Предлагаемый материал представляет собор подборку наиболее типичных тренировочных заданий для подготовки к участию в предметной олимпиаде. Задания могут быть также использованы и на урока по предмету для закрепления знаний по соответствующей теме. Для всех заданий даны подробные решения. Также указана система оценки выполненной работы.
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ШКОЛЬНОГО ТУРА
ПРЕДМЕТНОЙ ОЛИМПИАДЫ.
МАТЕМАТИКА. 9 КЛАСС.
Время выполнения работы – 2,5 часа.
Максимальное количество баллов – 30.
1. Магазин купил у фирмы 22 холодильника по одинаковой цене. Сколько
холодильников смог бы купить магазин у этой фирмы на эту же сумму денег,
если бы она снизила цену на холодильники на 12 %?
5 баллов
2. Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше, чем доля
блондинов среди всех людей. Что больше – доля голубоглазых среди
блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?
5 баллов
3. Построить график уравнения:
2х2 + 4х +2у2 – 4у – 5(х + 1)(у – 1) + 4 = 0.
7 баллов
4. Доказать, что уравнение (х – а) (х – b) + (х – b) (х – с) + (х – с) ∙
∙ (х – а) = 0 имеет действительные корни при любых действительных числах а,
b, с.
6 баллов
5. Катеты треугольника равны 3 см и 4 см. Через середину меньшего катета
и середину гипотенузы проведена окружность, причем гипотенуза касается
окружности. Найти площадь равностороннего треугольника, вписанного в эту
окружность.
7 баллов
1. Пусть х – цена 1го холодильника, у – затраченная сумма на всю
Ответы и указания
покупку, тогда
сможет купить
y
x
y
88,0
22
x
. 0,88х стоит холодильник после уценки, то магазин
22
88,0
25
холодильников.
2. Пусть А – число блондинов, В – число голубоглазых людей, М – число
A
N
голубоглазых блондинов, N – число всех людей. По условию,
M
B
.
B
Умножим обе части неравенства на A
, то
M
A
B
N
.
О т в е т: доля голубоглазых среди блондинов больше, чем их доля среди
всего населения.3. Преобразовать уравнение к виду 2у2 – (5х + 9)у + 2х2 + 9х + 9 = 0.
Решить уравнение относительно у.
x
y
3
2
.
О т в е т: график уравнения состоит из двух прямых у = 2х +3 и
4. Доказать, что D 0 при любых а, b, с.
D = 4 ∙ (a + b +c)2 – 12 ∙ (ab + bc + ac) =
= 2 ∙ (2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ac) =
= 2 ∙ [(a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc +c2) + (a2 – 2ac + c2)] =
= 2 ∙ [(a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2] 0.
при любых а, b, с.
5.
Е
А
В
F
С
D
Е
М
О
К
Р
D
Известно, что АС = 4, ВС = 3.
1) Доказать, что EFD = 90.
2) Доказать, что ED – диаметр окружности.
ED
AC
3) Доказать, что EBD CBA, тогда
PE
60
sin
ED
EM
PE
OE
OE
5
3
1
2
4)
BE
CB
10ED
3
,
.
3
2
5
2
;
;
5
3
.
25
О т в е т: 12
3
см2.