Урок 6 Бином Ньютона Презентация

Проверка формативного оценивания

Проверка домашнего задания

Группу из 30 учащихся необходимо разделить на 3 бригады. Причём, в первую бригаду должно входить 9 человек, во вторую бригаду 6 человек и в третью бригаду – 15 человек. Сколькими способами это можно сделать?
Решение

Устно:

Замените * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

Раздел долгосрочного плана: 9.1 Элементы комбинаторики.

Цель обучения:

Критерии оценивания:

Учащийся
Записывает коэффициенты разложения бинома Ньютона с помощью формулы сочетаний или треугольника Паскаля;
восстанавливает формулу бинома Ньютона;
формулирует свойства бинома Ньютона при решении задач;
применяет формулу бинома Ньютона при решении задач

Правило записи треугольника легко запомнить:
Каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке.








Математически свойство подсчета числа сочетаний без повторений можно записать еще вот так:

Полученная нами формула:


Если расписать формулы числа сочетаний, то формула примет следующий вид:


Коэффициенты, стоящие перед слагаемыми – Биномиальные коэффициенты

Основные свойства бинома Ньютона

В разложении содержится слагаемое;
показатель при убывает от до , а показатель при растёт от до . Сумма показателей при и всех членов разложения равна - показателю степени бинома.
Биномиальные коэффициенты, равноудалённые от концов разложения, равны между собой

Основные свойства бинома Ньютона

биномиальные коэффициенты сначала возрастают, а затем убывают;
если показатель степени бинома чётный, то биномиальный коэффициент среднего слагаемого разложения наибольший;
если показатель степени бинома нечётный, то биномиальные коэффициенты двух средних слагаемых равны между собой и являются наибольшими.

Основные свойства бинома Ньютона

Так как отсчёт биномиальных коэффициентов идёт с нуля, то в общем виде принято k+1 слагаемое разложения считать k – м членом разложения бинома.

Рассмотрим двучлен:


Используя бином Ньютона получим:



При х=1 получаем:

Применение формулы бинома Ньютона

Возведите , где n любое натуральное число
Всегда начинайте с восстановления общей формулы:

Применение формулы бинома Ньютона

Применение формулы бинома Ньютона

Найдите шестой член разложения .
Решение:

Найдите член разложения , не содержаший x

Решение:

Ответ: пятый член разложения

243

1

8

𝑥+4 2
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 coefficient

𝑥−2 3 𝑥−2 𝑥𝑥−2 𝑥−2 𝑥−2 3 3 𝑥−2 3
𝑥𝑥 coefficient

2𝑥+3 5 2𝑥+3 2𝑥𝑥+3 2𝑥+3 2𝑥+3 5 5 2𝑥+3 5
Constant

𝑥+2 3 𝑥+2 𝑥𝑥+2 𝑥+2 𝑥+2 3 3 𝑥+2 3
𝑥𝑥 coefficient

2𝑥−1 4 2𝑥−1 2𝑥𝑥−1 2𝑥−1 2𝑥−1 4 4 2𝑥−1 4
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 coefficient

𝑥+1 4 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 4 4 𝑥+1 4
Constant

𝑥+2 3 𝑥+2 𝑥𝑥+2 𝑥+2 𝑥+2 3 3 𝑥+2 3
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 coefficient

𝑥−5 5 𝑥−5 𝑥𝑥−5 𝑥−5 𝑥−5 5 5 𝑥−5 5
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 coefficient

𝑥+2 3 𝑥+2 𝑥𝑥+2 𝑥+2 𝑥+2 3 3 𝑥+2 3
Constant

𝑥+1 4 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 4 4 𝑥+1 4
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 coefficient

𝑥+1 4 𝑥+1 𝑥𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 4 4 𝑥+1 4
𝑥𝑥 coefficient

𝑥+4 2
Constant

2𝑥+3 5 2𝑥+3 2𝑥𝑥+3 2𝑥+3 2𝑥+3 5 5 2𝑥+3 5
𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 coefficient

2𝑥+3 5 2𝑥+3 2𝑥𝑥+3 2𝑥+3 2𝑥+3 5 5 2𝑥+3 5
𝑥𝑥 coefficient

𝑥−8 4 𝑥−8 𝑥𝑥−8 𝑥−8 𝑥−8 4 4 𝑥−8 4
Constant

𝑥+4 2
𝑥𝑥 coefficient

Докажите, что при делится без остатка на 16 

Решение:

ч.т.д.

Рефлексия

Чему научились на уроке?
Что не получалось и вызывало трудности при решении задач?
Над чем необходимо поработать?

Дополнительный материал по теме:

https://uztest.ru/abstracts/?idabstract=682471
 
 
https://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html
 
 
http://www.mathnstuff.com/math/algebra/tt43.htm
 
 
https://cdn.kutasoftware.com/Worksheets/Alg2/The%20Binomial%20Theorem.pdf
 
 
https://www.amsi.org.au/ESA_Senior_Years/PDF/Thebinomialtheorem1c.pdf
 
https://maths.mq.edu.au/numeracy/web_mums/module4/Worksheet412/module4.pdf
 
 
https://courses.lumenlearning.com/ivytech-collegealgebra/chapter/using-the-binomial-theorem/
 
 
https://courses.lumenlearning.com/ivytech-collegealgebra/chapter/using-the-binomial-theorem-to-find-a-single-term/

https://ru.coursera.org/lecture/kombinatorika-dlya-nachinayushchikh/summa-binomial-nykh-koeffitsiientov-Oa0ch