Учебный Элемент

Наименование: Многогранники

Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата:

Стр.

2

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из плоских многоугольников. Геометрические тела разнообразны по форме.

Среди множества геометрических тел выделяются в отдельную группу те, поверхность которых целиком состоит из плоских многоугольников. Каждый многоугольник представляет собой отдельную плоскую грань, поэтому такие тела называются многогранниками.

Стороны многоугольников называются ребрами многогранника, а вершины многоугольников – его вершинами. В каждой вершине многогранника сходятся несколько граней, и они образуют многогранный угол.

Учебный Элемент

Наименование: Многогранники

Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата:

Стр.

3

Выпуклым многогранником называется многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости каждой из его граней.

Всякая плоскость, пересекающая выпуклый многогранник, разбивает его на два других многогранника.

Призма определяется следующим построением:

1.            Рассмотрим произвольный плоский многоугольник.

2.            Через вершины многоугольника, проведем ряд параллельных прямых, не лежащих в плоскости многоугольника.

Учебный Элемент

Наименование: Многогранники

Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата:

Стр.

4

3.         Через какую-либо точку на одной из прямых проведем плоскость параллельно плоскости исходного многоугольника.

4.         Соединим точки пересечения параллельных прямых и проведенной параллельной плоскости.

Из построении призмы, что грани, лежащие в параллельных плоскостях, равные многоугольники, у которых стороны параллельны. Остальные грани призмы являются параллелограммами.

Учебный Элемент

Наименование: Многогранники

Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата:

Стр.

5

Равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы.

Обозначая призму, последовательно перечисляют вершины одного, а затем второго основания.

Любые две призмы, основания которых расположены в одних и тех же параллельных плоскостях, имеют одинаковые высоты.

Учебный Элемент

Наименование: Многогранники

Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата:

Стр.

6

Призма называется прямой или наклонной, в зависимости от того, будут ли ее боковые ребра перпендикулярны или наклонны основаниям.

Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма называется правильной.

Учебный Элемент

Наименование: Многогранники

Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата:

Стр.

7

Задача 1.

Основание двух призм лежат на параллельных плоскостях. Известно, что боковые ребра одной из них равны 5 см., и составляют с основанием угол косинус которого равен . Какую длину должно иметь ребро другой призмы с основаниями, на тех же плоскостях, чтобы оно составляло с плоскостью основания угол в 30 градусов.

Решение.

1.            Рассмотрим первую призму и найдем высоту обеих пирамид.

sin² a + cos²a = 1 Þ sin a =

Учебный Элемент

Наименование: Многогранники

Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата:

Стр.

8

2. По определению синуса острого угла найдем и ребро второй призмы.

= 4 :  = 4 *  = 4*2 =8

 Задача 2.

В основании прямой призмы АВСА₁В₁С₁ лежит прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 3 см., ВС = 4 см. Чему равно расстояние между ребром СС₁ и прямой А₁В.

 Положим призму на боковую грань 

АВВ₁ А_1. Видно, что она параллельна ребру  СС₁. 

Учебный Элемент

Наименование: Многогранники

Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата:

Стр.

9

Искомое расстояние равно высоте треугольника АВС.

Найдем высоту СН в треугольнике АВС.

Задача 3. (самостоятельно в тетради)

Боковую поверхность призмы можно вычислить по следующей формуле:

S_{бок.пов}. = P * I, где

P – периметр основания

I – длина бокового ребра

В основании прямой призмы лежит трапеция. Известны высота призмы, основания и боковые стороны трапеции. Чему равна площадь боковой поверхности призмы.

Учебный Элемент

Наименование: Многогранники

Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата:

Стр.

10

    Задача 4. (самостоятельно в тетради)

Чему равна диагональ правильной призмы, если известны ее высота и сторона основания.

Задача 5.

В правильной шестиугольной призме проведен отрезок, соединяющий середину стороны нижнего основания с серединой противолежащей стороны верхнего основания. Этот отрезок равен 4 и составляет с плоскостью основания угол в 30⁰. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

1. Рассмотрим треугольник, образованный данным отрезком и его проекцией на основание.

Учебный Элемент

Наименование: Многогранники

Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата:

Стр.

11

2.                Найдем длину бокового ребра.

3. Вычислим сторону основания: найдем расстояние между противоположными сторонами шестиугольника.

Учебный Элемент

Наименование: Многогранники

Профессиональная область: НПО.

Код:

Дата:

Стр.

12

Сторону шестиугольника выразим через высоту в маленьком равностороннем треугольнике.

4. Применим формулу для площади боковой поверхности: S_{бок.пов}. = P* I