Урок "Метод рационализации в решении трансцендентных неравенств".

1. Анализ домашней работы На предыдущем уроке учащимся было предложено в домашней работе продумать возможные пути решения неравенств: Слайд 2 x+2 log5(¿)−1 ¿ 1 2 ¿ ¿ ¿ ¿ (¿¿x2−2−0,25) (log3x+2)(x2+x−12) №1 а) log1 2 (x2−6)−log1 2 3x−81 x ≤0; б) . Слайд 3 №1 (а) log1 2 (x2−6)−log1 2 3x−81 x ≤0 ❑ ⇔ 2 [{log 1 {log 1 2 x≤0, x≥0, (x2−6)−log1 2 3x−81>0; (x2−6)−log1 2 3x−81<0. Слайд 4 №1 (б) x+2 log5(¿)−1 ¿ 1 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ❑ ⇔ (¿¿x2−2−0,25) (log3x+2)(x2+x−12) x2+x−12≥0; [{ log3x+2≤0, { log3x+2≥0, x2+x−12≤0; log5(x+2)−1>0, log5(x+2)−1<0, x2+x−12≥; [ {log3x+2≥0, { log3x+2≤0, x2+x−12≤0; log5(x+2)−1<0, log5(x+2)−1>0, 1 2 ¿ ¿ 1 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ {¿ 1 2 ¿ ¿ 1 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ [ {¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Очевидно, что решения получаются громоздкими и следует поискать другой поход. 3. Актуализация знаний. Заметим, что множители, входящие в левые части неравенств содержат выражения, соответствующие монотонным функциям (логарифмической и показательной). Вспомним определения возрастающей и убывающей функций. Слайд 5 Анимация: бегущий вверх человечек Опр.1: Функция y=f(x) называется возрастающей, если для ∀x1∈D(f) и ∀x2∈D(f) имеет место x1f(x2) . ⇔ ❑ 4. Решение неравенств из домашней работы новым способом. Слайд 7 №1 (а) Соответствующая функция Эквивалентное Выражение из неравенства log1 2 (x2−6)−log 1 2 3x−34 f(t) xlog1 2 t 3t D(f) монотонность (0;+∞) убывающая R возрастающая Условия {x2−6>0, x>0 нет выражение −(¿¿2−6−x) x ¿ x−4 ≤0, log1 2 (x2−6)−log1 2 3x−34 x ≤0 ❑ ⇔{¿x2−6>0, x>0; x −(¿¿2−6−x) x−4 ⇔{ x2−x−6 x−4 x>0; ❑ ❑ (x+√6)(x−√6)>0, ≥0, ⇔{(x+2)(x−3) x−4 x>√6. ≥0, Ответ. √6 ¿ ;3] ∪(4;+∞). Слайд 8 №1 (б) Выражение из неравенства log3x−log3 1 9 Соответствующая функция f(t) log3t D(f) (0;+∞) монотонность возрастающая log5(x+2)−log55 log5t (0;+∞) возрастающая 0,5 ¿ ¿ ¿ (0,5)t R убывающая Эквивалентное выражение x− 1 9 x+2−5 x ¿ −¿ ¿ ) Условия x>0 x+2>0 нет log5(¿)−log55 (¿¿x2−2−(0,5)2) x+2 ¿ 0,5 ¿ ¿ ¿ 1 ¿ (log3x−log3 9)(x2+x−12) ⇔ {−(x−1 ❑ 9)(x2+x−12) (x+2−5)(x2−2−2) x>0, x+2>0; ≤0, ❑ ⇔ 9)(x+4)(x−3) (x−3)(x+2)(x−2) {(x− 1 x>0. ≥0, Ответ. 0;1 9 ¿ ] ∪(2;3)∪(3;+∞). 5. Самостоятельное (с обсуждением и корректировкой) решение неравенств. Слайд 9 №2 (а) log0,2(x2+4x)+1 (x2−x−2)(0,3x2−2x+0,027)   ≥0 (0,3x2−2x+0,027) ×    (0,3x2−2x+0,027)>0   при  ∀x∈R , причём {−x2+4x−5 x2−x−2 x2+4x>0; ≥0, ❑ ⇔{ (x+5)(x−1) (x+1)(x−2) x(x+1)>0. ≤0, x∈¿∪[1;2). Ответ. [−6;−5]∪[−5;−4). Слайд 9 №2(б) (¿¿22(x−x2)−4)ln ⁡(x2−x+1) logx+1(2x−1)−2 log ¿ ≥0; x2−x+1 ln (¿−0) ¿ ¿ (log2(x−x2)−2)(log2(x−x2)+2)¿ (log2(x−x2)−log24)(log2(x−x2)−log2 logx+1(2x−1)−logx+1(x+1)2 1 4 )(ln(x2−x+1)−ln 1) ≥0 . Логарифмическая функция y(t)=log2t на D(y)=(0;+∞). Заметим, что для существования решения неравенства необходимо выполнение условия x−x2>0 , то есть x∈(0;1) . А при x∈(0;1) : x+1>1 и логарифмическая функция с соответствующим основанием возрастает на своей области определения. Получим равносильную систему: 4)(x2−x+1−1) {(x−x2−4)(x−x2− 1 2x−1−(x+1)2 x−x2>0; 2x−1>0 x2−x+1>0(вернопри∀x∈R); ≥0; ❑ ⇔{(x2−x+4)(4x2−4x+1)(x2−x) −x2−2 x(x−1)<0; x>0,5. ≥0; Учитывая, что x2−x+4>0при∀x∈R и −x2−2<0при∀x∈R, получим {(x−0,5)2x(x−1)≤0; Ответ. x∈(0,5;1). 7. Итоги урока и домашнее задание. x∈(0,5;1). 0,50 , 2 x4−64 log√2 √3x−2−x (arccos −5−x 3)(log0,5(x2+x)+1) –π 2 √x2−x−2+x ≤0 . [№4] Функция f(t) определена и строго убывает на всей числовой прямой. Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству (f(3x2−3x)−f(8x−6))(f(log4 2x2−15log4x+3)−f(−1+2log4x)) f(2x)−f(0) >0 . Слайд 11 Как представить x в виде квадратного корня? Если x≥0 , x=√x2 . Если x≤0 , x=−√x2 . Б) 2 x4−64 log√2 √3x−2−x >0 Как представить √3x−2−x в виде разности значений монотонной функции y=√t ? И почему? В) (arccos −5−x 3)(log0,5(x2+x)+1) –π 2 √x2−x−2+x ≤0 . Как представить √x2−x−2+x в виде разности значений монотонной функции y=√t ? И почему? Примечание: пишут учащиеся открывает или пишет учитель