Урок: Решение треугольников. Теорема косинусов, теорема синусов.

Решение треугольников Урок 1: Теорема косинусов, теорема синусов. Цели:  Обобщить   и   систематизировать   знания   по   теме   «Теорема   косинусов», «Теорема   синусов»   и   умение   применять   их   при   решении   задач,  в   том   числе   и практического характера. Углубить знания в пределах темы. Ход урока: 1.  Актуализация опорных теоретических знаний. Учащиеся работают в группах из четырех человек. Учебные группы сформированы из учащихся с неравными возможностями. На каждом столе имеются тематические опорные   таблицы.   Из   учащихся   с   высокими   учебными   возможностями   можно создать   отдельную   группу,   они   могут   самостоятельно   повторить   теорию   и приступить к решению задач. Таблица1. Тригонометрические функции острого угла: sinА=ВС АВ cosА=АС АВ tgA=BC AC ctgA= AC BC Таблица2. Теорема косинусов: а2 = b2 + c2 – 2bc  ∙cosα b2 = a2 + c2 – 2bc  ∙cos⁡β c2 = b2 + a2 – 2ab  ∙cosγ Следствие: а2 = b2 + c2  ± 2аbс и т.д. (bс   – проекция на с) Теорема синусов: sinβ= c sinα= b a sinγ A C B γ c b α а β Решение треугольников (ключевые задачи) I тип – по стороне и двум прилежащим к Дано: а,  .α β , a β α ней углам Найти:  , с, γ b. γ Решение: α β  +  ); sinβ  → b=asinβ ; sinα  = 180º ­ ( a sinα= b sinα= c a sinγ    → c=asinγ sinα  . γa b Дано: a, b, γ. , α β c. Найти:  ,  II тип – по двум сторонам и углу между ними III тип – по трем сторонам Решение:  → c2 = b2 + a2 – 2ab  ∙cosγ   с =  √b2+a2–2ab∙cosγ а2 = b2 + c2 – 2bc  ∙cosα  → cosα=с2+b2−a2 2bc . b2 = a2 + c2 – 2bc  ∙cos⁡β  → cosβ=a2+c2−b2 2ac . b β Угол  a   c  можно найти из равенства  α β γ  +   +   = 180º. Дано: а, b, c. α β γ ,  ,  . Найти:  Решение: а2 = b2 + c2 – 2bc  ∙cosα  → cosα=с2+b2−a2 2bc   c2 = b2 + a2 – 2ab  ∙cosγ   cosγ=а2+b2−с2 2аb    → b2 = a2 + c2 – 2bc  ∙cos⁡β  → cosβ=a2+c2−b2 2ac . 2. Решение задач. 1­ый уровень: Задачи по готовым чертежам 1) Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 2 √3   и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите наибольший катет. (Ответ 6) 2) В равнобедренном треугольнике АВС  В = 120º. Расстояние от точки М, лежащей   внутри   треугольника,  до   основания   равно  2 √3 ,  а  до   боковых сторон равно 1. Найдите АС. (Ответ 16) ∟ 2­ой уровень: 1) В треугольнике АВС известны стороны АВ = 4 см, ВС = 5 см, АС = 6 см.  Найдите косинус  В. Определите острым или тупым является  В. (Ответ ∟ ∟ ,∟В−острый ) 1 8 2) Стороны треугольника 4м, 5 м, 6м. Найдите проекции сторон 4м и 5м на  третью сторону. (Ответ 2,25м, 3,75 м) 3) Найдите отношения сторон АС:ВС и АВ:ВС в треугольнике АВС, в котором  ∟ А = 120º,  В = 30º. ( АС:ВС =  ∟ √3:3  и АВ:ВС =  √3:3 ) 4) Найдите углы треугольника со сторонами 5 см, 12 см,13 см. (ответ: дан  прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см, синусы его острых углов  равны  5 13 и12 13  ) 3­ий уровень: (для учащихся с высоким уровнем подготовки) 1) Используя теорему Задачи с практическим  применением: косинусов, определите  расстояние между пунктами М и N, между которыми расположен пруд.  (ответ МN =  √m2+n2−2mncosα  ) а) б) 2) Длина маятника равна l м, высота его подъема (от вертикального положения) при отклонении на угол  h м. найдите расстояние от конца маятника при данном отклонении от вертикальной прямой, до его первоначального спокойного состояния. (ответ BH = (l ­ h)tg ) ψ  равна  ψ 3) Объясните по рисунку, как было определено расстояние от данного пункта А   до   недоступного   пункта   С,   для   которого   нельзя   произвести непосредственное измерение расстояния АС. 3. Домашнее задание. 1) В треугольнике АВС АС = 17 см, ВС = 8 см, АВ = 15 см. Найдите  cosС . 2) Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами  A и B, расположенными на разных берегах озера.  3)   как   определяли расстояние между двумя недоступными объектами E и F, находящимися на другом берегу реки. Объясните предложенный способ определения EF. На   рисунке   показано,