Урок 15. Абсолютная и относительная погрешность

Урок 15. Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютная погрешность.

Разность между истинным значением измеряемой величины и её приближённым значением называется абсолютной погрешностью.

Истинное значение измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена. Но при выполнении различных измерений мы обычно представляем себе границы абсолютной погрешности и всегда можем сказать, какого определённого числа она не превосходит. Например, торговые весы могут дать абсолютную погрешность, не превышающую  5 г, а аптекарские – не превышающую одной сотой грамма.

ПРИМЕР:

На предприятии  1284  рабочих и служащих. При округлении этого числа до  1300  абсолютная погрешность составляет

1300 – 1284 = 16.

При округлении до  1280  абсолютная погрешность составляет

1284 – 1280 = 4.

Но абсолютная погрешность не даёт нам представление о качестве измерения, т. е. о том, насколько тщательно это измерение выполнено. Чтобы понять эту мысль, достаточно разобраться в таком примере.

ПРИМЕР:

Допустим, что при измерении коридора длиной в  20 м  мы допустили абсолютную погрешность всего только в  1 см. Теперь представим себе, что, измеряя корешок книги, имеющий  18 см  длины, мы тоже допустили абсолютную погрешность в  1 см. Тогда понятно, что первое измерение нужно признать превосходным, но зато второе – совершенно неудовлетворительным. Это значит, что на  20 м  ошибка в  1 см  вполне допустима и неизбежна, но на  18 см  такая ошибка является очень грубой.

Отсюда ясно, что для оценки качества измерения существенна не сама абсолютная погрешность, а та доля, какую она составляет от измеряемой величины. При измерении коридора длиной в  20 м погрешность в  1 см  составляет

долю измеряемой величины, а при измерении корешка книги погрешность в  1 см составляет

долю измеряемой величины. составляет

Если ошибка, возникающая при измерении линейкой или каким либо другим измерительным инструментом, значительно меньше, чем деления шкалы этой линейки, то в качестве абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления. Если деления на линейке нанесены достаточно точно, то ошибка при измерении близка к нулю. Тогда значение измеряемой длины предмета будет значение ближайшей метки линейки. Поэтому, если измерение выполнено аккуратно, то истинная длина предмета может отличаться от измеренной длины не более чем на половину деления шкалы, то есть  0,5 мм.

Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Абсолютная погрешность разности двух величин равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Относительная погрешность.

Отношение абсолютной погрешности к приближённому числу называется относительной погрешностью.

Абсолютная погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения. Относительная же погрешность позволяет судить об этом, Например, сравнивая относительные погрешности, полученные при измерении коридора и корешка книги, т. е. числа

мы видим, что первая дробь меньше второй почти в  110  раз. Это значит, что качество первого измерения значительного выше второго.

Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя.

Относительная погрешность произведения приближённо равна сумме относительных погрешностей отдельных сомножителей.

ПРИМЕР:

В школе  197  учащихся. Округляем это число до  200. Абсолютная погрешность составляет

200 – 197 = 3.

Относительная погрешность равна  3 : 197  или, округлённо,

³/₁₉₇ = 1,5%.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

ПРИМЕР:

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе наименьшая гиря – 50 г. Взвешивание показало  3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает  50 г. Относительная погрешность не превосходит 

⁵⁰/₃₆₀₀ ≈ 1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

В предыдущем примере за предельную абсолютную погрешность можно взять  50 г, а за предельную относительную погрешность  1,4%.

Величина предельной погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно принять за предельную абсолютную погрешность  100 г, 150 г  и вообще всякое число, большее чем  50 г. На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближённое число  4,78  без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет  0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа.

Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой  ∆ (<<дельта>>), предельная относительная погрешность – греческой буквой  δ (<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой  а, то

ПРИМЕР:

Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровым делением. Измерение показало  17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого измерения ?

РЕШЕНИЕ:

Здесь  а = 17,9 см. Можно принять  ∆ = 0,1см, так как с точностью до  1 мм  измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную погрешность не удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и  0,02  и даже  0,01 см, но у самого карандаша рёбра могут отличаться на большую величину). Относительная погрешность равна

Округляя, находим

ПРИМЕР:

Цилиндрический поршень имеет около  35 мм  в диаметре. С какой точностью нужно его измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла  0,05% ?

РЕШЕНИЕ:

По условию, предельная абсолютная погрешность должна 

составлять  0,05%  от  35 мм. Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна

или, усиливая, 0,02 мм. Можно воспользоваться формулой

Подставляя в формулу 

а = 35,𝛿  = 0,0005,

имеем

Значит,

∆ = 35 × 0,0005 = 0,0175 мм.

ПРИМЕР:

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с делениями  0,5 см  и линейка с делениями  1 мм. В обоих случаях получен результат  35 см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины  3,5 см  от истинной, не должно по модулю превышать  0,5 см, во втором случае  0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении штангенциркулем, то

p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.

Данный пример показывает зависимость абсолютной погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности измерительных приборов. В одном случае  ∆l = 0,5  и, следовательно,

3 ≤ l ≤ 4,

в другом – ∆l = 0,1  и

3,4 ≤ l ≤ 3,6.

Оценка погрешностей арифметических действий.

ПРИМЕР:

Складываются приближённые числа

265  и  32.

Пусть предельная погрешность первого есть  5, а второго  1. Тогда предельная погрешность суммы равна

5 + 1 = 6.

Так, если истинное значение первого есть  270, а второго  33, то приближённая сумма

265 + 32 = 297

на  6  меньше истинной

270 + 33 = 303.

ПРИМЕР:

Пусть предельная погрешность приближённого уменьшаемого  85  равна  2, а предельная погрешность вычитаемого  32  равна  3. Предельная погрешность разности

85 – 32 = 53

есть

3 + 3 = 5.

В самом деле, истинное значение уменьшаемого и вычитаемого могут равняться

85 + 2 = 87  и

32 – 3 = 29.

Тогда истинная разность есть

87 – 29 = 58.

Она на  5  отличается от приближённой разности  53.

ПРИМЕР:

Пусть перемножаются приближённые числа  50  и  20, и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть  0,4%, а второго  0,5%.

Тогда предельная относительная погрешность произведения

50 × 20 = 1000

приближённо равна  0,9%. В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть

50 × 0,004 = 0,2,

а второго

20 × 0,005 = 0,1.

Поэтому истинная величина произведения не больше чем

(50 + 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,

и не меньше, чем

(50 – 0,2)(20 – 0,1) = 991,022.

Если истинная величина произведения есть  1009,2, то погрешность произведения равна

1009,2 – 1000 = 9,02,

а если  991,02, то погрешность произведения равна

1000 – 991,02 = 8,98.

Рассмотренные два случая – самые неблагоприятные. Значит, предельная абсолютная погрешность произведения есть  9,02. Предельная относительная погрешность равна

9,02 : 1000 = 0,902%,

Скачано с www.znanio.ru