Творческая работа. "Расстояния в пространстве"

Расстояния в пространстве ( расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми). Подготовила учитель математики МБОУ  «СОШ №18» г. Энгельса  Пастухова Наталья Алексеевна

Цели и задачи:  Цель :    систематизировать знания по решению задач на  нахождение расстояний в пространстве методами,  изучаемыми в  средней школе, а также методами,  которым в школе по тем или иным причинам не  уделяется должное внимание.   Задачи:   рассмотреть теоретический материал, различные  методы и приемы,  применяемые при решении задач  на нахождение расстояний в пространстве;  привести примеры решения задач, взятых из  различных источников, и задач из вариантов ЕГЭ.

Расстояние от точки до прямой.  Определения:  Расстояние от точки до прямой, не содержащей  эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра,  проведенного из этой точки на прямую.  Расстояние между двумя параллельными  прямыми равно длине отрезка их общего  перпендикуляра.  Расстояние между двумя параллельными  прямыми равно расстоянию от любой точки  одной из этих прямых до другой прямой.

Поэтапно-вычислительный метод.    Расстояние от точки до прямой можно  вычислить, как длину отрезка  перпендикуляра, если удается включить  этот отрезок в некоторый треугольник в  качестве одной из высот.

Пример 1.  В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 на диагоналях  граней AD1  и  D1B1  взяты точки  E и F так, что  ED FDAD   BD 11 . ; 1 1      Найдите расстояние от точки до D1 прямой EF. 1 1 3 2 3

Координатный метод.  Вводят декартову  систему координат, начало  координат совмещают с одной из вершин, оси,  выходящие из этой вершины, направлены вдоль  ребер многогранника, и проводят все  вычисления в координатной форме.   Пример 2.  В единичном кубе ABCDA1B1C1D1   найти расстояние от точки D1 до прямой  PQ, где   P и Q – середины соответственно ребер A1B1 и  BC.

Векторный метод.  Обычно при решении задач, в которых рассматривается  призма или пирамида, в качестве базисных векторов  выбирают какую либо тройку векторов,  выходящих из  одной вершины и направленных вдоль ребер  многогранника.   Пример 3.  В единичном кубе ABCDA1B1C1D1  найти  расстояние от точки D1 до прямой  PQ, где  P и Q –  середины соответственно ребер A1B1 и BC.  ,    Решение.   cAAbBAaDA , 1 Пусть                                     a b ca cb  тогда  ,  c   ba  0 ,1

Расстояние от точки до плоскости.  Определения:  Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту  точку, есть длина отрезка перпендикуляра,  опущенного из этой точки на плоскость.  Расстояние между прямой и параллельной ей  плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.  Расстояние между прямой и параллельной ей  плоскостью равно расстоянию от любой точки этой  прямой до плоскости.  Расстояние между двумя параллельными  плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.  Расстояние между двумя параллельными  плоскостями равно расстоянию между точкой одной  из этих плоскостей и другой плоскостью.

Поэтапно- вычислительный метод.  можно найти  α Расстояние от точки Т до плоскости  руководствуясь следующим планом: (см. рис. 208)  α Выберем в плоскости  точки Т опустим перпендикуляр TR на эту прямую; α q  ;p В плоскости  Найдем расстояние от точки Т до прямой q. Это TH  ­расстояние от точки Т до плоскости    какую­нибудь прямую  р и из   через точку  R проведем прямую  . α      

Расстояние между скрещивающимися прямыми.  Определение.  Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми  равно длине отрезка их общего перпендикуляра.    Так, если отрезок TH перпендикулярен скрещивающимся  прямым p и q , то этот отрезок – общий перпендикуляр  прямых p и q.  β  через точку  . β  1) На прямой q выберем точку R. Через прямую p   и точку R проведем плоскость   2) В пл.   3) Через пересекающиеся прямые q и р1  проведем плоскость   4) Из точки Т прямой р опустим  перпендикуляр TH на пл.  R проведем прямую р1   ǁ р. . α . α

Расстояние между скрещивающимися прямыми (четыре способа) .       Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых  (отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный обеим)  и найти его длину. Построить плоскость, содержащую одну из прямых и  параллельную второй. Тогда искомое расстояние будет равно  расстоянию от какой­нибудь точки второй прямой до  построенной плоскости. Заключить данные скрещивающиеся прямые в параллельные  плоскости и найти расстояние между этими плоскостями. Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных  прямых, и построить на этой плоскости ортогональную  проекцию второй прямой. Расстояние между проекциями  прямых на эту плоскость равно расстоянию между  скрещивающимися прямыми.

Метод ортогонального проектирования  Построить плоскость, перпендикулярную одной из данных  прямых, и построить на этой плоскости ортогональную  проекцию второй прямой.  , BC1 ­ ортогональная проекция l2 на плоскость   ,α  lA 1 ;( BCA 1  ;( l 1 AH , l 1 , l 2 )           H  ­ основание перпендикуляра, опущенного          из А на ВС1.  )  

Пример 4. (4 способ)  Найдите расстояние между непересекающимися  диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра  которого равна а.  Найдем расстояние между диагоналями А1С1 и AD1

1 способ  Найдите расстояние между непересекающимися  диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра  которого равна а.  Найдем расстояние между диагоналями А1С1 и AD1

2 способ  Найдите расстояние между непересекающимися  диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра  которого равна а.  Найдем расстояние между диагоналями А1С1 и AD1

3 способ  Найдите расстояние между непересекающимися  диагоналями двух смежных граней куба, длина ребра  которого равна а.  Найдем расстояние между диагоналями А1С1 и AD1

Список используемой литературы  Книги • 1.1 Литвиненко В.Н., Батугина О.А.  Геометрия. Готовимся к  ЕГЭ. Пособие для учащихся общеобразовательных  учреждений. –М.: Просвещение, 2011. – 158 с.   • 1.2 Сагателова Л.С., В.Н. Студенецкая В.Н. Практическая  геометрия. Комбинации геометрических тел, 10 ­ 11классы.  Методическое пособие. – М.: Планета, 2011. ­334 с. • 1.3 Орехова А.И. Задачи на готовых чертежах. Стереометрия.  Практикум для учащихся общеобразовательных учреждений. –  Мозырь: Белый ветер, 2010. – 50 с.  Статьи            2.1  Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды               задач и  методы их решения. МИЭТ «Абитуриенту 2011». – 89 с.