Урок алгебры Тема: «Сумма бесконечной геометрической прогрессии»

Тема: «Сумма бесконечной геометрической прогрессии» Цель урока: повторение и обобщение изученного материала путём решения  практических задач; развитие познавательного интереса к математике. Задачи урока: Образовательные:  совершенствовать навыки решения разнообразных задач по  использованию формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии;  применять полученные знания в практических ситуациях; расширять знания  путём решения нестандартных задач; Развивающие:  развивать математический кругозор, мышление, математическую речь;  Воспитательные:  воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию;  формировать отношения взаимной ответственности при совместной работе.    1. Вступительная   часть.  Определение   темы,   цели,   задач   урока. Мотивация учебной деятельности. Учитель:  Закончился двадцатый век Куда стремится человек?  Изучены космос и море, Строение звезд и Земля. Но математиков зовет Известный лозунг: «Прогрессио – движение вперед!» (Фото со слайда).  Что вы сможете разглядеть в этой будничной сцене? На ней изображена одна из закономерностей алгебры. 2. Тест­опрос. 3. Самоконтроль (ответы к тесту по ключу)                 4. Примеры практического применения темы. Учитель: Формулу суммы членов бесконечной геометрической  прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном  виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов. a)       Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную.      Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0,(7) в  обыкновенную.  Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде: 0 (7) = 0 777 =  7/10+7/100+7/1000+7/10000+ .  Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен b1=  7/10, а знаменатель   q = 1/10.  В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна: S = 7/10/(1−1/10) = 7/9. Таким образом, 0,(7) = 7/9. 0,(23) = 0,23232323…= 0,23+0,0023+0,000023+… Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен  b1= 0,23, а знаменатель   q = 0,01.  S = 0,23/(1−1/100) = 0,23/0,99 = 23/99. Таким образом, 0,(23) = 23/99. б)     Постройте график функции: у =  Решение: Область определения функции: х ≠ 0.  1 + sin 30 + sin2 30 + sin3 30 + … = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +… ­  сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой q = 1/2. Тогда  S = 1 : (1 – 1/2 ) = 2. Функция приобретает вид: 1) у = х + 2, если х > 0;                                                   2) у = х – 2, если х < 0. y 4 2 -2 x 2 0 -2 -4   в)    Решение уравнений, используя сумму бесконечно убывающей  геометрической прогрессии. 1.         Решить уравнение:  х2   – 6 | х | = 3 + 2 + 1 + ½ +1/4 + … Решение:   2 + 1 + ½ +1/4 + … Это сумма  бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  S = 2 : ( 1 – 1/2 ) = 4. Уравнение приобретает вид: х2 – 6 | х |  = 3 + 4,   х2 – 6 | х |  ­7 = 0. 1) Если х ≥ 0, то имеем х – 6  х  ­7 = 0,   a + c = b Корни : 7 и  ­1; причём х = ­ 1 не удовлетворяет условию х ≥ 0. 2) Ели х < 0, то имеем х2  + 6  х  ­7 = 0, a + c + b = 0 Корни: ­ 7 и  1, причём х = 1 не удовлетворяет условию х < 0. Ответ: ­7; 7  5. Самостоятельная работа c правом выбора задания.  Представьте периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: 0,(6);     0,(17);     0,1(8)  Постройте график функции: y = (x ­ (3 ­   3 2   +   3 4   ­   3 8  + …))2 + 1; y = (x + (1+ 1 2  +  1 4  +   1 8  + …))2 ­ 1  Решите уравнение: x   2  −2x   3  +4x   4  −8x   5  + = 2x+1   x 1       Решение: Упростим левую часть уравнения, применяя формулу S = b1 /1−q суммы  бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  x2−2x3+4x4−8x5+  = x2 1−2x+4x2−8x3+   = x2 b1 = 1, q = −2x  = x2( 1/(1− −2x ) = x2 /1+2x .  Тогда уравнение принимает вид x2 /1+2x = 2x+1   x 1.  Решим его: x2 /1+2x = 2x+1 x2 =  2x+1 2 3x2+4x+1= 0 x1 = −1  x2 = −1/3 .  Так как  x 1 , то корень уравнения будет x = −1/3.  6. Итог урока 1) Чему научились на уроке? 2) Что нового узнали с урока? 3) Актуальна ли для вас эта тема? 7. Домашнее задание: §25, №13(а, б), 14(а), 15(а, б) 8. Развивающее задание         Условие задания: В квадрат, сторона которого  равна 48 см, вписан другой квадрат,  вершины которого являются  серединами сторон первого  квадрата, в этот квадрат вписан  таким же образом другой квадрат, и  т.д. (см. рис.).   Определи сумму площадей всех  квадратов.   Сумма площадей всех квадратов равна  см2. 4608    Дополнительные вопросы:      1. Сторона третьего по порядку квадрата равна  2. Площадь наибольшего квадрата равна   2304 3. Знаменатель равен  0,5  .                     см. 24  см2. 4. Выбери, какую из формул надо использовать в решении задачи:   (b1+b2)/q2 b1/(1−q2) b1(1−qn)/(1−q)     b1/ ( 1− q ) Учитель.  Урок сегодня завершен, Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни приведут! Наш урок хотелось бы закончить мудрыми словами Цицерона:  «Недостаточно владеть премудростью, нужно также уметь пользоваться  ею». Надеюсь, ребята, мы нашли вместе с вами подтверждение этим словам. Учитель: Как вы считаете, прав ли был Цицерон? (Ответ: Да, недостаточно  просто знать, нужно уметь использовать информацию). Вывод: Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, мы  увидели, что прогрессии встречаются при решении задач во многих реальных  ситуациях. Следовательно, нам необходим навык применения знаний,  связанных с прогрессиями. Спасибо за урок!     Приложение к уроку 1.  В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую  очередь в задаче об исчислении так называемых “сложных процентов”.  Если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год  вклад увеличится на 3% от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на 1,03. Ещё через год уже эта сумма увеличится на 3%, т.е. вновь умножится на 1,03. За 20 лет сумма на сберкнижке увеличится в  (1,03)20 1,8 раза. Если процент будет больше, то и результат будет резко расти. Так при 50%  годовом увеличении за 10 лет сумма увеличится в (1,5)10 55,7 раза. Под такой  процент давали деньги ростовщики в Англии в XIII веке. Это вызывало  страшное недовольство. Издавались законы, ограничивающие процент. Король Генрих VII даже совсем отменил взимание процентов, что привело в упадок,  как банковское дело, так и промышленность, лишившуюся возможности  получения кредитов. В конце концов, взимание процентов было разрешено, но  не должно было быть большим 10%. 2.  Еще один пример геометрической прогрессии – изменение массы  радиоактивного вещества со временем. Известно, что за единицу времени  такое вещество теряет определенную часть своей массы (она переходит в  другое вещество и энергию). Для каждого радиоактивного вещества  определяется величина T – время периода полураспада. Массы не  распавшегося вещества в моменты 0, T, 2T, 3T,… будут образовывать  бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. 3. Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам  геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой  коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет  планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по  восстановлению лесов. 4.  В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на  протяжении одной минуты одна из них делится на две. 5.  Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую  и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления  (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди  размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от  лишнего населения необходимы войны.       Решите уравнение, если известно, что  <1: x ) xa  2 x  3 x  4 x  ... n x 2) xá  2 4 x  3 8 x  4 16 x  ... ;4  ... 3 8  ... x ; n 7 2 ; ) â 1 x  x 2 x  3 x  4 x  ... 2) xã  1 2 x  3 x  4 x  5 x  ... 13 6 . № 4 ) xà  2 x  3 x  4 x  ... nx  4 ... b 1  ; bx 2  2 bx ; 3 3  x ....     ,левая часть геометрическая прогрессия <1, можно применить формулу для суммы геометрической прогрессии т.к  x x , . q  2 x x S b 1  q  1 x   1 x 5 x x   x ,4   x   14 ,0  x 1   4 1 4 5  0 x Ответ: 4 5 б) х=0,3; в) геометрическая прогрессия b1=x;q=x;  <1 x 1 x  x 2 x  3 x  4 x  ... nx  ... 7 2 ; 1 x 9 x 1 2  x  1  9 x   12 x 2 3  , x 2  , x 1 3 1  ,0 x ,  ,0 x x  7 2 2   x               г)  Ответ:  2 3 , 1 3 . 1  , 2 7 9 .       Постройте график функции  1) y = (x ­ ( 3 ­   3 2   +   3 4   ­   3 8  + …))2 + 1 2) y = (x + (1+ 1 2  +  1 4  +   1 8  + …))2 ­ 1 Ответы: 1)у = (x – 2)2 + 1;         2)у = (x + 2)2 ­ 1       Обратите периодическую десятичную дробь в обыкновенную.      b) 0,(6) c) 0,(17) d) 0,1(8) Ответы: 2/3;           17/99;        17/90.