Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Молчановская средняя общеобразовательная школа № 2»
Внеурочный курс по математике
«Действия над функциями» для 8 классов.
Выполнила: Савченко Мария Анатольевна
-учитель математики 1 категории
Молчаново 2017 г.
Курс «Действия над функциями» позволит углубить знания учащихся
по истории возникновения понятия, по способам задания функций, ихсвойствам, а также раскроет перед школьниками новые знания
построения графиков. Курс углубит знания о геометрических
преобразованиях графиков, выходящие за рамки школьной программы.
Графики суммы ,разности, произведения и частного двух функций
также можно построить без применения методов математического
анализа, используя определенные правила. Особенно эффективен этот
метод в случае, когда исходные функции являются элементарными.
Курс подается в лекционно- практической форме.
Тема: Действия над функциями.
Цель: Создание условий для интеллектуального развития учащихся,
формирования качеств мышления, характерных для математической
деятельности и необходимых человеку для жизни в современном
обществе.
Задачи:
- закрепление основ знаний о функциях и их свойствах;
- расширение представлений о свойствах функций;
- формирование умений «читать» графики и называть их свойства;
- формирование основ новых знаний о построении графиков функций и
функционально-графического подхода к решению различных задач;
- строить графики функций путем геометрических преобразований и
новым способом, исследовать функцию на наименьшее и наибольшее
значения с помощью функционально-графического подхода .
Ход занятия:
1. Сообщение об истории возникновения функции. Найти в интернет-
ресурсах или дать возможность учащимся самим найти материал и
сделать сообщение на занятии.
2. Элементарные функции ,их графики и свойства. Повторение.
3. Устная работа на занятии. «Чтение» графика функции , указание
свойств. Можно использовать задания из КИМов.
4. Записываем в чем заключается процесс построения графика суммы
(разности, произведения, частного ) двух функций: строим два графика
для обеих функций ,а затем складывают(вычитают, умножают, делят)
ординаты этих кривых при одних и тех же значениях х. По полученным
точкам строят искомый график и выполняют проверку в нескольких
контрольных точках. Привлечь презентацию и построенные графики в
Microsoft Excel. Сумму, разность, произведение, частное функций
рассматриваем на простых примерах, опираюсь на знания учащихся об
элементарных функциях школьной программы. Познакомить с
алгоритмом построения графика новым способом.По этим точкам построить график данной функции.
Представим данную функцию в виде суммы (разности, произведения,
Составим таблицу значений этих функций.
Найти сумму (разность, произведение, частное) соответствующих
Алгоритм построения:
1.
частного )двух элементарных функций.
2.
3.
ординат для одних и тех же значений абсцисс.
4.
Пример 1. Рассмотрим функцию у=х2+х, представим ее как сумму двух
элементарных функций у1=х2 иу2=х. Имея дело с любой функцией действуем
по плану: формула-таблица-график. Только мы не будем составлять таблицу
отдельно для каждой функции, а составим следующую таблицу для х€[-4;4] с
шагом 0,5 ( с помощью Microsoft Excel заполним таблицу и построим график
см. приложения).
-
-
х
3
2,5
9 6,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
-
-
1
0,5
1 0,2
-
-
2
1,5
4 2,2
-4 -3,5
4 6,2
0 0,2
1 2,2
3,5
9
у=x2 1
6
-4 -3,5
12,2
5
y=x
y=x2
+x
1
2
5
-
2,5
8,75 6 3,7
-
3
5
5
-
-
2
1,5
2 0,7
5
5
-
0,5
-
1
0 -
0,2
5
4
1
6
4
12,2
5
3,5
5
5
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0 0,7
5
2 3,7
5
6 8,7
5
1
2
15,7
5
2
0
(Если нет возможности использовать Microsoft Excel, то взять шаг=1 и
сосчитать значения у1=х2 и у2=х, а значения в третьем столбце сосчитать так:
у= у1+у2 (при х=-4,у=16+(-4)=12 и т. д.). Строим все три графика , показываем
как получить ординату нужной нам функции - складываем ординаты двух
предыдущих элементарных функций. С помощью Microsoft Excel графики
моментально «строятся» (см. приложения). Затем учащиеся самостоятельно
строят график функции у=-3/х +х2
[ у=х2+2х-1],опираясь на разобранный пример, находят наибольшее и
наименьшее значения функции на отрезке [-2;0). Заполним таблицу для этих
значений х с шагом =1.
Вариант 1
х
У1=-3/х
У2=х2
У=у1+у2
Без построения графика из таблицы видно, что унаим.=нет, унаиб.=5 ½.
Вариант 2
х
-2
3/2
4
5 1/2
-1
3
1
4
0
-
0
-
-1
-2
0У1=х2
У2=2х-1
У=у1+у2
4
-5
-1
1
-3
-2
0
-1
-1
Без построения графика из таблицы видно, что унаим.=-2, унаиб.=-1
1,5
6
1,5
7,5
2
4,5
2
6,5
3
3
3
6
4
2 1/4
4
6 1/4
4,5
2
4,5
6,5
2,5
18/5
2,5
6,1
3,5
18/7
3,5
6 1/14
Рассмотрим 12 задание ЕГЭ (профильный уровень): «Найдите наименьшее
значение функции у=9/х + х на отрезке [1;4,5]. Представим функцию в виде
суммы двух элементарных функций у1=9/х и у2=х, первая функция убывает на
заданном отрезке, вторая - возрастает, поэтому возникают трудности при
выполнении этого задания, лучше составить таблицу для этих значений х с
шагом=0,5.
х
1
9
у1=9/х
1
у2=х
у=9/х
10
+х
Из таблицы видно, что унаим.=6 в точке х=3, унаиб.=10 в точке х=1.
Контрпример: найдите наименьшее значение функции у=х2+х на отрезке
[1;4,5], У=у1+у2, У1=х2 возрастает на данном промежутке, y=x тоже
возрастает на данном промежутке ,значит наша функция возрастает на
данном промежутке и наименьшее значение функция будет иметь на левом
конце отрезка ,т.е. в точке х=1 ,унаим.=2,а наибольшее значение на правом
конце отрезка, т.е. в точке 4,5,унаиб.=24,75.
Примеры на разность двух функций:
1.у=х2-х (таблицу и график см. в приложении)
2.у=х3-10(для самостоятельного решения)
3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=2/х – х на отрезке [-
4;-1] (задание повышенной сложности)
Примеры на произведение двух функций:
1.у=х(х+1) (таблицу и график см. в приложении)
2.у=х2(х+1) (для самостоятельного решения)
3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции .у=х2(х+1) на отрезке
[-2;2] (задание повышенной сложности)
Примеры на частное двух функций:
1.у=х2/10 (таблицу и график см. в приложении)
2.у=х2/х (для самостоятельного решения)3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции .у=х2 /(х+1) на отрезке
[0;4] (задание повышенной сложности)
Рассмотрим задание повышенной сложности : «Построить график функции
у=(х2+2х-3)/(х-3) и исследовать на наибольшее и наименьшее значения».
Выделим целую часть : разделить уголком многочлен х2+2х-3 на многочлен х-
3, получаем функцию у=(х+5) +12/(х-3), где (х+5) – целая часть, 12/(х-3) –
дробная часть, разобьем эту функцию на сумму двух элементарных функций
у=х+5 и у=12/(х-3) и строим график этой функции по нашему способу. Из
таблицы увидим наибольшее и наименьшее значения функции, без
нахождения производной. Или построить график функции у=sinx+cosx новым
способом . Учитель по своему усмотрению подбирает примеры.
Описание учебно-методического и материально-
технического обеспечения образовательного процесса:
1. А. Г. Мордкович, Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / А.
Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2015.
2. А. Г. Мордкович, Алгебра. 8 класс: задачник для общеобразовательных учреждений.
М.: Мнемозина, 2015.
3. Л. А. Александрова, Алгебра 8 класс: самостоятельные работы для
общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2010.
4. А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская Алгебра: тесты для 79 классов
общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2013.
5. КИМы поматематике 9,11 классы, графические задания (чтение графиков, задания на
нахождение наименьшего и наибольшего значения функции)
6.Интернетресурсы, навыки работы в Microsoft Excel
Список литературы:
1.Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М.,1978.
2.Ершов Л.В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций: Книга для
учителя. М., 1994.
3.Егерев В. К., Радунский Б.А., Тальский Д. А.. Методика построения
графиков функций. М., 1967.
4.Шилов Г.Е. Как строить графики? М., 1982.