Урок повторения в 11 классе "Методы решения уравнений"

Урок повторения в XI классе по теме :

Учить учащихся решать уравнения, используя следующие методы: метод разложения на множители, метод введения новых переменных, формируя ключевые умения преобразовать формулу, транспортировать учебную информацию.
Развивать логическое мышление учащихся, самостоятельные навыки работы с учебником, таблицей, формулой.

Организационный момент.
Сегодня мы поговорим об общих целях, общих методах, которые пронизывают всю школьную линию уравнений с VII по XI класс. При решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего внимания (вопрос о проверке корней следует рассмотреть отдельно, на других уроках).
Мы рассмотрим два метода: метод разложения на множители и метод введения новых переменных.

Суть этого метода заключается в следующем: пусть надо решить уравнение

Тогда уравнение

можно заменить совокупностью более простых уравнений:

и пусть

Решить уравнение:

Решение.

или

Ответ: -3;

;

2.

Решение:

или

D=25

Ответ :

-1;

;

.

3.

Решение:

или

Ответ:

;

; 1; 3.

4.

Решение:

или

а)

б)

Ответ:

-2;

; 0;

; 2.

5.

О.Д.З.

Решение:

или

или

Ответ:

0; 1; 7.

6.

Решение:

или

Ответ: -3; 1; 2.

7.

Решение:Прибавим и отнимем . Число 63 представим как 63=64-1.

или

D<0. D<0
Ответ: нет действительных корней.

Решение:

или

D=121,
Ответ:

Решение:

:

- корень уравнения

или

Ответ

:

10.

Решение:

или

или

Ответ:

11.

Решение:

или

Ответ:

12.

Решение:

или

Ответ: -4 и 4.

13. Решить систему уравнений

Решение:

Пусть

учитывая, что

и

запишем исходную систему иначе:

Отсюда

и тогда

Таким образом, исходная система равносильна системе

Эта система распадается на две

и

Ответ: (4;3); (3;4).

Суть метода очень проста: если уравнение

удалось преобразовать к виду

то нужно ввести новую переменную

решить уравнение

а затем рассмотреть совокупность уравнений:

, где

- корни уравнения

Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить лишь в процессе каких-либо преобразований.
Бывает полезно так же ввести не одну, а две переменные .

Решить уравнение:

1.

Решение:

при

Ответ: нет корней.

2.

Решение:

1)

2)

Ответ: -4;-1;1;4.

3.

Решение:
Пусть , тогда уравнение примет вид:

4.

Решение:

Пусть

D=9,

- посторонний корень

Ответ:

5.

Рассмотрим несколько уравнений, где применение метода введения новых переменных не так очевидна.

Решение:
Пусть

, тогда уравнение примет вид:

-9 – посторонний корень

Ответ: -1 и 2.

1)

6.

Решение:
Данное уравнение – симметричное, оно является уравнением четвертой степени. Разделим обе части уравнения на. Получим

Пусть , тогда уравнение примет вид:

1)

D=5

2)

D<0

Ответ:

7.

Решение:

Пусть

Уравнение примет вид:

Значит,

Ответ:

8.

Пусть , тогда уравнение примет вид:

1)

2)

D<0

или

Ответ: -5;0

9.

Решение:

Пусть , тогда уравнение примет вид:

1)

2)

Ответ:

10.

Решение:

- посторонний корень

1)

или

Ответ: 6; 8.

11.

Пусть

, тогда уравнение примет вид:

D=9

1)

2)

Ответ: 0,5; 2.

12.

Решение:

Пусть , тогда уравнение примет вид:

1)

D=76

2)

D=400-720<0

Ответ:

13.

Решение:

Пусть 

, тогда уравнение примет вид:

или

1)

D=1

2)

Ответ: -1; 0,5; 2; 4.

Можно решить иначе: разделить обе части уравнения на

Получим:

Пусть , тогда уравнение примет вид:

и т.д. (дальнейшее очевидно)

14.

Решение:

Заметим, что

Пусть

Тогда

и

, но

Уравнение не имеет корней

D/4=

Ответ: 3; 143.

15.

Решение:

Тогда уравнение примет вид:

Итак, исходное равенство будет верным, если выполняется система

2)

1)

D=4

Если

, то

Если

, то

1)

2)

и

Ответ: 2; 28.

Решение иррациональных уравнений также можно упростить с помощью удачно выбранной тригонометрической подстановки, т.е. переменные уравнения заменяются на значения каких-либо тригонометрических функций.

16.

Решение:

Пусть

Замена возможна, т.к. .

Тогда

Значит,

1)

2)

Тогда корни:

Откуда имеем:

Ответ:

17.

(1)

Решение:

Полагая , преобразуем систему (1) к виду

(2)

1)

, тогда

Значит,

И

Ответ: (2;3), (3;2).

Решить уравнение

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

За два часа работы учащиеся углубили свои знания и умения по решению уравнений двумя способами: способом разложения на множители и способом замены перемены, что способствует решать уравнения различного типа высокого уровня сложности.
Предложенные задания как устные, так и письменные способствовали развитию логического мышления и познавательной деятельности.
Выполнение заданий формировали ответственность, глубину мысли, самостоятельность, аккуратность, требовательность в работе.