Урок алгебры в 11 кл. "Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ"по УМК Муравиных

29 февраля 2016 года  Районный семинар учителей математики, физики и информатики  при МОУ «Лямбирская СОШ №1» Лямбирского района Республики Мордовия  Предмет: алгебра и начала анализа Класс: 11 Тема урока: «Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ» Тип урока: урок коррекции  и систематизации знаний.      Цель урока: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений различных типов в процессе  подготовки к ЕГЭ. Задачи урока.      1. Образовательные:  ­ закрепление программных знаний и умений по решению тригонометрических уравнений; применение  свойств тригонометрических функций; ­ обобщение и систематизация материала; ­  создание  условий для  контроля и самоконтроля  усвоения знаний и умений; ­ исторические  сведения.       2. Воспитательные: ­ воспитание навыков делового общения, активности; ­формирование интереса к математике и ее приложениям.      3. Развивающие: ­ формирование умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса  знаний в новую ситуацию, ­ развитие познавательного интереса, математического кругозора, мышления и речи, внимания и  памяти. Формы организации работы учащихся на уроке:  индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.      Методы обучения:  частично­поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам,  работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения,  самопроверка, взаимопроверка.      Оборудование и источники информации: компьютер, мультимедийный проектор, таблицы  (плакаты) по теме «Решение тригонометрических уравнений», системно­обобщающая схема; на партах   учащихся опорные схемы по решению тригонометрических уравнений, справочные материалы, листы  учета знаний,  карточки ­ задания с уравнениями, карточки с домашними заданиями. Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют, приобретут, закрепят, ученики в ходе урока:   Обоснование возможности использования системно­деятельностного подхода при изучении темы:   знание методов и этапов решения тригонометрических уравнений; умение решать тригонометрические уравнения,  выбирая наиболее рациональные методы.  Содержание изучаемого материала позволяет логически выстроить репродуктивные и творческие учебные  ситуации,  предполагает использование различных способов действий, в том числе и в области адекватного оценивания учащимися своих действий. Ресурсы:  • «Просвещение», 2014­15гг. Учебники «Алгебра 10» и «Алгебра 11»  под редакцией . Г.К.Муравина, О.В. Муравиной. ­ М.:  • • • • Презентация офисе Microsoft Power Point  и для интерактивной доски Smart Board Демонстрационный и раздаточный материал  Интернет сайт: социальная сеть работников образования : nsportal.ru http   ://   www.yandex. Структура  урока: 1 этап ­ мотивационно ­ ориентировочный: разъяснение целей  учебной деятельности учащихся,  мотивация учащихся: выйти на результат. 2 этап ­ подготовительный: актуализация опорных знаний, необходимых для решения  тригонометрических уравнений – это основные формулы тригонометрии и примеры решения простейших  тригонометрических уравнений. 3 этап ­ основной:  осмысление последовательности выполнения действий согласно правилу (работа  с  проговариванием правил); совершенствование или коррекция умений учащихся в зависимости от  успешности выполнения предыдущего этапа (кто быстро справился – работает с более сложными  заданиями; кто испытывал затруднения – продолжает работать с заданиями стандартного уровня);  отчёт  учащихся о выполнении заданий. 4 этап – компьютерное тестирование. Контроль знаний обучающихся через тестирование в тестовой  оболочке КРАБ 2  5 этап  ­ заключительный: подведение общих итогов, инструкция по выполнению домашнего задания,  рефлексия. Ход урока Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять. Рене Декарт. 1 этап ­ мотивационно ­ ориентировочный – Доброе утро! Здравствуйте , ребята . Сегодня у нас необычный урок, потому что у нас   гости .  «Гости в дому — это к добру!». Посмотрите друг на друга, улыбнитесь, и пожелайте мысленно  своим  друзьям удачи!   Эпиграфом нашего урока я взяла высказывание великого французского ученого Рене Декарта «Мало  иметь хороший ум, главное – хорошо его применять» …  У вас на столах лежат листы достижений. К концу урока вы их заполните и вернете мне. Итак, начинаем. 2 этап ­ подготовительный:  актуализация опорных знаний Скажите пожалуйста, какие темы мы повторили на последних уроках?   Определения тригонометрических функций, свойства и графики  Основное тригонометрическое тождество  Формулы приведения  Формулы сложения  Формулы двойного угла  Формулы понижения степени (формулы половинного угла)  Тригонометрические выражения, тождества и уравнения Коль собираемся говорить о тригонометрии, как вы думаете, какова цель нашего урока?  Сформулируйте её. Действительно, сегодня у нас урок закрепления навыков решения тригонометрических уравнений  различных типов в процессе подготовки к ЕГЭ. Мы повторим, обобщим и приведем в систему изученные  виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Надо сказать, что именно  тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов.  Будем работать и вместе, и  индивидуально. «Сегодня мы учимся вместе: я, ваш учитель, и вы, мои ученики. Но в будущем ученик должен  превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса», ­ сказал Василий Александрович  Сухомлинский,  советский педагог. Вопросы для учащихся: 1) Какие уравнения называют тригонометрическими?  ­ Уравнения, в которых переменная стоит под  знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими. 2 Приведите примеры простейших тригонометрических уравнений?  ­  cos x = a; sin x = a; tg x = a; ctg x  = a 3 Сколько корней может иметь тригонометрическое уравнение? ­ Зависит от а: может не иметь корней,  может иметь множество корней в силу периодичности тригонометрических функций. 4 Что значит решить тригонометрическое уравнение? ­  Найти множество корней или убедиться, что  корней нет tgx=a ctgx=a 5 В уравнениях cos x = a; sin x = a оцените число а?  Если а<­1 и а>1, то нет корней. 6. Решите  простейшие тригонометрические уравнения cosx=a sinx=a        x=±arccosa+2πn,n∈Z        x=(−1)narcsina+πn,n∈Z при   а∈[−1;1] при   а∈[−1;1]   x=arctga+πn,n∈Z   x=arcctga+πn,n∈Z Напомните типы  тригонометрических уравнений и  методы их  решения  Уравнения, сводящиеся к квадратным       a sin2 x + b sin x + c = 0  Однородные уравнения     а sin x +b cos x = 0                a sin2 x + b cos2x +c  sin x cos x  = 0  Уравнения, решаемые разложением левой части на множители   а(х) ∙  b(x) =0  Уравнения вида        а sin x +b cos x = с 3 этап ­ основной Задание 1. Решите уравнение   8 cos4x +3 sin2x = 8 Определите тип уравнения Наметьте план решения Введите соответствующую замену переменной Найдите область допустимых значений введенной переменной Решите полученные простейшие уравнения Запишите верно ответ Решение.   1 2 3 4 5 6 Учитывая, что из основного тригонометрического тождества sin2x = 1­ cos2x, получим  8 cos4x +3 (1­сos2x)  = 8 8 cos4x ­3 сos2x  ­ 5 = 0 Исходное уравнение свелось к  квадратному относительно     сos2x   Пусть сos2x = t,   при условии   t∈[0;1] откуда t1=1,   t2= ­5/8­  не удовл.усл. t cos2 x =1,    cos x = ±1 ,   x= πn ,    n∈Z Ответ. x= πn ,    n∈Z ,   тогда 8t2­3t­5=0,  Важнейшая задача цивилизации – Задание 2. Решите уравнение   cos x – sin x=1. Решение. 1 способ. Преобразование разности в произведение.            cos x – sin x = 1 научить человека мыслить Томас Эдисон (¿−x)−sin⁡x=1 π 2 sin ¿ π 2 −x+x 2 2cos sin π 2−x−x 2 =1 2cos π 4 sin(π 4−x)=1 √2sin(π 4−x)=1,sin(π 4 −x)=√2 2 π 4−x=π 4 +2πn,n∈Z π 4−x=π−π 4 +2πn,n∈Z x=2πn,n∈Z x=−π Ответ. x=2πn, x=−π 2 +2πn,n∈Z 2 +2πn,n∈Z 2 способ.  Введение вспомогательного угла sinx= 1               cos x – sin x=1,       √12+(−1)2=√2                   √2 Введем вспомогательный угол  φ  такой, что         cosφcosx−sinφsin x= 1 cosx− 1 √2 1 √2 √2   Откуда  φ=¿ 1 √2 sin ¿ φ=¿ 1 √2 cos¿       Значит,  φ=π 4 (φ+x)=¿ 1 √2 Получим           cos¿ x=2πn,      x=−π 2 +2πn,n∈Z 4 +x=±π π 4+2πn,n∈Z                x=±π 4 −π 4 +2πn,n∈Z Ответ.    x=2πn,      x=−π 2 +2πn,n∈Z            3 способ. Использование формул двойного угла.       cos x – sin x=1 cos2∙x 2−sin 2∙x 2=cos2 x 2−sin2x 2   cos2x 2−sin2 x 2−2sin x 2 cos x 2=cos2 x 2−sin2 x 2 −2sin2 x 2−2sin x 2 cos x 2=0 −2sin x 2 (sin x 2 +cos x 2)=0 2 +cos x 2=0 2+1=0 2=0илиsin x sinx x 2 =πn,n∈Ztgx                                              tgx 2 =−π x x=−π 4 +πn,n∈Z 2 +2πn,n∈Z 2=−1 Ответ.    x=2πn,      x=−π 2 +2πn,n∈Z 4 способ.  С учетом множества значений функций       cos x – sin x = 1 Разность косинуса и синуса одного угла может быть равна 1,  если  а)    {cosx=1 sinx=0          и      б)  { cosx=0 sinx=−1           1 0 ­1 Откуда получим    x=2πn,      x=−π 2 +2πn,n∈Z Задание 3. Решите уравнение   cos x + sin x = 7. Решение. Учитывая множество значений функций y=cos x   и  y=sin x, которыми являются отрезки  [−1;1]     ,  сумма  не может быть равна 7. Поэтому, уравнение корней не имеет. Ответ. Корней нет. Тригонометрические выражения, уравнения и отбор корней присутствуют в заданиях ЕГЭ по  математике базового и профильного уровней.  Задание 4.  (базовый уровень ЕГЭ) Найдите значение выражения     59 cos214°+cos2104° ¿ 59 Решение.     ¿ Ответ. 59. 4 этап ­ Компьютерное тестирование. N Задание 59 = cos214°+cos2104° cos214°+cos2(90°+14°) 59 = cos214°+s∈¿214°=59 1 =59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Вычислить cos 600 Вычислить sin 1200 Вычислить  tgπ 4 1 √2 2 −1 2 3 Вариант ответа 2 √3 2 √3 2 1 2 −√3 2 0 1 1 2 4 1 1 2 √3 π 2 +2πn Решить уравнение  cos x= ­1 2Пп П+2Пп 0 Решить уравнение  sin x = 1 Решить уравнение  cos x=0 Решить уравнение  tg x=1 Упростите выражение  sin⁡(π+α) Упростите выражение  Упростите выражение  3π 2 (¿−α) cos¿ π 2 (¿+α) sin ¿ 2Пп π 2 Пп П 2 +πn π π 2 +2πn π 4 2П 900 600 −sin∝ sin∝ −cosα cosα 1800 450 −cosα cosα −sin∝ sin∝ sin∝ −sin∝ cosα −cosα Исторический материал  (сообщение) Учащиеся, которые изучают свойства тригонометрических функций, решают уравнения, неравенства,  пользуются функциями тригонометрии, должны помнить имя этого ученого.  Леонард Эйлер – крупнейший математик 18­го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и  работал в России, член Петербургской академии. Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого? К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений,  формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках  тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции  понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид.  Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать  не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких  основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для  обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x.  На пороге 18­го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до  этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал  тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть  общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение  треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером. Задание 5. (профильный уровень ЕГЭ) ЕГЭ. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся, стр.79,  5. Задачи повышенной сложности      5.1.13. а) Решите уравнение      log4(sinx+sin 2x+16)=2                       б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  [−4π;−5π 2 ]   Определите тип уравнения Наметьте план решения Выберите подходящий способ отбора корней тригонометрического уравнения:     ­ с помощью оси ОХ,  ­ с помощью единичной окружности, ­ с помощью двойного неравенства, ­ с помощью последовательного перебора целых значений n а) Решите уравнение      log4(sinx+sin 2x+16)=2   Решение.  log4(sinx+sin 2x+16)=2 log4(sinx+sin 2x+16)=log416 Решением данного уравнения является решение системы, состоящей из области определения логарифмической  функции и решения тригонометрического уравнения. {sinx+sin 2x+16>0, sinx+sin2x+16=16 1) sinx+sin2x+16>0       Учитывая множество значений функций y= sin x   и  y=sin 2x, которыми являются отрезки  [−1;1]     , сумма  может быть в промежутке (­2;2), а множество значений функции  y=sinx+sin2x+16    заключено в промежутке (14; 18). Поэтому, неравенство    sinx+sin2x+16>0      выполняется при любых  значениях х. Значит,   x∈R 2) sinx+sin2x+16=16 sinx+2sinxcosx=0 sinx(1+2cosx)=0 sinx=0или1+2cosx=0 x=πn,n∈Z              cosx=−1 2 x=±(π−π 3)+2πn,n∈Z 3 +2πn,n∈Z                                   x=±2π Таким образом, получаем систему    { Значит, решением уравнения является        x=πn,x=±2π x∈R x=πn,x=±2π 3 +2πn,n∈Z     б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  3 +2πn,n∈Z [−4π;−5π 2 ]                 -4П -3П 0 2П 3 П −5П 2 -2П - П x −2П 3 у 1 - 3П 0 -4П х −5П 2 Ответ. а)  x=πn,x=±2π 3 +2πn,n∈Z        б)  х1=−4π,х2=−10π 3 ,х3=−3π,х4=−8π . 3 Задание 6. При каких значениях а  уравнение   sin4x+cos4x=a  имеет корни. Найдите эти  корни. Решение.  (продемонстрировать на слайде, используя опцию «шторка») sin4x+cos4x=a Преобразуем правую часть уравнения   (sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x=a 1−1 2 sin22x=a             sin22x=2−2a Полученное уравнение имеет корни, если  0≤2−2a≤1 , откуда   1 2 ≤a≤1 Таким образом, при      1 2 ≤a≤1     исходное уравнение имеет корни. sin2x=±√2−2a                                        sin2x=−√2−2asin2x=√2−2a 2x=(−1)n+1arcsin√2−2a+πn,n∈Z             2x=(−1)narcsin√2−2a+πn,n∈Z       или       2x=±arcsin √2−2a+πn,n∈Z        x=±1 2 arcsin√2−2a+πn 2 ,n∈Z        Ответ. При    1 2 ≤a≤1     уравнение имеет корни     x=±1 2 arcsin√2−2a+πn 2 ,n∈Z       5 этап  ­ заключительный Информация о домашнем задании и инструктаж о её выполнении. s∈¿2x−cosy=1 {¿cos2x−siny=1 1) по учебнику: №317(4) Решите систему уравнений, используя метод сложения 2) ЕГЭ. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся, стр.79   №5.1.14. а) Решите уравнение      log7(2cos2x+3cosx−1)=0      [−7π 2 ;−2π] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  3) подготовиться к тестовой работе по теме «Тригонометрия» Итог урока. Вывод:  ­ обобщили знания и отработали навыки решения тригонометрических уравнений различными  способами, провели подготовку к ЕГЭ; ­ развили чувство самостоятельности и ответственности за качество своих знаний; ­ развили навыки самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных  действий. Оценивание:  ­ За работу у доски ­ За активное участие на уроке Оценка работы N 1     2       3   Этапы урока Повторение ранее изученного *Знание формул, правил  *Применение формул и правил на практике Закрепление ранее изученного материала   *Преобразование  выражений   *Решение уравнений   * Отбор корней Тестирование (компьютерное) Оценка за работу на уроке Рефлексия Выразите свое отношение к уроку. Постройте на листах контроля график функции y=cosx и  поставьте смайлик в том месте графика, которое отражает ваши ощущения на уроке: чувствовали ли вы  себя на гребне волны или же, наоборот, в самой нижней точке. Предлагаю закончить урок словами чешского педагога Яна  Амоса Коменского: «Считай несчастным  тот день и тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию». Спасибо за хорошую работу на уроке. До свидания. Лист рефлексии                                   Фамилия, имя__________________ № 1 2 3 4 Вопрос Комфортно ли вам было на уроке? Поняли ли вы материал урока? Требовалась ли вам помощь: а) учителя б) учебника в) соседа по парте? Оцените свою работу на уроке по  пятибалльной системе. Ответ ( +  или  ­  ) . . . . . . Лист рефлексии                                   Фамилия, имя__________________ № 1 2 3 4 Вопрос Комфортно ли вам было на уроке? Поняли ли вы материал урока? Требовалась ли вам помощь: а) учителя б) учебника в) соседа по парте? Оцените свою работу на уроке по  пятибалльной системе. Ответ ( +  или  ­  ) . . . . . . ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Лист рефлексии                                   Фамилия, имя__________________ № 1 2 3 Вопрос Комфортно ли вам было на уроке? Поняли ли вы материал урока? Требовалась ли вам помощь: а) учителя б) учебника в) соседа по парте? Ответ ( +  или  ­  ) . . . . . 4 Оцените свою работу на уроке по  пятибалльной системе. . Оценочный лист N 1     2       3   Этапы урока Повторение ранее изученного *Знание формул, правил  *Применение формул и правил на практике Закрепление ранее изученного материала   *Преобразование  выражений   *Решение уравнений   * Отбор корней Тестирование (компьютерное) Оценка за работу на уроке Оценка работы -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------- Оценочный лист N 1     2       3   Этапы урока Повторение ранее изученного *Знание формул, правил  *Применение формул и правил на практике Закрепление ранее изученного материала   *Преобразование  выражений   *Решение уравнений   * Отбор корней Тестирование (компьютерное) Оценка за работу на уроке Оценка работы -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ Оценочный лист N 1     2       3   Этапы урока Повторение ранее изученного *Знание формул, правил  *Применение формул и правил на практике Закрепление ранее изученного материала   *Преобразование  выражений   *Решение уравнений   * Отбор корней Тестирование (компьютерное) Оценка за работу на уроке Оценка работы Формулы тригонометрии