Внеурочный курс по математике для 8 классов по теме: "Действия над функциями"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Молчановская средняя общеобразовательная школа № 2» Внеурочный курс по математике «Действия над функциями» для 8 классов. Выполнила: Савченко Мария Анатольевна -учитель математики 1 категории Молчаново 2017 г. Курс «Действия над функциями» позволит углубить знания учащихся по истории возникновения понятия, по способам задания функций, их свойствам, а также раскроет перед школьниками новые знания построения графиков. Курс углубит знания о геометрических преобразованиях графиков, выходящие за рамки школьной программы. Графики суммы ,разности, произведения и частного двух функций также можно построить без применения методов математического анализа, используя определенные правила. Особенно эффективен этот метод в случае, когда исходные функции являются элементарными. Курс подается в лекционно- практической форме. Тема: Действия над функциями. Цель: Создание условий для интеллектуального развития учащихся, формирования качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе. Задачи: - закрепление основ знаний о функциях и их свойствах; - расширение представлений о свойствах функций; - формирование умений «читать» графики и называть их свойства; - формирование основ новых знаний о построении графиков функций и функционально-графического подхода к решению различных задач; - строить графики функций путем геометрических преобразований и новым способом, исследовать функцию на наименьшее и наибольшее значения с помощью функционально-графического подхода . Ход занятия: 1. Сообщение об истории возникновения функции. Найти в интернет- ресурсах или дать возможность учащимся самим найти материал и сделать сообщение на занятии. 2. Элементарные функции ,их графики и свойства. Повторение. 3. Устная работа на занятии. «Чтение» графика функции , указание свойств. Можно использовать задания из КИМов. 4. Записываем в чем заключается процесс построения графика суммы (разности, произведения, частного ) двух функций: строим два графика для обеих функций ,а затем складывают(вычитают, умножают, делят) ординаты этих кривых при одних и тех же значениях х. По полученным точкам строят искомый график и выполняют проверку в нескольких контрольных точках. Привлечь презентацию и построенные графики в Microsoft Excel. Сумму, разность, произведение, частное функций рассматриваем на простых примерах, опираюсь на знания учащихся об элементарных функциях школьной программы. Познакомить с алгоритмом построения графика новым способом. По этим точкам построить график данной функции. Представим данную функцию в виде суммы (разности, произведения, Составим таблицу значений этих функций. Найти сумму (разность, произведение, частное) соответствующих Алгоритм построения: 1. частного )двух элементарных функций. 2. 3. ординат для одних и тех же значений абсцисс. 4. Пример 1. Рассмотрим функцию у=х2+х, представим ее как сумму двух элементарных функций у1=х2 иу2=х. Имея дело с любой функцией действуем по плану: формула-таблица-график. Только мы не будем составлять таблицу отдельно для каждой функции, а составим следующую таблицу для х€[-4;4] с шагом 0,5 ( с помощью Microsoft Excel заполним таблицу и построим график см. приложения). - - х 3 2,5 9 6,2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 - - 1 0,5 1 0,2 - - 2 1,5 4 2,2 -4 -3,5 4 6,2 0 0,2 1 2,2 3,5 9 у=x2 1 6 -4 -3,5 12,2 5 y=x y=x2 +x 1 2 5 - 2,5 8,75 6 3,7 - 3 5 5 - - 2 1,5 2 0,7 5 5 - 0,5 - 1 0 - 0,2 5 4 1 6 4 12,2 5 3,5 5 5 5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,7 5 2 3,7 5 6 8,7 5 1 2 15,7 5 2 0 (Если нет возможности использовать Microsoft Excel, то взять шаг=1 и сосчитать значения у1=х2 и у2=х, а значения в третьем столбце сосчитать так: у= у1+у2 (при х=-4,у=16+(-4)=12 и т. д.). Строим все три графика , показываем как получить ординату нужной нам функции - складываем ординаты двух предыдущих элементарных функций. С помощью Microsoft Excel графики моментально «строятся» (см. приложения). Затем учащиеся самостоятельно строят график функции у=-3/х +х2 [ у=х2+2х-1],опираясь на разобранный пример, находят наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2;0). Заполним таблицу для этих значений х с шагом =1. Вариант 1 х У1=-3/х У2=х2 У=у1+у2 Без построения графика из таблицы видно, что унаим.=нет, унаиб.=5 ½. Вариант 2 х -2 3/2 4 5 1/2 -1 3 1 4 0 - 0 - -1 -2 0 У1=х2 У2=2х-1 У=у1+у2 4 -5 -1 1 -3 -2 0 -1 -1 Без построения графика из таблицы видно, что унаим.=-2, унаиб.=-1 1,5 6 1,5 7,5 2 4,5 2 6,5 3 3 3 6 4 2 1/4 4 6 1/4 4,5 2 4,5 6,5 2,5 18/5 2,5 6,1 3,5 18/7 3,5 6 1/14 Рассмотрим 12 задание ЕГЭ (профильный уровень): «Найдите наименьшее значение функции у=9/х + х на отрезке [1;4,5]. Представим функцию в виде суммы двух элементарных функций у1=9/х и у2=х, первая функция убывает на заданном отрезке, вторая - возрастает, поэтому возникают трудности при выполнении этого задания, лучше составить таблицу для этих значений х с шагом=0,5. х 1 9 у1=9/х 1 у2=х у=9/х 10 +х Из таблицы видно, что унаим.=6 в точке х=3, унаиб.=10 в точке х=1. Контрпример: найдите наименьшее значение функции у=х2+х на отрезке [1;4,5], У=у1+у2, У1=х2 возрастает на данном промежутке, y=x тоже возрастает на данном промежутке ,значит наша функция возрастает на данном промежутке и наименьшее значение функция будет иметь на левом конце отрезка ,т.е. в точке х=1 ,унаим.=2,а наибольшее значение на правом конце отрезка, т.е. в точке 4,5,унаиб.=24,75. Примеры на разность двух функций: 1.у=х2-х (таблицу и график см. в приложении) 2.у=х3-10(для самостоятельного решения) 3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=2/х – х на отрезке [- 4;-1] (задание повышенной сложности) Примеры на произведение двух функций: 1.у=х(х+1) (таблицу и график см. в приложении) 2.у=х2(х+1) (для самостоятельного решения) 3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции .у=х2(х+1) на отрезке [-2;2] (задание повышенной сложности) Примеры на частное двух функций: 1.у=х2/10 (таблицу и график см. в приложении) 2.у=х2/х (для самостоятельного решения) 3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции .у=х2 /(х+1) на отрезке [0;4] (задание повышенной сложности) Рассмотрим задание повышенной сложности : «Построить график функции у=(х2+2х-3)/(х-3) и исследовать на наибольшее и наименьшее значения». Выделим целую часть : разделить уголком многочлен х2+2х-3 на многочлен х- 3, получаем функцию у=(х+5) +12/(х-3), где (х+5) – целая часть, 12/(х-3) – дробная часть, разобьем эту функцию на сумму двух элементарных функций у=х+5 и у=12/(х-3) и строим график этой функции по нашему способу. Из таблицы увидим наибольшее и наименьшее значения функции, без нахождения производной. Или построить график функции у=sinx+cosx новым способом . Учитель по своему усмотрению подбирает примеры. Описание учебно-методического и материально- технического обеспечения образовательного процесса: 1. А. Г. Мордкович, Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / А.  Г. Мордкович. ­ М.: Мнемозина, 2015.  2. А. Г. Мордкович, Алгебра. 8 класс: задачник для общеобразовательных учреждений. ­  М.: Мнемозина, 2015.  3. Л. А. Александрова, Алгебра 8 класс: самостоятельные работы для  общеобразовательных учреждений. ­ М.: Мнемозина, 2010.  4. А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская Алгебра: тесты для 7­9 классов  общеобразовательных учреждений. ­ М.: Мнемозина, 2013.  5. КИМы поматематике 9,11 классы, графические задания (чтение графиков, задания на  нахождение наименьшего и наибольшего значения функции) 6.Интернетресурсы, навыки работы в Microsoft Excel Список литературы: 1.Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М.,1978. 2.Ершов Л.В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций: Книга для учителя. М., 1994. 3.Егерев В. К., Радунский Б.А., Тальский Д. А.. Методика построения графиков функций. М., 1967. 4.Шилов Г.Е. Как строить графики? М., 1982.