7 – семь очков 16 8 – восемь очков 9 – девять очков 10 – десять очков валет – 2 очка дама – 3 очка король – 4 очка туз – 11 очков (иногда присваивают 1 очко, но я буду рассматривать как 11)  Если вам по чистой случайности выпадает два туза, то вы автоматически становитесь  победителем, несмотря на то, что количество очков превышает 21 Итак, рассмотрим какова вероятность выигрыша в игру «21». С помощью классической формулы теории вероятностей (Р(А)=  N(A) N ) , я рассчитал  процент выигрыша, после того как игроку дали две карты: Рассмотрим случай, когда, например, достались две карты с общей суммой очков 15: Известно, что в колоде 36 карт. После того, как нам дали, например, туз и король, в колоде осталось 34 карты. Из этого выходит, что  мы использовали 1 туз и 1 король из четырех возможных (зачеркиваем их). Прибавить еще  туз, 10, 9, 8, 7 мы не можем, значит тоже их зачеркиваем. Остается 15 карт с  благоприятным для нас номиналом может выпасть из 34 соответственно.  В В В В Д Д Д Д  К К К К  6 6 6 6  7 7 7 7  8 8 8 8  9 9 9 9  10 10 10 10  Т Т Т Т  р ¿ 15 34   ≈  44% вероятность выигрыша, если взять еще одну карту. С помощью этой формулы я рассчитал процент проигрыша, если взять еще одну карту для  всех суммарных очков двух карт. У меня вышла таблица:  Кол­во  очков Всевозможные комбинации До 10 В­В,В­Д,В­К,Д­К,6­В,6­Д,6­К,7­В,7­ 11 12 13 14 15 16 Д,8­В 7­К, 8­Д, 9­В 6­6, 8­К, 9­Д, 10­В 6­7,9­К,10­Д,Т­В 6­8,7­7,10­К,Т­Д Т­К,6­9,8­7 6­10,8­8,9­7 17 Процент  проигрыша,  если взять еще  одну карту. 0 ≈12 ≈23 29≈ 41≈ 56≈ 60≈ Процент  выигрыша,  если взять еще  одну карту. 100 ≈82 77≈ 71≈ 59≈ 44≈ 40≈ 17 18 19 20 21 (В­валет; Д­дама; К­король; Т­туз) Т­8,10­9 Т­9,10­10 10­7,9­8,Т­6 10­8,Т­7,9­9 Т­10 69≈ 71≈ 82≈ 94≈ 100 31≈ 29≈ 18≈ 6≈ 0 Многие профессиональные игроки считают, что уже после набора 17 очков прикуп (добор  еще одной карты) нежелателен. Только 3 из 10 человек набирали до 21 очков в этом случае. Я, как небезызвестный литературный герой, решил провести сеанс одновременной игры и  провести эксперимент ­ сыграть с моими одноклассниками в игру «двадцать одно»  (исключительно в научных целях). При этом я использовал свою составленную таблицу.  Т.е. у меня была своя стратегия. Я не сомневался в выигрыше. Я сыграл 5 игр по 5 партий в каждой. Результаты эксперимента представлены в таблицах и диаграммах (См.  Приложение 2) 1 игра. Я Оппонент Т;8                        (19) 7;Д;7                     (17) 10;8                      (18) В;9;В;8                 (21) 2;10;10                 (22) Т;10                      (21) К;Т;8                   (23) 6;В;Д;9                 (20) 8;К;5                    (17) 7;7;2;8                  (24) В 1 партии я выигрывал в 40% от всех игр. Оппонент выиграл в 60% от всех игр. 2 игра. Я Оппонент 8;Д;8                      (19) В;Т;К                      (17) 7;В;Д;6                 (18) 9;Д;8                     (20) 6;7;В;Т                  (25) 7;К;10                   (21) 6;Т                        (17) Д;6;7;Д                  (16) К;9;6                   (20) К;10;Д                   (17) Во 2 партии я выигрывал в    60% от всех игр. Оппонент выиграл в 40% от всех игр. 18 3 игра. Я Оппонент 8;10                          (18) 7;Т                            (18) К;Т;К                      (19) 8;9                             (17) 7;10                       (17) Т;8                            (19) В;9;Д;9              (23) Т;Д;К                 (18) 7;9;10                  (26) 10;7                        (17) В 3 партии я выигрывал в 40% от всех игр. Оппонент выиграл в 20% от всех игр. 4 игра. Я Оппонент Д;7;8                        (18) 9;7;9                       (25) 9;7;Т                         (27) 7;8;В                         (17) Т;Д;6                         (20) Д;9;2;7                     (21) В;10;6                       (18) 8;Т                           (19) 2;3;7;10                     (22) 7;10                         (17) В 4 партии я выигрывал в 20% от всех игр. Оппонент выиграл в 60% от всех игр. 5 игра.  Я Оппонент Т;В;8                         (21) 8;6;К                        (20) 10;9                           (19) 10;6;8                         (24) К;К;9                         (17) В;Д;В;9;К                  (20) Т;10                           (21) 6;В;8;Д                      (19) Д;6;8                          (17) Т;Д;6                          (20) 19 В 5 партии я выигрывал в 60% от всех игр. Оппонент выиграл в 40% от всех игр.              Из полученных данных видно, что моя стратегия не даёт гарантии на точную победу.         Таким образом, в ходе всех экспериментов я лишний убедился сам и доказал своим  одноклассникам, что никаких 100% стратегий не существует. Суть всех стратегий в том,  чтобы или как можно меньше рисковать деньгами, или как можно больше выигрывать. В  основном все стратегии основаны на разных видах увеличения ставки при проигрыше или  выигрыше. Но это просто уловка, для того чтобы дольше удержать игрока в игре. Не  выиграл, но и последнее не проиграл. Использовать азартные игры для развлечения ­ кто  против! Но заработать тут ничего невозможно. Реклама различных беспроигрышных  лотерей и безумных выигрышей играет лишь на наших эмоциях, заставляя поверить в  обратное.  Поиск системы всегда является анализом результатов прошлых игр, нам хочется выявить  некоторую закономерность. Но нужно понять только одно ­  каждое падение монеты,  каждый набор карт, каждое вычеркивание чисел является самым первым, и каждый раз  игра начинается заново с нуля!!! Используя официальные данные, мы можем просчитать процент возврата лотереи.  На  официальном сайте русского лото (http://www.stoloto.ru/ruslotto/archive), можно найти  интересные данные. Например, по результатам тиража №1174 от 9 апреля 2017г наглядно  видно, сколько на нас зарабатывают денег. Продано билетов 1.211.342. на сумму 60.472.200 рублей. Выиграло билетов 253.117, призовой фонд составил 33.600.320. рублей.  Следовательно, чистая прибыль 26.871.880. рублей. И это только один тираж. Гослото по формуле 5 из 36 (http://www.stoloto.ru/5x36). В  соответствии с данными  результатов тиража № 1336 сделано 180 777 ставок на сумму 7 231 080 рублей. По итогам  тиража сумма выигрышей составила 2 110 040 руб.(7 231080­ 2 110 040=5 121 040) Возврат составляет  порядка 34%. Около 2,3 млн. руб. перешло в джек­пот. Прибыль гослото за  тираж составила примерно 2,8 млн. руб. Получается, что гослото, а точнее сказать  коммерческая фирма,30% выручки оставляет себе.  На официальном сайте золотого ключа (https://www.inetlot.ru), можно найти те же данные  что и в русском лото. По результатам тиража №879 видно, что: продано билетов 1.252.815  на сумму 62 640 750.Выиграло билетов 234695. Призовой фонд 35.842.255. Компания  заработала 26 798 495 руб.. За один тираж!   Заключение.   Изучая тему «теории вероятности в жизни», я понял, что это огромный раздел  20 науки математики. И изучить его в один заход невозможно. В своей работе я научился  применять формулы комбинаторики и теории вероятностей для расчета вероятностей  выигрыша в лотереях. Мне очень понравилось заниматься расчетами с помощью  комбинаторики и теории вероятностей. И данные расчеты показали, как мала вероятность  выигрыша в лотерею.  Я надеюсь, что у моих одноклассников все­таки возник вопрос:  «играть или не играть?». И еще я считаю, что лотереи – это азартные игры, а азартные игры  ни  к чему хорошему никогда не приводят. Можно дойти до крайности и обречь себя и  свою семью на бедность в поиске удачи в выигрышах в лотереи. Шансы выиграть крупную  сумму очень малы, но это может понять лишь эрудированный человек. Знайте  и помните,  что организаторы в первую очередь используют психологический подход к тем людям,  которые зависят от азартных игр, и таким образом зарабатывают на них деньги. Всё это  говорит о том, что лотереи являются совсем не развлечением, а лишь способом заработать  деньги, играя на слабости людей к азарту, что подтверждается как историческими  фактами, так и данными проведенного исследования. Кроме того, для того чтобы снизить  вероятность выигрыша или уменьшить сумму выигрыша, организаторы лотерей  придумывают различные дополнения к правилам. Например, очень крупный выигрыш  разыгрывается не каждый раз, а через определенные промежутки времени, иногда выигрыш  делят на количество победителей поровну. Также выигрыш может уменьшаться в  зависимости от времени, то есть первый выигрышный билет получает максимальный приз, а далее с увеличением количества билетов сумма приза уменьшается. Организаторы могут  ограничить тираж, рассчитывая, в каком случае вероятность будет минимальной.  Азартные игры были и, наверное, будут во все времена. Манит и привлекает азартная игра  быстрым обогащением, возможностью крупного выигрыша. Но, как мы видим, вероятность  выигрыша очень мала. Таким образом, нужно научиться принимать решения, которые  могут повысить вероятность выполнения наших желаний и стремлений. 21 Литература. 1.  Мордкович А. Г., Семенов П. В. Алгебра и начала анализа. 11 класс, М.:  Мнемозина, 2015г. ; 2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2006 г.; 3.  Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие  для вузов. М: Высшая школа, 1998 г.;  4. http://vseloterei.com/vazhnoe­o­lotereyakh/istoriya­loterej/istoriya­loterej.html 5. http://www.stoloto.ru/ruslotto/archive 6. https://www.interlot.ru 7. http://www.stoloto.ru/6x49 8. http://www.lottoshka.ru 9. Колмогоров А. Н. Математика и естествознание в СССР. М. ­ Л.: ГОНТИ, 1938, с.51­61. 10. Гнеденко Б.В., Журбенко И.Г. Теория вероятностей и комбинаторика//Математика в школе. ­ 2007. ­ №7. ­ С.61­69. 11. Модель Д.Л. Треугольник Паскаля и элементы комбинаторики в школьном курсе математики// Математика в школе. ­ 2008. ­ №4. ­ С.43­50. 12. Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и статистика. – М.:МЦНМО: Московские учебники, 2004 13. Подробно   об   истории   развития   теории   вероятностей.URL: http://verojatnost.pavlovkashkola.edusite.ru/p8aa1.html 14. Теория вероятностей. История развития. URL: http://phizmat.org.ua/2009­04­24­19­ 11­27/250­2010­05­22­19­12­15 15. Небольшой экскурс в историю применения теории вероятности на практике.  URL:http://bioinformatics.ru/Misc/terver_history.html 22 50.00% 45.00% 40.00% 35.00% 30.00% 25.00% 20.00% 15.00% 10.00% 5.00% 0.00% относительная частота Приложение 1 . 1 эксперимент 8 7 6 5 4 3 2 1 0 абсолютная частота 2 эксперимент 23 7 6 5 4 3 2 1 0 абсолютная частота 45.00% 40.00% 35.00% 30.00% 25.00% 20.00% 15.00% 10.00% 5.00% 0.00% относительная частота 3 эксперимент 7 6 5 4 3 2 1 0 45.00% 40.00% 35.00% 30.00% 25.00% 20.00% 15.00% 10.00% 5.00% 0.00% относительная частота абсолютная частота 4 эксперимент 50.00% 45.00% 40.00% 35.00% 30.00% 25.00% 20.00% 15.00% 10.00% 5.00% 0.00% относительная частота 8 7 6 5 4 3 2 1 0 абсолютная частота 5 эксперимент 24 6 5 4 3 2 1 0 абсолютная частота 6 эксперимент 8 7 6 5 4 3 2 1 0 абсолютная частота Приложение 2. 35.00% 30.00% 25.00% 20.00% 15.00% 10.00% 5.00% 0.00% относительная частота 50.00% 45.00% 40.00% 35.00% 30.00% 25.00% 20.00% 15.00% 10.00% 5.00% 0.00% относительная частота 25 Я 2 Я 2 Я 2 Я 2 1 1 2 игра. 1 1 4 игра. Оппонент 3 4 5 Оппонент 3 4 5 1 игра. Оппонент 3 4 5 Оппонент 3 4 5 3 игра. 5 игра. 26 Я 2 1 Оппонент 3 4 5                                                                                                                             Аннотация. Вероятность события в жизни не так уж часто считается по формулам, скорее  интуитивно. Но проверить совпадает ли «эмпирический анализ» с математическим, иногда  очень увлекательно. натуре человек— это борец. Мы всегда искали и будем искать моменты борьбы,  По своей  волнующие кровь. И одним из способов достижения этого являются азартные игры. Когда  учеников моего класса попросили ответить на вопрос: каково ваше отношение к азартным  играм как к возможности реального обогащения (пусть и не очень быстрого)? подавляющее большинство утвердительно ответили на этот вопрос. Это и определило тему и цель моего  реферата: вывести математические закономерности и рассчитать вероятность выигрыша в  азартных играх. Но самые простые расчеты выигрыша в азартных играх показывают, как  27 мала вероятность удачи.  Результат выигрыша в любой азартной игре абсолютно  случаен и именно поэтому здесь работает теория вероятности. Именно эта наука  затягивает игроков в игру так, что они верят в свой выигрыш. Вечная утопия: если на  игровом автомате долго никто не выигрывал значит он скоро должен начать выдавать  монеты. Закореневшие игроки бросают в него фишки и монеты, а выиграть может случайно зашедший новичок. Азартные игры были и, наверное, будут во все времена. Манит и  привлекает азартная игра быстрым обогащением, возможностью крупного выигрыша. Но  вероятность выигрыша очень мала и это подтверждают приведенные в реферате расчеты  выигрыша в лотерею, разработка стратегии выигрыша в одну из азартных игр, анализ  парадоксов теории вероятностей.    28