Творческая работа. "Расстояния в пространстве"

Министерство образования Саратовской области Саратовский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования Кафедра математического образования Расстояния в пространстве (расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми).   Творческая работа  слушателя курсов повышения квалификации  по рабочей программе  «Теория и методика преподавания математики» направления ДПОП «Теория и методика преподавания учебных дисциплин» учителя математики МБОУ «СОШ №18» г. Энгельса Пастуховой Натальи Алексеевны Саратов 2012 Содержание Введение ……………………………………………………………………3 Глава 1. Анализ изложения темы «Расстояния в пространстве  (расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости,  расстояние между прямыми)» в учебно – методической литературе…..4 Глава 2. Методическая разработка 2.1 Расстояние от точки до прямой ……………………………………… 6 2.2 Расстояние от точки до плоскости ……………………………………13 2.3 Расстояние между скрещивающимися прямыми …………………….19 Заключение ………………………………………………………………….28 Список используемой литературы …………………………………………29 Приложения ………………………………………………………………….30 Введение. Тема стереометрии «Расстояния в пространстве (расстояние от точки до  прямой, расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми)»  становится особенно важной при изучении в общеобразовательной школе в  связи с включением заданий по нахождению расстояний в пространстве в часть «С» вариантов ЕГЭ.  Эта одна из трудных тем геометрии, она является развитием системы всех знаний, умений и навыков курсов планиметрии и стереометрии; углубляет и  расширяет курс геометрии и показывает практическое применение  геометрических знаний  на геометрических объектах.  Одной из самых важных задач преподавания геометрии является  формирование пространственных представлений, а также способности и  умения проводить операции над пространственными объектами. Достижение  этой цели важно не только для тех учащихся, которые в дальнейшем посвятят  себя техническим профессиям, но и для специальности художника, дизайнера,  модельера, хирурга, астронома и других.  Систематическая работа над  формированием и развитием пространственного мышления предусматривает   организации учебного процесса с применением методов геометрической  наглядности: умением читать и строить геометрические чертежи,  умение  решать пространственные задачи. Это предполагает также овладение  геометрическим языком и символикой через овладение теоретическим  материалом,  связанным с введением новых понятий, определений, методов  решения задач.  Данная тема в курсе средней школы не рассматривается как единый курс,  а рассматривается на различных этапах изучения различных тем геометрии,  при решении различных задач.  Цель данной творческой работы:   систематизация знаний по решению задач на нахождение расстояний в  пространстве методами, изучаемыми в  средней школе, а также методами  решения, которым в школе по тем или иным причинам не уделяется должное  внимание.  Задачи: рассмотреть теоретический материал, различные методы и приемы,   применяемые при решении задач на нахождение расстояний в пространстве; привести примеры решения разобранных задач, взятых из различных  источников, и решение некоторых задач из вариантов ЕГЭ. Глава 1.  Анализ изложения темы «Расстояния в пространстве (расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми)» в учебно – методической литературе. 3 В процессе изучения  теоретико­методических аспектов данной темы в  школьном курсе математики были проанализированы учебник «Геометрия, 10­ 11» Л.С. Атанасяна для общеобразовательных классов и учебное пособие из 2­ х частей для классов с углубленным и профильным изучением математики  «Геометрия, 10», «Геометрия, 11» Е.В. Потоскуева, Л.И. Звавича.  Знакомство с понятием расстояния от точки до прямой, расстоянием  между параллельными прямыми  в пространстве в «Геометрии, 10­11» Л.С.  Атанасяна дается как перенос, соответствующих определений из планиметрии  в стереометрию, и встречается только при решении задач по нахождению этих  расстояний. При изучении темы «Перпендикулярность прямых и плоскостей»  вводится понятие расстояния от точки до плоскости, расстояния между  прямой и параллельной ей плоскостью, расстояния между параллельными  плоскостями и расстояния между скрещивающимися прямыми и  рассматриваются задачи решаемые поэтапно­ вычислительным методом. При  изучении темы «Метод координат в пространстве» рассматриваются  несколько задач по нахождению расстояний в пространстве векторно­ координатным методом.  В учебном пособии «Геометрия, 10», «Геометрия, 11» Е.В. Потоскуева,  Л.И. Звавича рассматривается глава «Расстояния в пространстве», в которой  даются все определения расстояний в пространстве, рассматриваются  различные поэтапно­вычислительные методы решения задач, в том числе и  нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми с использованием  ортогонального проектирования. В главе «Векторный метод в пространстве»  рассматривается применение этого метода к решению задач на нахождение  расстояний в пространстве. Но в данных учебных пособиях не приводится классификация методов  решения задач на нахождение расстояний в пространстве.  Данная  классификация приводится  в монографии «Многогранники:  виды задач и методы их решения» А.Г. Корянова, А.А. Прокофьева. В ней  рассмотрены 3 основных метода решения задач этого типа: поэтапно­ вычислительный, векторный, координатный; а также векторно­координатный,  метод опорных задач, метод ортогонального проектирования, метод площадей. В данном пособии рассмотрены различные типы задач на нахождение  расстояний в пространстве.  В пособии для учащихся образовательных учреждений «Геометрия.  Готовимся к ЕГЭ» В.Н. Литвиненко, О.А. Батугиной задачи на вычисления  расстояний объединены в самостоятельные циклы по искомым величинам и  рассмотрены задачи из вариантов ЕГЭ, решаемые поэтапно­вычислительным  методом.                                                     4 В методическом пособии «Практическая геометрия. Комбинация  геометрических тел» Л.С. Сагателовой, В.Н. Студенецкой объемно рассмотрен материал по решению задач  на нахождение расстояний между  скрещивающимися прямыми  методом ортогонального проектирования.  В данной творческой работе указывается источник, из которого взят  теоретический материал и разобранные задачи.   Для формирования пространственных представлений очень важно умение  решать задачи по готовым чертежам. В практикуме для учащихся  общеобразовательных учреждений «Задачи на готовых чертежах» А.И.  Ореховой предлагаются при изучении тем: «Перпендикулярность прямых в  пространстве», «Перпендикулярность плоскостей» задачи важные для  формирования навыков решения задач  на нахождение расстояний в  пространстве. Некоторые из этих задач приводятся в ПРИЛОЖЕНИИ. Глава 2. Методическая разработка. 5 2.1. Расстояние от точки до прямой. Определения: Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина  отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине  отрезка их общего перпендикуляра. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию  от любой точки одной из этих прямых до другой прямой. Поэтапно­вычислительный метод. Расстояние от точки до прямой можно вычислить, как длину отрезка  перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый  треугольник в качестве одной из высот. (см. рис. 1).    1 Вычисление расстояния, например, от точки Т до прямой р можно вести  по следующему плану:  1) Выберем на прямой р какие–нибудь две  точки,              например точки U и V, и соединим их с точкой Т.  2) Найдем стороны треугольника TUV.  3) Найдем высоту TH треугольника TUV.                                Рис.1 Высота TH является искомым расстоянием. Если в треугольнике TUV  TU TH = TV,  то  вычисления высоты TH треугольника TUV в случае, когда  UH    где  2 UV UV TU  ,2  .  Рассмотрим три способа  TU    TV 1 2 Способ 1. Выражая  TU получаем равенство  2 2TH  из прямоугольных треугольников TUH и TVH,     (1)   UH VH TV  .2  2 2  Пусть для определенности UH < VH.  Тогда в равенстве (1) сделаем  2   2 .) VH UH ( UV замену   из которого найдем VH. Затем найдем   Способ 2. Выразим площадь треугольника TUV, используя формулы  и   Получим уравнение  TV ( UV 2 VH .2 cpbpapp VH TU TH TV   )( )( .) S   )     ( 2 2 2  ,2 VH   S 1 2 ah      )( ah cpbpapp (   из которого можно найти нужную высоту h  треугольника. Этот способ особенно удобен, когда в треугольнике TUV угол  UTV равен 900. Тогда   и, следовательно,  TH  TV UV TU   )( ,) S S ,  1 2  Получим уравнение   1 2 TH  и    TV UV TU  1 2 .         6 UV  TH TU ,TV  откуда  2 2 2    TV TU UV 2 TU  UV Способ 3. Применим к треугольнику TUV теорему косинусов, согласно    откуда можно найти              которой  cosTUV, Затем, зная cosTUV , можно найти sinTUV:   1 и далее высоту TH как катет прямоугольного треугольника TUH: TH  TU Пример 1.  На ребре АА1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Р – середина этого ребра.  sin TUV   . 1  cos TUV TUV sin , cos 2 TUV ,   Считая ребро куба равным а, найдите расстояние от точки Р до прямой: а)  B1D; б) B1Q, точка Q которой является серединой ребра CD; в) В1С2, точка С2  которой взята на прямой СС1 таким образом, что точка С1 лежит между  точками С и С2 и  CC  CC 1   . 2 Решение. а) (см. рис 2). Выберем на прямой B1D две какие­нибудь точки, например  точки В1 и D. Соединим их с точкой Р. Найдем стороны треугольника РB1D. Из прямоугольного треугольника B1C1D имеем  DB Из прямоугольного треугольника РА1B1 имеем 2 CB 1 DC 2 2 a    .3   a a   1 2 2 1 1 3 2 PB 1  2 PA 1  2 BA 1 1  2 a 4 2  a a 5 2   . Рис.2 Затем из прямоугольного треугольника РАD находим, что  PD  5a 2  Таким  . образом, треугольник РB1D – равнобедренный, т.е. его высота PH совпадает с  медианой. Значит,   Тогда  HB   3 a BD 1 . 1 PH  2 PB 1  2 HB 1  1 2 2 5 a 4 2 a  2 . 2  2 3 a 4 б) (см. рис. 3)  Возьмем на прямой  B1Q две точки,  например точки B1 и Q. Соединим их с точкой Р.  Найдем стороны треугольника Р B1Q.  PB 1  a 5 2 , QB 1  3 a 2 , PQ  то  2 PB 1  2 HB 1  PQ 2  QH 2 , a 6 2 a 5 4  Тогда если  . PH  1QB ,   2  2 HB 1  6 2  QH 2 . (2)                   Рис.3 a 4   Вычисления показали, что PB1 < PQ, тогда и B1H < QH.  Поэтому в равенстве  (2) сделаем замену  HB QB QH 2 .)   (   2 1 1  Получим уравнение  5 Тогда  PH  2 PQ  QH 2 7 a 4 a 2 a 4 2 2    3  2  6 a 4 5a QH  6   QH 2 2 ,  6 QH 2    25 a 36  нетрудно найти  отношение  29 6  .  из которого находим  QH  5a 6 .   , Замечание.  Зная, что  QH : QB1 = 5 : 9  и с помощью вспомогательного луча l построить точку   H',  затем построить точку H а затем и высоту PH.  в)  (см. рис. 4)   Соединим точки В1 и С2 прямой В1С2 с точкой Р и найдем стороны треугольника РВ1С2 . Находим, что  прямоугольного треугольника РD2С2 (точка D2 – середина ребра DD1 )  PC  и, например, из   Тогда если  PH  1CB PB 1 CD CB ,2     .3   2 5 2 5 a a a   , 2 1 2 DP 2 2 2 2 2 2 2  2 2 a a 2 5 a 4 , 2 1 2 2   2 2  PC PH HB то   (3)   Вычисления показали, что PB1 < PC2.  Тогда B1H < C2H.  Поэтому в равенстве  (3) сделаем замену  3 a HC HC HB   . 2 2 2 2 1 2   HB 1 2 HC 2  a 5 2 2   3  a 2  HC 2 2 ,  откуда находим HC 2  , PH  PC 2 2  HC 2 2 a  30 5 .                                Рис.4     a 3 5 Замечание. Так как  HC  2 3 a 5 ,  то отношение  BCHC : 2 1 2 .5:6  Зная, это  а ) а 2 2 ; отношение, нетрудно построить высоту PH.                   Ответ:  б ) а а в ) Пример 2.   1   Диагональным сечением правильной пирамиды MABCD  является равносторонний треугольник. На ребрах МВ и МС  взяты точки В1 и С1 – середины этих ребер. Считая сторону  основания пирамиды равной а, найдем расстояние от точки  С1 до прямой B1D (см. рис. 5). 29 6 30 5 ; . . Решение. Выберем на прямой B1D какие­нибудь две точки, например  точки B1 и D. Соединим их с точкой С1. Найдем стороны  треугольника С1 B1D. Для этого заметим, что по условию                  Рис.5 МС = АС. Но АС – это диагональ квадрата, сторона которого равна а. Тогда AC  Таким образом, в треугольнике МСD известны все стороны:  MC ,2   .2 a a 8 , a .2    MD MCa  Найдем медиану DС1 этого треугольника. Сделаем это,  CD воспользовавшись теоремой о сумме квадратов диагоналей параллелограмма  (параллелограмм образуется, если в плоскости МСD продолжить отрезок DС1 за  точку С1 на расстояние, равное DС1, и полученную точку соединить с точками М  и С):  2  2 2  2 ) (2 2( CD MC MD DC 1 . a Найдем теперь DВ1. Так как отрезок DВ1 – медиана равностороннего  треугольника МDВ, то  С1В1D известны все стороны. Тогда, если C1H ­ его высота, то BD 2 BC 1 DC 1 DB 1 DB 1 4); a 2 (2    ), 2 DC 1 2 2 a a a 2 6 3 a ; ,  2  2  2  1   Итак, в треугольнике  . 2 BC 1 1  2 HB 1  DC 1 2  DH 2 ;  2 HB 1 2  a DH 2 .     (1) 2 a 4 Вычисления показали, что  C1B1