Вокруг обыкновенных дробей

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Новосибирска «Средняя общеобразовательная школа № 182 с углубленным изучением литературы и математики имени 46-го гвардейского Таманского Краснознаменного ордена Суворова III степени женского авиационного полка легких ночных бомбардировщиков»

 (630088, Российская Федерация, Новосибирская обл., г. Новосибирск, ул. Зорге, дом 21, тел. 8 (383) 342-92-98)

 

 

 

 

 

Проект

 

Вокруг обыкновенных дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

Авторы-составители:

Прибыткова Злата Игоревна,

ученица 5 "А"

Учитель-консультант:

Качесова Олеся Михайловна,

учитель математики

высшей категории

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г.Новосибирск-2021

Оглавление                                                                                     Стр.

Введение                                                                                                   3

1. Понятие дроби                                                                                  4

1.1. Дроби разные нужны, дроби всякие важны                                4   

2. История возникновения дробей                                                      5   

2.1. Дроби в Древнем Египте                                                              5

2.2. Дроби в Древнем Вавилоне                                                          6

2.3. Дроби в Древнем Риме                                                                 6

2.4. Дроби в Древней Греции                                                              6

2.5. Дроби на Руси                                                                              7

2.6. Дроби в Древнем Китае                                                                8

2.7. Дроби в других государствах древности и средних веков           8

3. Действия с обыкновенными дробями                                             9   

4. Интересное о дробях                                                                     10  

4.1. Удивительные дроби                                                                  10

4.2. Старинные задачи с использованием обыкновенных дробей    10

4.3. Использование обыкновенных дробей в профессиональной

деятельности человека                                                                       10

4.4. Разминка. Попробуй угадать.                                                     11

4.5. Дроби-домино                                                                             12

5. Приложение. Результаты тестирования класса.                             13  

Заключение                                                                                       14  

Список используемой литературы                                                    15           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Недавно мы познакомились с необычными числами – дробями. Непривычная запись, сложные правила сложения, вычитания, умножения и деления этих чисел ставили в тупик древних мудрецов. Даже сейчас многие испытывают трудности при работе с дробями, однако без них не обойтись даже в обычной жизни.  Нам каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части. С дробями мир оказался сложней, но в тоже время интересней. У меня возникли вопросы. Нужны ли дроби? Важны ли они? Кто их придумал?

 

Цель моего доклада: проследить историю развития обыкновенной дроби, показать необходимость и важность использования обыкновенных дробей при решении практических задач.

 

 Задачи, которые я ставила перед собой: сбор материала по теме, его систематизация, изучение терминов, правил применения дробей, решение старинных задач, применение дробей в практической деятельности.

 

Методы исследования: анкетирование, сравнение, обобщение, анализ, изучение литературы и интернет ресурсов.

 

Практическая значимость проекта: применение дробей в повседневной жизни.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Понятие дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дробь выражается отношением двух целых чисел m/n, где n - показывает на сколько долей разделена единица, а m – показывает сколько таких долей содержится в дроби.

1.1. Дроби разные нужны, дроби всякие важны

В математике применяются следующие виды дробей:

·         обыкновенная дробь;

·         правильная дробь;

·         неправильная дробь;

·         смешанная дробь;

·         десятичная дробь.

Обыкновенная дробь имеет вид n/m или m/n где m и n - натуральные числа. Делимое (m) - называют числителем дроби, делитель (n) - называют знаменателем данной дроби. Горизонтальная или косая линия  в дроби обозначает деление. 

Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь называется правильной (например  3/7), если больше или равен - неправильной (например 7/3).

Числа, в состав которых входит целое число и правильная дробь, называются смешанными. Целое число называют целой частью смешанного числа, а правильная дробь называется дробной частью смешанного числа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. История возникновения дробей

      С самых древних времён для решения жизненных практических вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины, то есть отвечать на вопросы «Сколько?»: сколько овец в стаде, сколько мер зерна собрано с поля, сколько километров до города. Так появились натуральные числа.

   Однако, не всегда результат измерения или стоимость товара удавалось выразить целым числом. Тогда человеку понадобилось придумать новые – дробные – числа, появились дроби. Дробные числа появились в древние времена вскоре после возникновения натуральных чисел.

 В древности к целым и дробным числам относились по-разному: предпочтения были на стороне целых чисел. «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят этого делать», - писал основатель афинской Академии Платон.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два».

Система записи дробей, правила действий с ними заметно различались как у разных народов, так и в разные времена у одного и того же народа.

2.1. Дроби в Древнем Египте

На протяжении многих веков египтяне именовали дроби «ломаным числом», а первая дробь, с которой они познакомились, была 1/2 . За ней последовали 1/4, 1/8 , 1/16, … затем 1/3, 1/6, … т.е. самые простые дроби, называемые единичными или основными дробями. Числитель у таких дробей всегда единица ^[1].

Одним из первых известных упоминаний о дробях является математический папирус Ринда. Он  включал таблицу египетских дробей, 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей. Писцы заучивали эту таблицу наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения. Умели египтяне также умножать и делить дроби. Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Египтяне ставили иероглиф  (ер, «один из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3  и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби.              

Остальные дроби они записывали в виде суммы долей. Дробь 7/8 они записывали в виде ½ ¼ 1/8, но знак «+» не указывали. А сумму 4+1/3 записывали в виде 41/3. Такая запись смешанных чисел (без знака «+») сохранилась до сих пор.

2.2. Дроби в Древнем Вавилоне

Известно, что в древнем Вавилоне использовали шестидесятеричную систему счисления. Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Пользуясь такими дробями, вавилоняне должны были многие дроби изображать приближенно. Шестидесятеричная система счисления в математике Вавилона была представлена различными таблицами. Полная вавилонская таблица умножения содержала произведения 1770 чисел. Запомнить наизусть такую таблицу практически невозможно. Даже в записанном виде она была бы очень громоздкой. Поэтому для умножения, как и для деления, существовал обширный набор других таблиц. Операцию деления в вавилонской математике можно назвать «проблемой номер один». Даже термина «делить» у них не существовало.

Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления дошли до наших дней. Мы делим час на 60 минут, минуты на 60 секунд, окружности на 360 градусов.

 

2.3. Дроби в Древнем Риме

           Римляне пользовались лишь одним знаменателем, равным 12. Так возникли римские двенадцатеричные дроби. Двенадцатую долю дроби называли унцией. Вместо 1\12 римляне говорили «одна унция», 5\12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. Всего применялось 18 различных названий дробей.

Ещё в первом веке до нашей эры выдающийся римский оратор и писатель Цицерон говорил: “Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!”.

 

 

 

2.4. Дроби в Древней Греции

Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали. В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, астрономам, землемерам и другому «черному люду». «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать»,- писал основатель афинской академии Платон.

 

Но не все древнегреческие математики соглашались с Платоном. Так в трактате «Об измерении круга» Архимед употребляет дроби.

 

       Предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятеричным дробям. Греки записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем.

2.5. Дроби на Руси

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части. В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

1/2 - половина, полтина	1/3 – треть
1/4 – четь	1/6 – полтреть
1/8 - полчеть	1/12 –полполтреть
1/16 - полполчеть	1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)	1/5 – пятина

      Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая – получетверть, которая называлась осьмина. Нумерация дробей была заимствована из западных источников. Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним.

      В 1703г. вышел в свет учебник по математике «Арифметика». Автор Магницкий Леонтий Филлипович. Во 2-ой части этой книги “О числах ломаных или с долями” подробно излагается учение о дробях. Магницкий использует название числитель, знаменатель, рассматривает неправильные дроби, смешанные числа, помимо всех действий выделяет целую часть из неправильной дроби.

2.6. Дроби в Древнем Китае

     В Китае практически все арифметические операции с обыкновенными дробями были установлены уже ко II в. до н. э. Они описаны в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая – «Математике в девяти книгах», окончательная редакция которой принадлежит Чжан Цану. Первоначально китайцы использовали простейшие дроби, которые получили наименования с использованием иероглифа бань:

бань («половина») –1\2;

шао бань («малая половина») –1\3;

тай бань («большая половина») –2\3.

 

2.7. Дроби в других государствах древности и средних веков

    Дальнейшее развитие понятия обыкновенной дроби было достигнуто в Индии. Математики этой страны сумели достаточно быстро перейти от единичных дробей к дробям общего вида. В Индии использовалась система записи, при которой числитель дроби писался над знаменателем – как у нас, но без дробной черты, зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку.

Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.

     Сведения о дробях были перенесены в Западную Европу итальянским купцом и ученым Леонардо Фибоначчи из Пизы (XIII в.). Он ввел слово дробь, стал применять черту дроби (1202г), дал формулы для планомерного разбиения дробей на основные. Названия числитель и знаменатель ввел в 13 веке Максим Плануд – греческий монах, ученый, математик.

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Действия с обыкновенными дробями

    Дробные числа можно сравнивать, вычитать, умножать, делить, сокращать.

 

    Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, у которой числитель больше, та меньше, у которой числитель меньше.

     Из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь больше, у которой знаменатель меньше. Для сравнения дробей с разными числителями и знаменателями, их нужно привести либо к равному знаменателю, либо к равному числителю.

 

    Чтобы перемножить дроби, надо перемножить отдельно их числители и знаменатели, первое произведение взять числителем, а второе знаменателем. Чтобы разделить обыкновенную дробь, надо числитель делимого умножить на знаменатель делителя, а знаменатель делимого умножить на числитель делителя.

 

    Некоторые дроби можно сократить. Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Интересное о дробях

4.1. Удивительные дроби

    Известно, что есть дроби, которые можно "сократить" удивительным образом: зачеркнуть в числителе и знаменателе общие цифры, и при этом значение дроби не изменится. Вот эти дроби: 16/64; 19/95; 26/65; 49/98.

 

4.2.Старинные задачи с использованием обыкновенных дробей

     В древних рукописях и старинных учебниках арифметики разных стран встречается много интересных задач на дроби. Решение каждой из таких задач требует немалой смекалки, сообразительности и умения рассуждать.

 

  1. Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?

Акмимский папирус (VI в.)

 

  2. Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками с четвёртым стражником, у неё осталось 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

«1001 ночь»

 

 3. Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая половину остатка и еще пол-яйца, а третья последние 10 яиц.

Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?

Л. Ф. Магницкий «Арифметика» (1703г.)

 

4.3. Использование обыкновенных дробей в профессиональной деятельности человека

  Живя в окружении дробей, мы не всегда их явно замечаем. И все же, мы сталкиваемся с ним очень часто: дома, на улице, в магазине, на работе и так далее.

В медицине. Чтобы приготовить необходимое лекарство нужно знать его состав, записанный с помощью дробей, например ½ таблетки.

Дроби в кулинарии. Поварам нужны дроби для соблюдения пропорции при приготовлении блюда. В рецептах очень часто используются такие фразы, как одна вторая стакана, четверть столовой ложки.

Дроби в музыке. Учащиеся музыкальной школы знакомятся с дробями раньше, чем в общеобразовательной школе. С первых дней занятий дети знакомятся с такими понятиями как размер и длительности нот. В целой ноте 2 половинные, 4 четверти, 8 восьмых, 16 шестнадцатых.

Дроби в географии: Материк Евразия занимает 1/3 часть суши, масштаб карты равен 1/50000. В нумерации домов тоже могут использоваться дроби: г. Новосибирск, ул. Солнечная, дом 21/2.

Дроби в спорте. Когда смотрим ½ финала матча по футболу.

Дроби в анатомии. Голова маленького ребенка составляет 1/5 часть роста человека. Голова подростка – 1/6. А голова взрослого человека – 1/8 часть роста. Основываясь на этих данных, была создана кукла «Барби».

Дроби для портных. Портной при раскрое одежды использует дроби (рукав длины три четверти -  ¾ или брюки длины 7/8)

Дроби в часах. Мы часто отвечаем на вопрос «который час?» дробями. «Без четверти пять», «Половина второго».

Человек встречается со словом «дробь» в жизни:

- Мелкие свинцовые шарики для стрельбы из охотничьего ружья - дробь.

- Частые, прерывистые звуки - барабанная дробь.

- Дробь в танце. Русский народный танец невозможно представить без дробей.

- Выбивать дробь зубами – стучать зубами (дрожа от холода, испуга).

 

4.4. Разминка. Попробуй угадать.

    Дениска, герой рассказа Виктора Драгунского «Надо иметь чувство юмора», задал однажды приятелю Мишке задачу: как разделить два яблока на троих поровну? И когда Мишка, наконец, сдался, торжествующе объявил ответ: «Сварить компот!» Мишка с Денисом ещё не проходили дробей и твёрдо знали, что 2 на 3 не делится.

 

Но это не единственное решение данной задачи! Надо, каждое яблоко поделить на три части и раздать всем троим по две таких части.

4.5. Дроби-домино

Домино – настольная игра, распространенная во всем мире. Игра домино чаще всего состоит из 28 прямоугольных плиток-костей. Костяшка домино представляет собой прямоугольную плитку, лицевая сторона которой разделена линией на две квадратные части. Каждая часть содержит от нуля до шести точек. Если убрать кости, не содержащие очков хотя бы на одной половине, то оставшиеся кости можно рассматривать как дроби. Кости, обе половины которых содержат по одинаковому количеству очков (дубли), представляют из себя неправильные дроби, равные единице.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Приложение. Результаты тестирования класса.

Вопросы	Знают	Не знают	Вывод
Откуда пришли к нам дроби?	11	14	44% знают, что дроби пришли к нам из Древнего Египта.
От какого глагола происходит слово дробь?	16	9	64% указали глагол дробить.
Нужны  дроби в жизни любого человека и для чего?	25 нужны	0	100% ответили о необходимости применения дробей  в жизни
Что показывает числитель и знаменатель дроби?	20	5	80% распознают числитель и знаменатель и объясняют, что они показывают.
Что означает выражение «Попасть в дроби»?	19	6	76% знают, что означает данное выражение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, был в почете. При работе над проектом я узнала много нового и интересного, прочитала много книг и разделов из энциклопедий. Я познакомилась с первыми дробями, узнала историю дробей, открыла для себя новые имена ученых, попробовала решать олимпиадные и занимательные задачи. Я сделала вывод, что обыкновенные дроби очень важны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

          1. М.Я.Выгодский "Арифметика и алгебра в Древнем мире". Москва. Наука. 1967г. 367 стр.

        2. Н.Я. Виленкин "За страницами учебника математики. Арифметика". Москва.  Просвещение.  2008г. 194 стр.

        3. Г.И.Глейзер "История математики в школе". Москва. Просвещение. 1964г. 376 стр.

       4. И.Я. Депман "История арифметики" Москва. Просвещение. 1965г . 416стр. 

       5. А.Г. Мерзляк. В.Б. Полонский. М.С. Якир. "Математка 5 класс". Москва. Издательский центр "Вентана-Граф". 2014г. 304 стр.

      6. Ожегов С. И. Толковый словарь русского языка. ООО «Издательство А ТЕМП»,  2006. -  7848 с.

      

Интернет-ресурсы

·         https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2021/05/04/issledovatelskaya-rabota-po-matematike

·         https://znanio.ru/media/uchebno-issledovatelskaya-rabota-neobyknovennye-sposoby-slozheniya-i-vychitaniya-obyknovennyh-drobej-2763106

·         https://obuchonok.ru/node/8367

·         http://www.a-jewels.com/number/index.html - числа имеют свою древнюю символику.

·         http://www.nurgustan94.narod.ru/prak1.htm - практические задания обыкновенных дробей

·         http://arevazian.ucoz.ru/dir/ - древний Египет.

·         http://www.ciwilizacija.ru/chast_i_evolyuciya_s_voprosami/glava_1_istoriya_s_matematikoi.html - -глава 1 История с математикой.

·         http://exclusio.ru/43/ - древний Рим на картах Google.

·         http://mrcpk.marsu.ru/works_iso/2007-09-12-sov.pot_2/veselkova/ - умножение обыкновенных дробей.

·         http://www.axios1.ru/catalog.php?razdel=680- понятия дроби. 

 

Скачано с www.znanio.ru

---