Вопрос 37.doc
Оценка 4.9

Вопрос 37.doc

Оценка 4.9
doc
13.05.2020
Вопрос 37.doc
Вопрос 37.doc

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона.

Если интерполируемая функция задана таблицей с равноотстоящими значениями аргумента с фиксированным шагом h=xi+1xi, i=, то для таких таблиц построение интерполяционного многочлена во многом упрощается.

(1)    

x

    x0

xi

xn

  f(x)

y0

yi

yn

Пусть искомая функция f(x) задана таблицей (1) с постоянным шагом. Тогда разности вида Dyi=yi+1yi , i= (между значениями функций соседних узлов интерполяции) называются конечными разностями первого порядка.

Разность конечных разностей первого порядка называется конечной разностью второго порядка. D2yi =Dyi+1Dyi=(yi+2yi+1)–(yi+1 yi)= yi+2 –2 yi+1+ yi

Аналогично найдем конечные разности третьего порядка:

D3yi=D2yi+1D2yi =(yi+3–2 yi+2+yi+1)–(yi+2–2 yi+1+yi) =yi+3–3 yi+2+3 yi+1–yi

и т.д. Методом математической индукции можно доказать, что

Dkyi =yi+к –k yi+k–1+ –…+(–1)kyi.

Можно составить таблицу конечных разностей.

x

y

Dy

D2y

D3y

x0

y0

Dy0

D2y0

D3y0

 

x1

y1

Dy1

D2y1

 

 

x2

y2

Dy2

 

 

 

x3

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть функция f(x) представлена таблицей (1) с постоянным шагом и таблицей конечных разностей. Тогда будем искать интерполяционный многочлен в виде

Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+…+an(xx0)(xx1)…(xxn-1) – многочлен n-ой степени. Необходимо найти коэффициенты a0an. Их ищут из условия совпадения многочлена Р со значениями функций в узлах.

При х=х0 имеем Р00)=а0=y0; при x=x1  P1(x1)=а01(x1–х0)=y1 => ; при x=x2  y2=P2(x2)=а01(x2–х0)+а2(x2–х0)(x2–х1) =>

Аналогично находим ,…, ak=.

Подставим выражения для ai в формулу интерполяционного многочлена n-ой степени:

 

Пусть=>х=х0+ht.Тогда;

Рn(x)=Pn(x0+ht)=y0+tDy0+–первая интерполяционная формула Ньютона. Она применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда <<1. Поэтому она называется формулой интерполяции вперёд.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Когда значения аргумента близки к концу отрезка интерполирования, то первую формулу использовать не выгодно. В этом случае применяется формула Ньютона для интерполирования назад. Вторая интерполяционная формула ищется в виде:

Pn(x)=a0+a1(x–xn)+a2(x–xn)(x–xn-1)+…+an(x–xn)(x–xn-1)…(x–x1)

Аналогично первой ИФН для каждого узла коэффициент ak= Пустьt=.Рn(x)=Pn(xn+ht)=yn+tDyn–1+ – вторая интерполяционная формула Ньютона. 

Если количество узлов велико, тогда лучше пользоваться формулами для первой и второй ИФН. Если количество узлов мало и конечные разности считаются в ручную, тогда используют формулу Ньютона по схеме Горнера:

Рn(x)=Pn(x0+ht)=y0+t(Dy0+

При n=1 Рn(x)=y0+tDy0 – линейная формула интерполирования.

При n=2 Рn(x)=y0+tDy0+ – квадратичная формула интерполирования.


Интерполяционный многочлен в форме

Интерполяционный многочлен в форме

Подставим выражения для a i в формулу интерполяционного многочлена n -ой степени:

Подставим выражения для a i в формулу интерполяционного многочлена n -ой степени:
Скачать файл