Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"
Оценка 4.9

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Оценка 4.9
Занимательные материалы +7
docx
информатика +1
9 кл
27.05.2017
Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"
арифметическая и геометрическая прогрессии.docx
Слайд 1 Слайд 2 Слайд 3 Арифметическая и геометрическая прогрессии алгебра 9 класс (урок математики с применением ИКТ) Арифметическая   и   геометрические прогрессии. Алгебра 9 класс. Цели урока:   обобщение   и Образовательные:   теоретических систематизация знаний учащихся по изученной теме; подготовка к ГИА;  Развивающие: математического учащихся   и   навыков. содействовать Воспитательные: воспитанию интереса к математике и её приложениям. развитие   мышления вычислительных           “Арифметическая Тип урока: урок повторения. Оборудование: компьютер, мультимедийный   проектор,   экран, карточки Сегодня   пред   последний   урок   по главе и геометрическая прогрессии”. Перед вами задача ­ показать, как вы знаете формулы   прогрессии   и   умеете   их применять   при   решении   различных задач. На   столах   лежат   задания   к   уроку, ваша цель внимательно работать на уроке   и   по   ходу   урока   заполнить таблицу: Слайд 4 Слайд 5 Слайд 6 Слайд 7 Слайд 8 (шкала Лист   самооценки.   За   каждый правильный   ответ   при   опросе   и   за участие на различных этапах урока ставьте   один   плюс.   «5»   ­   более   9 плюсов «4» ­ от 5 до 8 плюсов менее   5   плюсов   –   оценку   не заработал.   может варьироваться) Эпиграф урока «Дороги   не   те     которые откладываются в мозгу, как   которые жир, превращаются     умственные мышцы». (Герберт   Спенсер, философ)   дороги   те,   английский знания, в   Вспомните   формулы   по   теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия»   и   в   тесте   соотнесите формулу с её описанием. Нажать   на   прямоугольник   для запуска   теста.   После   завершения тестирования закройте окно теста. За   каждый   верный   ответ   в   Лист самооценки ставится «+». Тест.  Если тест не запустится, то на левой области   экрана   нажмите   правую кнопку мыши и в меню Adobe  Flash Player пункт «Воспроизвести» Кнопка завершения работы с тестом появится через 20 секунд выберите         Устная работа какая Определите является последовательность   или арифметической геометрической прогрессией, найдите, соответственно, разность и знаменатель, проверке повторить определение прогрессий. • Дайте определение арифметической при       прогрессии. • Какой   буквой   обозначают   разность арифметической прогрессии? • Что   означает   разность арифметической прогрессии? • Дайте   определение   геометрической прогрессии. • Какой   буквой знаменатель прогрессии?     обозначают геометрической • Что   означает   разность геометрической прогрессии? Слайд 9 Слайд 10 • Какая   прогрессия   называется возрастающей? • Какая   прогрессия   называется убывающей?     выберите Проверка   ответа   происходит   при нажатии   на   прямоугольник   со стрелкой. Нажатие на пустое место экрана   выводит   «вопросительный знак»   подсказка   в   соответствии   с заданием со страниц учебника. За   каждый   верный   ответ   в   Лист самооценки ставится «+». Тест. Если тест не запустится, то на левой области   экрана   нажмите   правую кнопку мыши и в меню Adobe  Flash Player пункт «Воспроизвести» Нажатие   на   вопросительный   знак перенаправляет   на   правило   из учебника Назад в историю. На   связь   между   прогрессиями первым   обратил   внимание   великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э.) Термин   «прогрессия»   был   введён римским автором Боэцием (в 6 веке) и   понимался   в   более   широком смысле,   как   бесконечная   числовая последовательность.   В   переводе   с латинского, слово   progressio означает   «движение   вперёд». Названия   «арифметическая»   и «геометрическая»   были   перенесены из   теории   непрерывных   пропорций, которыми занимались древние греки. Формула членов арифметической   прогрессии   была доказана   древнегреческим   учёным Диофантом   (в   3   веке).   Формула суммы   членов   геометрической прогрессии   дана   в   книге   Евклида «Начала» (3 век до н.э.). суммы Правило   для   нахождения   суммы членов произвольной   арифметической прогрессии впервые   встречается   в   сочинении «Книги   абака»   в   1202г.   (Леонардо Пизанский) А общее правило для суммирования любой   конечной   геометрической прогрессии   встречается   в   книге Никола   Шюке   «Наука   о   числах», увидевшей свет в 1484 году. Работа у доски.  В   тетрадях   запишите   сегодняшнее число, тема урока «Арифметическая и   геометрическая   прогрессия», «Классная работа». Четыре ученика выходят к доске и решают по одному заданию на свой выбор. Остальные решают на местах. Карточки с заданиями прилагаются. При нажатии на каждое из заданий откроется слайд с решением задания (слайды 25­28), возврат из которого происходит   при   нажатии   на соответствующую кнопку. За   каждое   верное   решение   и комментарий   решения   в   Лист самооценки ставится «+».           (аn)   геометрическая арифметическая арифметическая 1)Дано: прогрессия а1 = 5,    d = 3 Найти: а6 ; а10 ? 2)Дано: (bn) прогрессия b1= 5,    q = 3 Найти: b3 ; b5 ?  3)Дано: (аn) прогрессия а4 = 11,    d = 2 Найти: а1 ? 4)Дано:   прогрессия b4= 40,    q = 2  Найти: b1 ? Физкультминутка. Нажать   на   смайлик   для   начала физкультминутки. Продолжение ­ слайд 33 геометрическая (bn)   Слайд 11 Слайд 12 Слайд 13 Слайд 14 Слайд 15 Слайд 16 Слайд 17 Цитата часа. «Умение   решать   задачи   – практическое   искусство,   подобное плаванию   или   катанию   на   лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому   можно   лишь   подражая избранным   образцам   и   постоянно тренируясь». (Дьёрдь математик)   швейцарский   Пойа,       (аn)  арифметическая Только   самостоятельно   решая задачи вы научитесь их решать Характерное свойство арифметической   прогрессии.   При нажатии   на   «вопросительный   знак» выводится   правило   из   учебника. Ученики   должны   записать   образец решения себе в тетрадь. Дано: прогрессия а4=12,5 ;  а6=17,5  Найти: а5 ? Характерное свойство геометрической   прогрессии.   При нажатии   на   «вопросительный   знак» выводится   правило   из   учебника. Ученики   должны   записать   образец решения себе в тетрадь. Дано: прогрессия , bn >0 b4=6;  b6=24      Найти: b5 ? При   решении   самостоятельной работы   следует   ответы   на   задания перенести в бланк ответов №1 ГИА. Рекомендуется в начале объяснить и повторить   правила   заполнения бланка. геометрическая (bn)     Самостоятельная работа. Задания   на   печатных   карточках   у учащихся. 1) Дано: (аn), а1 = ­ 3, а2 = 4. Найти: а16 – ?        2) Дано: (bn),  b12  = ­ 32,  b13  = ­ 16. Найти: q – ?  3) Дано: (аn),  а21  = ­ 44,  а22  = ­ 42. Найти: d – ? Слайд 18 Слайд 19 4) Дано: (bn),  bп  >  0,  b2  =  4,  b4  =  9. Найти: b3 – ?    5) Дано: (аn), а1 = 28, а21 = 4. Найти: d – ?     6) Дано: (bn),  b1=1/2, q = 2. Найти: b5 – ?             7) Дано: (аn), а7 = 16, а9 = 30. Найти: а8 – ? Самостоятельная работа. По истечении отведённого на работу времени   учащиеся   обмениваются бланками   ответов   и   проводят поверку в соответствии с образцом на слайде. Каждое верное решение – «+» в лист самооценки.     встречается      Химия.    факты  Интересные из применения практического арифметической   и   геометрической прогрессии. Учащиеся с места читают по одному факту. 1)   При   повышении температуры   по   арифметической прогрессии   скорость   химических реакций   растёт   по   геометрической прогрессии. 2)  Геометрия.  Вписанные   друг   в друга   правильные   треугольники образуют геометрическую прогрессию.   Физика.  И   в   физических 3) процессах эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части.   Получаются   два   нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам,     раскалывает   их   ещё   на   4 части   и   т.д.   –   это   геометрическая прогрессия.  Биология.  Микроорганизмы 4) размножаются   делением   пополам, поэтому   при   благоприятных условиях,   одинаковый промежуток   времени   их   число удваивается. 5)  Экономика.  Вклады   в   банках увеличиваются по схемам сложных и   через Слайд 20 Слайд 21 Слайд 22 –         вклада   процентов.     Простые простых   увеличение проценты в первоначального арифметической прогрессии, сложные   проценты   –   увеличение   в геометрической прогрессии. Домашнее   задание.   Из   сборника ГИА 6.1, 6.2, 6.5, 6.8. Используя   оценочные   листы, подводятся итоги работы на уроке. Объявляются оценки. Рефлексивный экран. Обычно   в   конце   урока   подводятся его   итоги,   обсуждение   того,   что узнали, и того, как работали – т.е. каждый   оценивает   свой   вклад   в достижение   поставленных   в   начале урока   целей,   свою   активность. Ребята   по   кругу   высказываются одним   предложением,   выбирая начало  фразы   из   рефлексивного экрана на доске сегодня я узнал… было интересно… было трудно… я выполнял задания… я понял, что… теперь я могу… я почувствовал, что… я приобрёл… я научился… у меня получилось … я смог… я попробую… меня удивило… урок дал мне для жизни… мне захотелось… Завершение урока. Урок сегодня завершён, Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни приведут! Слайд 23 Слайд 24 Урок окончен. Спасибо за урок!  Смена   данного   и   последующих слайдов происходит автоматически.     учреждений   Используемые   источники   и программное обеспечение Алгебра.   9   класс   :   учеб.   Для общеобразоват. / [Макарычев   Ю.Н.,   Миндюк   Г.Н., Нешков К.И., Суворова С.Б.] ; под ред. Теляковского С.А. – 16­е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 271 с. : ил. Канина   Г.   В.,   учитель   математики. Урок­презентация «Арифметическая и геометрическая прогрессия» [Электронный ресурс] – URL: http://festival.1september.ru/articles/53 4291/  (27.02.2013). Мелом   пишут   по   доске   [Звук]   – URL: http://zvuki­ tut.narod.ru/melom_pishut_po_doske/ Melom_pishut_po_doske.mp3 (28.02.2012). Пойа   Д.   [Картинка]   –   URL: http://www.apm.pt/pic/_polya_5252dff c9e0eb.jpg   (28.02.2013). Спенсер   Г.     [Картинка]   –   URL: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/thumb/9/96/Herbert_Spence r.jpg/389px­Herbert_Spencer.jpg (28.02.2013). Шалкина С. В., учитель математики. Здоровьесберегающие технологии на уроках   математики   [Электронный ресурс] URL: http://festival.1september.ru/articles/31 1946/  (01.03.2013). iSpring   Presenter   7   ­   разработка тестов и преобразование во flash. MS   PowerPoint   2010   ­   разработка презентации.   – Слайд 25 Слайд 26 Слайд 27 Слайд 28 Слайд 29        аn   . q2 = 5 . 32 = 5 . 9 = 4 5  . q4 = 5 . 34 = 5 . 81 = 405  Работа у доски. Задание 1 1)Дано:   ( )   арифметическая прогрессия. а1 = 5, d = 3. Найти: а6 ; а10 ? Решение:   используя   формулу а n = а1 + d . (n ­1) а6  = а1  + d . (6­1) = а1  + 5d = 5 + 5 . 3 = 20 а10  = а1  + d . (10­1) = а1  + 9d = 5 + 9 . 3 = 32  Ответ: 20; 32. Работа у доски. Задание 2 2)   Дано:   (  bn  )   геометрическая прогрессия b1  = 5, q = 3. Найти: b3 ; b5 ?  Решение:   используя   формулу bn = b1 q n­1 b3 = b1  b5 = b1   Ответ: 45;  405.  Работа у доски. Задание 3 3)   Дано:   (  аn  )   арифметическая прогрессия  а4  = 11,  d  = 2.     Найти: а1 ? Решение:   используя   формулу аn = а1 + d . (n ­ 1) а4 = а1 + d . (4 ­ 1);  а1= а4 ­ 3d = 11 ­ 3 . 2 = 5 Ответ: 5. Работа у доски. Задание 4 4)   Дано:   (  bn  )   геометрическая прогрессия b4= 40, q = 2. Найти: b1 ? Решение:  используя   формулу   bn = b1 q n­1 b4 =b1 q4­1 ;  b1 = b4 : q3 = 40 : 23  = 40 : 8 = 5  Ответ: 5. а4 = а1 + 3d;  b4 =b1 q3  «Кликните»   на   слайд   для   возврата на предыдущий слайд. Определение прогрессии арифметической Слайд 30 Слайд 31 Слайд 32 Слайд 33 Слайд 34 «Кликните»   на   слайд   для   возврата на предыдущий слайд. Свойство прогрессии арифметической   «Кликните»   на   слайд   для   возврата на предыдущий слайд. Определение прогрессии геометрической   «Кликните»   на   слайд   для   возврата на предыдущий слайд. Свойство прогрессии геометрической     не Гимнастика для глаз, вверх­вниз. Голову   держите   прямо, запрокидывайте. Мягко переводите глаза вверх и вниз 4   раза.   Глаза   должны   двигаться медленно и с равными интервалами. Не   прилагайте   никаких   усилий, используйте минимум силы. Гимнастика   для   глаз,   влево­ вправо.   Двигайте   глазами   из   стороны   в сторону максимальной амплитудой,   не   прилагая   усилий   4 раза. с Слайд 35 Слайд 36 Слайд 37 Слайд 38 Слайд 39 Гимнастика для глаз, диагональ. Взгляните   в  левый   верхний   угол,  а затем   переведите   взгляд   в   правый нижний.   Повторите   4   раза.   Затем сделайте 4 раза движение глазами из правого   верхнего   угла   в   левый нижний Гимнастика для глаз, овал. Двигайте глазами медленно и мягко по   овалу   в   одну   сторону,   затем   в другую,   по   4   круга   в   каждом направлении. Гимнастика для глаз, восьмёрка. А   сейчас   глазами   плавно   опишите горизонтальную   восьмёрку,   или   же символ бесконечности, максимального   размера   в   пределах лица. В одну сторону 4 раза, а после чего в другую 4 раза.   Гимнастика для глаз, моргание. Поморгайте   часто­часто, легко 4 секунды. Кликнуть на слайде «белок», чтобы поморгало   легко­ Гимнастика для тела. Нажмите   на   смайлик   для возвращения к уроку Вверх рука и вниз рука. Потянули их слегка. Быстро поменяли руки! Нам сегодня не до скуки. (Одна прямая рука вверх, другая  вниз, рывком менять руки). Крутим­вертим головой, Разминаем шею. Стой!  (Вращение головой вправо и влево). И на месте мы шагаем, Ноги выше поднимаем. (Ходьба на месте, высоко поднимая  колени). Потянулись, растянулись Вверх и в стороны, вперёд.  (Потягивания – руки вверх, в  стороны, вперёд). И за парты все вернулись – Вновь урок у нас идёт.  (Садимся за парты). Нажмите   на   смайлик   для возвращения к уроку Возвращение на слайд 13 Слайд 40 Слайд 41 Приложения Тестирование по формулам арифметической и геометрической прогрессии Лист самооценки Формулы Работа у доски Самостоятельная работа Бланк ответов №1 ГИА Арифметическая и геометрическая прогрессии Настройки Тип Всего вопросов Всего баллов Проходной балл Показать вопросы Перемешивать вопросы Запрашивать имя пользователя и e- mail Показать экран с результатами Если тест пройден Показать экран с результатами Если тест не пройден Ограничение по времени Значение Тест с оценкой 8 80 50% Все Да Нет 0:45:0 Да Да Вопрос 1. Выберите один правильный ответ, соответствующий формуле (Тип: Одиночный выбор, Баллов: 10, Попыток: 1) ( ) определение арифметической прогрессии определение геометрической прогрессии ( ) формула n-члена арифметической прогрессии ( ) ( ) формула n-члена геометрической прогрессии разность арифметической прогрессии (+) ( ) знаменатель геометрической прогрессии Вопрос 2. Выберите один правильный ответ, соответствующий формуле (Тип: Одиночный выбор, Баллов: 10, Попыток: 1) ( ) определение арифметической прогрессии определение геометрической прогрессии ( ) ( ) сумма n-первых членов арифметической прогрессии сумма n-первых членов геометрической прогрессии ( ) разность арифметической прогрессии ( ) (+) знаменатель геометрической прогрессии Вопрос 3. Выберите один правильный ответ, соответствующий формуле (Тип: Одиночный выбор, Баллов: 10, Попыток: 1) определение арифметической прогрессии (+) определение геометрической прогрессии ( ) ( ) n-член арифметической прогрессии n-член геометрической прогрессии ( ) разность арифметической прогрессии ( ) ( ) знаменатель геометрической прогрессии Вопрос 4. Выберите один правильный ответ, соответствующий формуле (Тип: Одиночный выбор, Баллов: 10, Попыток: 1) определение арифметической прогрессии ( ) определение геометрической прогрессии (+) ( ) формула n-члена арифметической прогрессии формула n-члена геометрической прогрессии ( ) разность арифметической прогрессии ( ) ( ) знаменатель геометрической прогрессии Вопрос 5. Выберите один правильный ответ, соответствующий формуле (Тип: Одиночный выбор, Баллов: 10, Попыток: 1) ( ) ( ) (+) ( ) ( ) ( ) определение арифметической прогрессии определение геометрической прогрессии формула n-члена арифметической прогрессии формула n-члена геометрической прогрессии сумма n-первых членов арифметической прогрессии разность арифметической прогрессии Вопрос 6. Выберите один правильный ответ, соответствующий формуле (Тип: Одиночный выбор, Баллов: 10, Попыток: 1) определение арифметической прогрессии ( ) определение геометрической прогрессии ( ) ( ) формула n-члена арифметической прогрессии формула n-члена геометрической прогрессии (+) сумма n-первых членов геометрической прогрессии ( ) ( ) знаменатель геометрической прогрессии Вопрос 7. Выберите один правильный ответ, соответствующий формуле (Тип: Одиночный выбор, Баллов: 10, Попыток: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) (+) ( ) определение арифметической прогрессии определение геометрической прогрессии формула n-члена арифметической прогрессии формула n-члена геометрической прогрессии сумма n-первых членов арифметической прогрессии сумма n-первых членов геометрической прогрессии Вопрос 8. Выберите один правильный ответ, соответствующий формуле (Тип: Одиночный выбор, Баллов: 10, Попыток: 1) определение арифметической прогрессии ( ) определение геометрической прогрессии ( ) ( ) формула n-члена арифметической прогрессии формула n-члена геометрической прогрессии ( ) сумма n-первых членов арифметической прогрессии ( ) (+) сумма n-первых членов геометрической прогрессии Создано с помощью iSpring QuizMaker www.ispring.ru Лист самооценки Этап урока Оценка Проверка знаний формул Устная работа Работа по карточкам Самостоятельная  работа Помощь с места ИТОГО: За каждый правильный ответ при опросе и за участие на различных этапах урока ставьте один плюс. «5» ­ более 9 плюсов «4» ­ от 5 до 8 плюсов менее 5 плюсов – оценку не заработал Лист самооценки Этап урока Оценка Проверка знаний формул Устная работа Работа по карточкам Самостоятельная  работа Помощь с места ИТОГО: За каждый правильный ответ при опросе и за участие на различных этапах урока ставьте один плюс. «5» ­ более 9 плюсов «4» ­ от 5 до 8 плюсов менее 5 плюсов – оценку не заработал Формулы Арифметическа Геометрическая я прогрессия прогрессия Определение a n d a n 1  1  a n d a n b n 1 qb n b 1 q n b n Формула  n­члена Сумма n  первых членов Характерное  свойство Формулы Определение Формула  n­члена Сумма n  первых членов разность арифметической  прогрессии знаменатель геометрической прогрессии an  a 1 ( nd  )1 b n  n qb 1 1 a 2 1  Sn  a n a n  nd ( 2   2 1 a  )1  n S n )1  n b (1  q 1 q  n  1 2 b n   b n b n 1  1 Арифметическа Геометрическая я прогрессия прогрессия a n d a n 1  1  a n d a n разность арифметической  прогрессии an  a 1 ( nd  )1 b n 1 qb n b 1 q n b n прогрессии b n  n qb 1 1 знаменатель геометрической a 2 1  Sn   )1  n nd ( 2 S n  n (1 b  q 1 q  )1 Характерное  свойство a n  a n  1 a n 1   2 2 b n   b n b n 1  1 Работа у доски 1) 2) Дано: (аn) арифметическая прогрессия  а1 = 5,    d = 3      Найти: а6 ; а10 ? Дано: (bn) геометрическая прогрессия  b1= 5,    q = 3 Найти: b3 ; b5 ?  3)  Дано: (аn) арифметическая прогрессия а4 = 11,    d = 2 Найти: а1 ? 4)  Дано: (bn) геометрическая прогрессия  b4= 40,    q = 2      Найти: b1 ? Работа у доски 1) 2) Дано: (аn) арифметическая прогрессия  а1 = 5,    d = 3      Найти: а6 ; а10 ? Дано: (bn) геометрическая прогрессия  b1= 5,    q = 3 Найти: b3 ; b5 ?  3)  Дано: (аn) арифметическая прогрессия а4 = 11,    d = 2 Найти: а1 ? 4)  Дано: (bn) геометрическая прогрессия  b4= 40,    q = 2 Найти: b1 ? Самостоятельная работа Решите задания в тетради, ответы перенесите в бланк ответов №1  ГИА 1) Дано: (аn), а1 = – 3, а2 = 4. Найти: а16 – ?  2) Дано: (bn), b12 = – 32, b13 = – 16. 3) Дано: (аn), а21 = – 44, а22 = – 42. 4) Дано: (bn), bп > 0, b2 = 4, b4 = 9. 5) Дано: (аn), а1 = 28, а21 = 4. 6) Дано: (bn), b1=1/2, q = 2. 7) Дано: (аn), а7 = 16, а9 = 30.           Найти: q – ?  Найти: d – ?  Найти: b3 – ?   Найти: d – ?    Найти: b5 – ?   Найти: а8 – ? Самостоятельная работа Решите задания в тетради, ответы перенесите в бланк ответов №1  ГИА 1) Дано: (аn), а1 = – 3, а2 = 4. Найти: а16 – ?  2) Дано: (bn), b12 = – 32, b13 = – 16. 3) Дано: (аn), а21 = – 44, а22 = – 42. 4) Дано: (bn), bп > 0, b2 = 4, b4 = 9. 5) Дано: (аn), а1 = 28, а21 = 4. 6) Дано: (bn), b1=1/2, q = 2. 7) Дано: (аn), а7 = 16, а9 = 30. Найти: q – ?  Найти: d – ?   Найти: b3 – ?    Найти: d – ?     Найти: b5 – ? Найти: а8 – ?

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"

Урок математики по теме "Арифметические и геометрические прогрессии"
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.