Урок алгебры в 11 классе "Степень с целым показателем"

Цели урока:

— выработка навыков применения свойств степени с натуральным

показателем;

— формирование познавательного интереса учащихся к различным

аспектам математической деятельности, развитие их творче-

ской активности;

— развитие исследовательских навыков.

Форма урока: урок решения задач с элементами исследования.    

Ход урока

Актуализация опорных знаний

(в форме интеллектуальной игры «Счастливый случай»)

Задание 1-му варианту

1. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется…

2. Степень отрицательного числа с четным показателем есть число…               

                                                                                                       [Положительное.]

3. Квадрат любого числа есть число…

                                                                                             [Положительное или 0.]

4. При делении степеней с одинаковыми основаниями получаем…

5. При возведении в степень произведения…

6. Как называют вторую степень числа а и почему?

7. Назовите значения степеней числа 2 от единицы до десяти.

Задание 2-му варианту

1. Степенью числа а с целым отрицательным  показателем n называется…

2. Степень отрицательного числа с нечетным показателем есть число…

                                                                                                       [Отрицательное.]

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями получаем…

4. Степень числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна…

5. При возведении степени в степень…

6. Как называют третью степень числа а и почему?

7. Назовите значение степеней числа 3 от единицы до пяти.

Составление задач по схемам и таблицам

Сформулировать условие и требование задачи, закодированные в данных схемах или таблицах.

1.

                             (– 3)          [Представить число 81 в виде степени с основаниями:

                              3                      – 3,  3,  – 9,  9.]

       81                 (– 9)

                              9

     2.                     (– 2)           [Представить число 64 в виде степени с заданными

                                                 основаниями или степенями.]

                              2                                  

       64                  (– 8)

                                    ³

3.

[Представить выражение  у⁶ в виде произведения двух степеней с основаниями у.]

4.        

                              (a²)                                  

      а³⁶                 (a ^{- 3})

                             (    ) ⁹

[1) Представить выражение  а³⁶ в виде степени с основанием: а) а²; б) а ^{- 3};

2) Найти выражение, девятая степень которого равна а³⁶.]

Самостоятельная работа

(с последующей самопроверкой)

Двое учащихся работают у перекидной доски, остальные на месте.

Вариант 1

1. Запишите в виде степени:

а) а⁵ ∙ а ^{- 7};              б) х¹⁰ : х ^{- 5};

в) (а⁵)² ;                 г) (аb) ^{- 5}.

2. Найдите значение выражения:

а) 1 – 5х² при х = – 4;    б) .

Вариант 2

1. Запишите в виде степени:

a) 2 ^{- 5} ∙ 2³;             б) 5 ^{- 8} : 5⁶;

в) (3 ^{- 2}) ^{- 4};             г) 2⁷ ∙ 5⁷.

2. Найдите значение выражения:

а) 2а³ при а = – 4;            б) .

Повторение и развитие

1. Верно ли утверждение:

а) Квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой. [Нет.]

б) Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой. [Да.]

в) Четвертая степень натурального числа может оканчиваться только одной из цифр: 0, 1, 5, 6.                                                                                                          [Да.]

г) Пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число.                                                                                                                            [Да.]

2. Какой вывод можно сделать, глядя на эту таблицу?

 3. Что можно сказать про степени числа 5, числа 6?

4. Что можно сказать про последние цифры в записи степени целого числа?

                                                                       [Они периодически повторяются.]

5. Какой цифрой оканчивается:  а) 5²⁰¹⁵;  б) 4²⁰¹⁴?

[а) 5, так как 5 в любой степени оканчивается цифрой 5;

б) 6, так как 4 в четной степени оканчивается цифрой 6.]

6. Целое число m оканчивается цифрой 6. Какой цифрой будет оканчиваться число:

а) m² + 1; б) m¹¹² + 25?                                                                            [а) 7; б) 1.]

7. Сравните 24³ и 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 8 ∙ 12 ∙ 24. Подсказка. Для преобразования выражения, стоящего справа, удобно использовать «симметрию» множителей, а именно:

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 8 ∙ 12 ∙ 24 = 24 ∙ 24 ∙ 24 ∙ 24 = 24⁴.                                  [243 < 244.]

Задание на дом: № 215, 216.

Творческое задание

1. Найти какое-нибудь значение p, при котором число p² + 1 делится без остатка на 5.

2. Доказать, что 2,6 ∙ (26ⁿ – 1) — целое число при любом натуральном n.