Вопрос 37.doc

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона.

Если интерполируемая функция задана таблицей с равноотстоящими значениями аргумента с фиксированным шагом h=x_i+1–x_i, i=, то для таких таблиц построение интерполяционного многочлена во многом упрощается.

(1)    

Пусть искомая функция f(x) задана таблицей (1) с постоянным шагом. Тогда разности вида Dy_i=y_i+1–y_i , i= (между значениями функций соседних узлов интерполяции) называются конечными разностями первого порядка.

Разность конечных разностей первого порядка называется конечной разностью второго порядка. D²y_i =Dy_i+1–Dy_i=(y_i+2 – y_i+1)–(y_i+1 – y_i)= y_i+2 –2 y_i+1+ y_i

Аналогично найдем конечные разности третьего порядка:

D³y_i=D²y_i+1–D²y_i =(y_i+3–2 y_i+2+y_i+1)–(y_i+2–2 y_i+1+y_i) =y_i+3–3 y_i+2+3 y_i+1–y_i

и т.д. Методом математической индукции можно доказать, что

D^ky_i =y_i+к –k y_i+k–1+ –…+(–1)^ky_i.

Можно составить таблицу конечных разностей.

Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть функция f(x) представлена таблицей (1) с постоянным шагом и таблицей конечных разностей. Тогда будем искать интерполяционный многочлен в виде

P_n(x)=a₀+a₁(x–x₀)+a₂(x–x₀)(x–x₁)+…+a_n(x–x₀)(x–x₁)…(x–x_n-1) – многочлен n-ой степени. Необходимо найти коэффициенты a₀…a_n. Их ищут из условия совпадения многочлена Р со значениями функций в узлах.

При х=х₀ имеем Р₀(х₀)=а₀=y₀; при x=x₁  P₁(x₁)=а₀+а₁(x₁–х₀)=y₁ => ; при x=x₂  y₂=P₂(x₂)=а₀+а₁(x₂–х₀)+а₂(x₂–х₀)(x₂–х₁) =>

Аналогично находим ,…, a_k=.

Подставим выражения для a_i в формулу интерполяционного многочлена n-ой степени:

Пусть=>х=х₀+ht.Тогда;

Р_n(x)=P_n(x₀+ht)=y₀+tDy₀+–первая интерполяционная формула Ньютона. Она применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда <<1. Поэтому она называется формулой интерполяции вперёд.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Когда значения аргумента близки к концу отрезка интерполирования, то первую формулу использовать не выгодно. В этом случае применяется формула Ньютона для интерполирования назад. Вторая интерполяционная формула ищется в виде:

P_n(x)=a₀+a₁(x–x_n)+a₂(x–x_n)(x–x_n-1)+…+a_n(x–x_n)(x–x_n-1)…(x–x₁)

Аналогично первой ИФН для каждого узла коэффициент a_k= Пустьt=.Р_n(x)=P_n(x_n+ht)=y_n+tDy_n–1+ – вторая интерполяционная формула Ньютона. 

Если количество узлов велико, тогда лучше пользоваться формулами для первой и второй ИФН. Если количество узлов мало и конечные разности считаются в ручную, тогда используют формулу Ньютона по схеме Горнера:

Р_n(x)=P_n(x₀+ht)=y₀+t(Dy₀+

При n=1 Р_n(x)=y₀+tDy₀ – линейная формула интерполирования.

При n=2 Р_n(x)=y₀+tDy₀+ – квадратичная формула интерполирования.