Урок-лекция "Декартовы координаты в пространстве"

Урок – лекция по геометрии

«Декартовы координаты в пространстве»

Учитель: Макеева О. В.

Цели урока:

1.          Повторить введение и применение координат на прямой и на плоскости; формулы координат середины отрезка и расстояния между точками.

2.          Ввести декартовы координаты в пространстве.              

3.          Развивать интерес к истории математики.

Оборудование:

1.          Таблица «Декартовы координаты в пространстве».

2.          Модель трёхмерной системы координат.

3.          Чертежные инструменты.

4.          Портрет Р. Декарта.

Ход урока

I. Введение

В 1637 г. во Франции вышла книга, которая принесла её автору невероятную известность. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автор книги Рене Декарт (1596 – 1650 г.). В ней он ввел прямоугольную систему координат, поставил каждой точке в соответствие пару чисел – её координаты. Этот прогрессивный метод позволил решить ряд геометрических задач алгебраическим методом, что оказалось очень удобным.

Главные правила метода гласят:

1.          Не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным, т. е. старательно избегать поспешности и предубеждения и включить в свои рассуждения только то, что представляется уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не может дать повод к сомнению.

2.          Делить каждую из рассматриваемых трудностей на столько частей, на сколько требуется, чтобы лучше их разрешить.

3.          Руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало – помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существования порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу.

4.          Делать всюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

Руководствуясь этими правилами, начнем с ранее изученного материала.

«Кит»

«Заяц»

В своё время Рене Декарт сказал: “… потомки будут благодарны мне не только за то, что я сказал, но и за то, что я не сказал и тем самым дал им возможность и удовольствие додуматься до этого самостоятельно”. Я предоставлю вам возможность и удовольствие разобраться с декартовой системой координат самостоятельно.

Предлагаю вам таблицу, которую мы с вами заполним, сделав сравнительную характеристику.

Вопросы для заполнения первой части таблицы.

1. Сформулируйте определение декартовой системы координат?

2. Попробуйте сформулировать определение декартовой системы координат в пространстве?

3. Назовите оси координат на плоскости? Назовите оси координат в пространстве? Название, какой оси мы не изучали? (Знакомство с новым словом “аппликата”)

4.Под каким углом располагаются  оси координат друг к другу?

5. Назовите координату начала координат на плоскости (в пространстве)?

6. Как задается координата точки на плоскости и в пространстве?

7. По каким формулам находится расстояние между двумя точками на плоскости и в пространстве?  (Координаты середины отрезка)

II. Повторение. Актуализация знаний

1. Сначала координаты точки ввели на луче, потом на прямой.

Координатная прямая – это прямая с выбранными на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком.

      О                      А(х)                                        

                                                                     = ОА

           ^{0          1                                              х}

Координатой точки А называют число, абсолютная величина которого равна расстоянию от начала отсчета до точки А.

Если точка расположена справа от точки О, то её координата положительная, если слева – то отрицательная.

2. Для определения положения точки на плоскости одной координаты недостаточно. Поэтому по примеру географических координат Декартом были введены координаты на плоскости, добавив к оси х перпендикулярную ось и выбрав на ней направление и единичный отрезок.

         y                                               О – начало отсчета.

                                                         (Повторить определение абсциссы и                     

       А_y               А(х,y)                     ординаты точки на плоскости).

                                                         ОА_х = , ОА_y = ,

        1                                                         А (х;y),  А_х (х;0), А_y (0;y )

         О     1     А_х       х  

  III. Введение координат в пространстве

Первое определение IX книги «Начала» Евклида гласит: «Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину». Тем не менее есть основание полагать, что в древности нашего понятия о трехмерном пространстве не существовало. У Декарта имелись лишь далекие намеки на возможность распространения метода координат с двумерного пространства (плоскости) на трехмерное. Потребовалось ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных координат была сформирована, постоянно и и широко использовалась.

z                                             (Объяснение  с опорой на трехмерную модель и

   А_z           A_yz                                               таблицу №21).

                                              Система координат в пространстве представляет                                                                                           

A_xz              A                             собой три взаимно перпендикулярные прямые

                                              х, y, z, пересекающиеся в одной точке.

                                                                       О – начало отсчета_,     

  О               А_у  у                  x, y, z – координатные оси,

     A_x             A_xy                             xy, yz, xy – координатные плоскости.

        x                                                    Координатные плоскости делят все пространство                 

                                              на 8 октантов.

               Определим координаты точки А на плоскости.

Через точку А проведем плоскость, параллельную плоскости yz. Она пересекает ось x  в точке А_x . Координатой х точки А называется число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОА_х . Аналогично определяются и другие координаты. Таким образом, точке А в пространстве ставится в соответствие тройка чисел – её координаты.

Обозначение: А(x; y; z). (Название координаты z найти самостоятельно).

Рассмотрим координаты частного расположения точек в пространстве.

А_х (х;0;0)             А_хy  (х;y;0)           О (0;0;0)

А_y (0;y;0)             А_yz  (0;y;z)

А_z (0;0;z)              А_хz  (х;0;z)

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.

          z   

             В₁              С₁                                                     Ответы:

   А₁                  D₁                              А (4;0;0)              А₁ (4;0;4)                                                           

                                                        В (0;0;0)               В₁ (0;0;4)

         В                   С      y                С (0;4;0)               С₁ (0;4;4)

                                                         D (4;4;0)              D₁ (4;4;4)

      А                D

   x

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.

В₁     z                    С А₁                  D1

                                                         Ответы:

А₁                                D₁                                     

                                                         А (2;-3;0)             А₁ (2;-3;4)

 В                            С                        В (-2;-3;0)            В₁ (-2;-3;0)

А                                  D     y                       С (-2;3;0)             С₁ (-2;3;4)

                                                         D (2;3;0)              D₁ (2;3;4)

   x

IV. Приложение метода координат

В качестве иллюстрации приложения метода координат рассмотрим алгебраические равенства, имеющие простые геометрические истолкования. Это формулы координат середины отрезка и расстояния между точками.

Задача на повторение. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если:

1 вариант – А (3;-1), В (-2;4)

2 вариант – А (3;4), В (2; -1)

(Проверку работ осуществить на боковых досках).

Аналогичные формулы применяются в пространстве. По учебнику прочитать п.153, 154 и выписать формулы в тетрадь. Два ученика получают на дом задание  - вывод формул.

Задача №3. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)

                    Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Решение:

1). Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С (; ; ), С (2;0;0)

2). АВ =  =  = 2.

V. Подведение итогов урока