Задачи на проценты . Элективный курс для учащихся 10 – 11 классов

Элективный курс для учащихся 10 – 11 классов Учитель МОУ Ангарской СОШ № 5, Рожкова Н.Д. Задачи на проценты (36 ч.) Пояснительная записка Задачам   на   проценты   уделяется   достаточно   много   внимания   в   6­9   классах средней школы. Однако в программу по математике в старших классах проценты не входят.   При   такой   необязательности   математические   навыки   обращения   с процентами   легко   забываются.   В   старших   классах   оперирование   с   процентами становится прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты через известные   диаграммы.   Последнее   обстоятельство   дезориентирует   большинство учащихся   по   вопросам   универсальности   процентов,   сфер   их   наибольшего применения, алгоритмов разрешения простейших вопросов на проценты. Согласно Д. Пойа «Одарённый человек действует в согласии с правилами, даже не подозревая об их существовании. Специалист действует в согласии с правилами, не задумываясь над этим, однако при случае он всегда может сослаться на нужное правило,   регулирующее   его   поведение.   Начинающий   же,   стараясь   применить некоторое правило, тщательно оценивает его, исходя из своего небольшого опыта». Равно уважая все три категории людей, будем ориентироваться на «начинающихся». Познакомить учащихся с математической классификацией типичных задач на Цель проценты. Основное содержание 1. Историческая справка. Понятие процента в школьном курсе.     1ч. 2. Сложные проценты                                                                           7ч. 3. Концентрация и процентное содержание                                       7ч. 4. Переливание                                                                                       3ч. 5. Задачи для самостоятельного решения.                                           15ч. 6. Зачеты                                                                                                   3ч. Историческая справка Проценты были известны индийцам ещё в  V  в. Это закономерно, так как в Индии   с   давних   пор   счёт   вёлся   в   десятичной   системе   счисления.   В   Европе десятичные дроби появились на тысячу лет позже, их ввёл бельгийский учёный С. Стевин. В 1584 г. Он впервые опубликовал таблицу процентов. Введение   процентов   оказалось   удобным   не   только   для   оценки   содержания одного   вещества   в   другом.   В   процентах   стали   измерять   изменение   производства товара, рост денежного дохода и т. д. 1 Со   временем   люди   научились   извлекать   из   вещества   его   компоненты, составляющие тысячные доли от массы самого вещества. Тогда, чтобы не вводить нуль   и   запятую,   ввели   новую   величину   –   промилле   –   тысячную   долю,   которую обозначили знаком  0 / 00  и вместо 0,6 % стали писать 6 0 / 00 . Однако эту величину постоянно применяют лишь в некоторых областях техники, а в большинстве случаев используют десятые и сотые доли процента. Понятие процента в школьном курсе Все задачи на проценты сводятся к разрешению двух вопросов: 1. Вычисление количеств по процентам 2. Вычисление процентов по количеству Из школьного курса нам известны следующие типы задач: 1. Найти Р % от А:                                А* Пример: Найти 10% от 200? Р  = А*0,01Р. 100 200 * 0,1 = 20 2. Найти целое, если Р % от него есть А?                         А : Пример: 10% есть 200.  Найти целое? 200:0,01 = 2000 3. Сколько процентов А составляет от В?                           Пример: Сколько % составляет 20 от 200?  20:200*100% = 10% 4. На сколько процентов А больше В?                              Пример: А=200, В=20. На сколько А больше В? 200  20 20 *100% = 900% 5. На сколько процентов А меньше В?                              Пример: А=20, В=200. На сколько процентов А меньше В? 20 200  200  *100% = 90% Р  = А : 0,01Р 100 А *100% В ВА  В  *100% АВ  В  *100% Сложные проценты Формулы сложных процентов (цена, банк, рост населения и т. д.) а) Пусть некоторая начальная величина Ан  увеличивается (уменьшается) на Р 0 %   n раз. Тогда конечное значение Ак  находится по формуле  Ак = Ан (1±  Р )n      или        Ак = Ан (1± 0,01Р 0 )n 100 б) Пусть некоторая начальная величина Ан  увеличивается (уменьшается) на Р 1 %, Р 2 %,…Рn %, тогда 2 Ак = Ан (1±  1Р )(1±  100 2Р )…(1±  100 nР ) 100 в) Пусть некоторая начальная величина Ан  увеличивается (уменьшается) до значения Ак, тогда общий Р%  изменения: A к А н  ­ 1)*100%         (прирост) Р%=( Р%=(1 – )*100%       (снижение) A к А н Примеры задач 1.Цена товара после последовательных двух понижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 рублей до 80 рублей. На сколько процентов цена снижалась каждый раз? Решение: Ак = 80, Ан = 125, n = 2.       Р 0 ­? Ак = Ан (1­ 0,01Р 0 ) 2 80 = 125(1­0,01Р 0 ) 2 Ответ: Р 0  = 20% 2. Цену товара снизили сначала на 20 %, потом на 5 % и ещё на 10 %. На сколько снизили цену? Решение:  = (1­0,2)(1­0,1)(1­0,05) = 0,684 A к А н Р = (1­0,684)*100% = 31,6% Ответ: Р = 31,6% 3. В банк поместили некоторую сумму и через два года она выросла на 512,5 рублей. Сколько денег положили в банк, если вкладчикам выплачивается 5% годовых? Решение: Ак = Ан +512,5 A н 5,512 А н  = (1+0,05) 2 Ответ: Ан = 5000 4. Предприятие работало два года. В первый год выработка возросла на Р 1 %, во второй   на   10%   больше,   чем   в   первый.   Определить   на   сколько   процентов увеличилась выработка за второй год, если за два года она увеличилась на 48,59 %. Решение: 1Р )(1+ 100 10 1 Р 100 (1+  Р 1  = 17% Ответ: за второй год выработка увеличилась на 27%.  ) = 1,4859 3 5. Сберкасса начисляет 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма удвоится? Решение: Ак = 2Ан 2 Ан / Ан = (1+0,03)n  Ответ: n 23 года Концентрация и процентное содержание Р% ­ процентное содержание                             70% %Р  – концентрация                                       0,7 100 Пример: Пусть в 10 литрах солёной воды содержится соли 15 % (концентрация 0,15) Сколько соли в растворе? 10*0,15 = 1,5 кг. При решении задач этого типа удобно пользоваться следующим алгоритмом. Введём обозначения: С – смесь, сплав, раствор, мокрое вещество К – концентрация М – масса чистого вещества Между ними существуют зависимости:   К =  М          М = С*К  К М          С =  С Алгоритм решения задач на концентрацию Состояние вещества Смесь                         С Концентрация           К Масса чистого в­ва   М I II III Примеры задач 1. Имеется 40 литров 0,5 % раствора и 50 литров 2% раствора уксусной кислоты. Сколько нужно взять того и другого, чтобы получить 30 литров 1,5% ­ го раствора уксусной кислоты. Состояние вещества С К М Решение: I х 0,005 0,005х II 30 ­ х 0,02 0,02(30 – х) III 30 0,015 30*0,015 Ответ: 10 литров, 20 литров. 0,005х + 0,02(30­х) = 30*0,015 х = 10 литров 4 2. Имеется   два   сосуда,   содержащие   4   кг   и   6   кг   раствора   кислоты   разной концентрации. Если их слить, то получится 35 % раствор. Если слить равные массы этих растворов, то получится 36% раствор. Найти концентрацию каждого раствора? Состояние вещества С а) К М б) К М Решение: I 4 0,01р 1 4*0,01р 1 0,01р 1 0,01р 1 II 6 0,01р 2 6*0,01р 2 0,01р 2 0,01р 2 4*0,01р 1  + 6*0,01р 2  = 10*0,35 0,01р 1  + 0,01р 2  = 2*0,36 III 10 0,35 10*0,35 0,36 2*0,36 Ответ: р 1 =41%, р 2 =31%. 3. Влажность   сухого   цемента   на   складе   18   %.   Во   время   дождей   влажность повысилась на 2 %. Какова стала масса цемента, если его было 400 кг. Состояние вещества С К М Решение: I 400 0,82 400*0,82 400*0,82 = 0,8х II х 0,8 0,08х Ответ: х=410 кг. 4. Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей получили 30 тонн металла. Сколько  процентов примесей содержит металл? Состояние вещества С К М Решение: I 38 0,75 38*0,75 II 30 Р 100 Р 100 30* 5 Ответ: р=95% ­ содержание металла, р=5% ­ содержание примесей. 38*0,75 = 30* Р 100 5. В  4  кг   сплава   меди   и   олова   содержится   40 %   олова.   Сколько   кг   олова   надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание было 70%? Состояние вещества С К М Ответ: х=4 Решение: I 4 0,4 4*0,4 II х 1 х 4*0,4 +х = 0,7(4+х) III 4 + х 0,7 0,7(4 + х) 6. Имеется   два   сплава   золота   и   серебра.   В   одном   эти   металлы   находятся   в отношении   2:3,   в   другом   3:7.   Сколько   нужно   взять   каждого   сплава,   чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5:11? Решение: Состояние вещества С Золото К М I х 2 5 2 * х 5 II 8 ­ х 3 10 (8 – х)*  3 10 III 8 5 16 5 16 8 *  2 х +  5 3  (8­х) = 8 *  10 х = 1 5 16 Ответ: золота – 1 кг, серебра – 7 кг. Ан ­ начальное количество раствора Ак ­ конечное количество раствора а – количество отлитых литров n – количество переливаний К­концентрация Переливание Ак = Ан (1 ­  а нА )n;         К =  А к А н  = (1 ­  а нА )n Примеры задач 6 1. В сосуде 12 литров кислоты. Часть кислоты отлили и долили водой. Затем опять столько же отлили и долили водой. Концентрация кислоты стала 0,25. Сколько литров отливали каждый раз? Решение: К = 0,25,                 Ан =12;                  0,25 = (1 ­  Ответ: а = 6 л. 2. В сосуде х литров глицерина. Отлили два литра, добавили воды. Сделали так три раза. Воды получилось на три литра больше, чем глицерина. Сколько глицерина было в сосуде? а ) 2                         12 Решение: 3х   Ан = х,            а = 2,               n = 3, Ак =  3 х х 2 х=4 Ответ: 4 литра. 2  = (1 ­  2 ) 3 х Задачи для самостоятельного решения. Сложные проценты. 1. Стоимость   товара   снизили   на   25%,   а   затем   ещё   на   5   %.   Сколько   %   от первоначальной стоимости составит окончательная стоимость товара? На сколько % снижена, в общем, стоимость товара? Решение  = (1­ 0,125)(1­ 0,05) = 0,836   А к А н 0,836 * 100% = 83,6% Р = (1 ­ 0,836)∙100% = 16,4% Ответ: 16,4% 2. Некоторое число уменьшили на 25 %. На сколько процентов нужно увеличить получившееся число, чтобы получить первоначальное? Решение (1 ­ 0,25)(1 + 0,01Ро) = 1 1 + 0,01P = 1: 0,75;     1 ;    0,01P =  3 P = 33,3.  Ответ: 33,3. 7 3. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если его периметр увеличить Решение на 10 %? 2 P 1  = 4а         P 2  = 4,4a      x  ­ сторона х = 1,1а        S 1  = a 2        S 2  = 1,21a 2 а  *100% = 121%;    1,21 2 а  121% ­ 100% = 21%; Ответ: 21%; 4. На   сколько   процентов   изменится   площадь   прямоугольника,   если   длина   его увеличится на 30 %, а ширина уменьшится на 30 %? Решение  = 1,3*0,7 = 0,91 А к А н P% = (1 ­ 0,91)*100% = 9%.                    Oтвет: 9%. 5. Цену на пылесос снизили на 10%. Он стоит сейчас 38,7 рублей. Сколько он стоил? Решение 38,7 = Ан *0,9.         Ан = 43. Ответ: 43 р. 6. Антикварный магазин купил две вазы за 360 рублей. Продав их, получил 25% прибыли. Наценка на первую вазу была 50 %, на вторую 12,5%. Найти новую цену ваз. Решение   360 у 125,1   у х   5,1 х  х = 120,          у = 240,                    старая  цена.    120*1,5 = 180;      240*1,125 = 270. новая цена. Ответ:180 р;270р.  450 7. Рабочий положил в банк 5000 руб. В конце года положил ещё 5000 руб. Ещё через год получил прибыль 15200 руб. Сколько % в год начисляет банк? Решение 10000 + 50Р  ­  первый  год (10000 + 50Р) + (10000 + 50Р)*0,01Р  ­   второй  год 50Р + (10000 + 50Р)*0,01Р = 15200, Р 2  + 300Р – 30400 = 0,         Р = 80%.             Ответ: Р=80%. 8 8. За пересылку денег на почте берут 2% от переводимой суммы. Какую наибольшую сумму можно перевести, имея 100 руб.? Решение Х + 0,02Х = 100,              Х = 98,3руб. Oтвет: 98,3 9. Пусть цены на товар снижались на 20%. На сколько % больше можно купить товара по сниженной цене на отведённую сумму? Ак = Ан * 0,8  А  А н А к н  * 100% =  Решение А н  А н А н  8,0  8,0  = 0,25 Oтвет: 25%. 10. Число 51,2 трижды увеличено на одно и то же число %, затем трижды увеличили  на то же число % и получили 21,6. На сколько % увеличивали, а затем уменьшили  число? Решение  = (1+0,01P) 3 *(1 ­ 0,01P) 3 , А к А н 27  = (1 ­ (0,01P) 2 )  3 ,       64 1 ­ (0,01P) 2  = 3/4, 0,01P = 0,5              P = 50%. Oтвет: 50%. 11.Население города за 2 года увеличилось с 20000 до 22050 человек. Найти средний % прироста. 22050  = (1 + 0,01P)  2 20000 1,05 = 1 + 0,01P                 P = 5%. Oтвет: 5%. Решение 12.Зарплату повысили на Р %, затем ещё раз повысили на 2 Р %. В результате она увеличилась в 1,32 раза. На сколько % её увеличили во второй раз? Решение 1,32 = (1+0,01P)*(1+0,02P) P = 10%,    2P = 20%. Oтвет: 10%, 20%. 9 13.Цена некоторого товара поднялась на 25%, а потом ещё на 30 %. Другой товар поднялся в цене на 30% и стал по цене равным первому товару. Какова цена первого товара, если второй до повышения стоил 1,25 тыс. рублей? Решение Ан *1,25*1,3 = 1,25*1,3. Ан = 1000 Oтвет: 1000. 14.Антикварный   магазин   купил   два   предмета   за   225   р.   и   продал   их   и   получил прибыль 40, % причём первый дал прибыль 25 %, а второй 50 %. За сколько купили каждый товар? Решение   225 у 5,1   у х    25,1 х  х = 90,  у = 135. Ответ: 90,135. 15.Цена на товар повысилась на 44 %, затем дважды понизилась на Р %. В результате 225 4,1* цена оказалась меньше первой на 19 %. Найти Р %? Решение 1,44*(1­0,01P) 2  = 0,81; P = 25%; Oтвет: 25%. 16.После двух последующих повышений зарплата выросла в 1 7 Р. На сколько % 8 повысилась зарплата в первый раз, если во второй она повысилась в процентном отношении вдвое? 1,875 = (1+0,01P)*(1+0,02P);            P = 25%; Ответ: 25%. Решение 17.Выработки продукции за год работы предприятие выросло на 4 %, на следующий год на 8 %. Определить средний прирост? Общий прирост?  Решение  = 1,04*1,08 = 1,1232; А к А н P = 112,32%, общий  прирост 12,32% . А к А н P = 5,98%       средний  прирост Ответ: 12,32%; 5,98%.  = (1+0,01P) 2  ,          10 18.В   течение   года   завод   увеличивал   выпуск   продукта   на   одно   и   то   же   число процентов. Ан = 600 изделий, Ак = 726 изделий. Р% =? Решение 726  = (1 + 0,01P) 2 ,       600 P = 10%. Ответ: 10%. 19.Некто за зиму поправился на 25 %. Весной похудел на 10 %, за лето прибавил 15 %, осенью похудел на 20 %. Похудел или поправился некто? На сколько %? Решение  = 1,25*0,9*1,15*0,8 = 1,035 А к А н Р = 103,5 – 100 = 3,5% Ответ: 3,5% 20.В начале года стало оленей составлять 3000 голов. В конце года купили 700 голов. В конце второго года в стаде было 4400 голов. Найти естественный % прироста. Решение a) 3000*0,01P = 30P   прирост  за  первый  год. (3700 + 30З)*0,01Р = 0,3Р + 37Р  прирост  за  второй  год. б) 4400 – 3000 – 700 = 700   общий  прирост. 0,3Р 2  + 67Р – 700 = 0,       Р = 10%. Ответ: 10%. 21.Стоимость  семидесяти  экземпляров  первого  тома  книги  и 60­ти  второго   тома книги     составили   230   р.   В   действительности   за   них   уплатили191   р.,   так   как сделали скидку   на первый том   15 % и на второй 20 %. Какова была цена на каждый том?  Решение у  191  х  230  8,0*60 у х  60 70  85,0*70  х = 2     у = 1,5. Ответ: 2;1,5. 22.Третий и четвертый кварталы предприятия повысило производительность труда на 50 %. На сколько % оно выпустило бы больше продукции за год, если бы повысили производительность со второго квартала.  Х + Х + 1,5Х +  1,5Х = 5Х  ­ за  год Решение 11 Х + 1,5Х + 1,5Х + 1,5Х = 5,5Х 5,5Х ­ 5Х = 0,5Х,       5,0 х *100% = 10%. х 5 Ответ: 10%. 23.Определить ежегодный прирост населения, если за 2 года оно удвоилось.  Решение 2 А к А н  = (1+0,01Р) 2 ; Р = 41%. Ответ: 41%. 24.Цену на товар увеличили на 30 %, затем на 20%, потом уменьшились на 50 % на сколько % изменилась цена? Решение  = 1,3*1,2*0,5 = 0,78. А к А н Р = 100% ­ 78% = 22%. Ответ: 22%. 25.Владелец дискотеки повысил цену на 25 %, затем вернулся к первоначальной, на сколько % он снизил цену?    Решение  = 1,25(1 ­ 0,01Р);  А к А н А : А = 1,   1 ­ 0,01Р = 0,8;     Р=20%.  Ответ: 20%. 26.Торговая база закупила партию альбомов, и поставили в магазин по оптовой цене на 30 % больше, чем цена изготовителя магазин установил розничную цену на 20 % больше оптовой. В конце   сезона     цену снизили на 10 %. Покупатель купил альбом за 70,2 р. На сколько рублей он заплатил больше по сравнению с ценой изготовителя. Решение  = 1,3*1,2*0,9 = 1,404. А к А н 2,70 Ан =  404 ,1 70,2 – 50 = 20,2. Ответ: 20,2.  = 50;     12 27.После двух повышений зарплата увеличилась в  1,43 р. При этом число процентов, на   которые   повысилась   зарплата   во   второй   раз,  были   в   3   раза   больше,   чем   в первый. На сколько % повысилась зарплата во второй раз.  Решение  = (1 + 0,01Р)*(1 + 0,03Р), А к А н 1 + 0,04Р + 0,01*0,03Р 2  = 1,43, 0,0003Р 2  + 0,04Р ­ 0,43 = 0.          Р = 10%,    Р = 20%. Ответ: 20%, 10%. 28.За первый год предприятия увеличило выпуск продукции на 8%,   в следующем году   на   25   %.   На   сколько   %   вырос   выпуск   продукции   по   сравнению   с первоначальным?   Решение  = (1+0,08)*(1+0,25) = 1,35 А к А н Р = 135% ­ 100% = 35%. Ответ: 35%. 29.Цена на товар понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько % понизилась цена по сравнению с первоначальной. Решение  = (1 ­ 0,4)*(1 ­ 0,25) = 0,45. А к А н Р = (1 ­ 0,45) = 0,55. Ответ: 55%. 30.После двух снижений на одно и тоже число % цена товара понизилась с 20р. до 16,2р. На сколько % цена снижалась каждый раз. 2,16  = (1 ­ 0,01Р) 2 ,     20 1 ­ 0,01Р = 0,9. 0,01Р = 0,1     Р = 10 Ответ: 10%. Решение Сплавы. 13 1. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4 : 1 и как 1 : 3. После переплавки 10 кг первого   и 16  кг второго  и нескольких кг  чистой  меди, получили  сплав,  в котором цинк и медь относятся как 3 : 2. Определить вес нового сплава.  Состояние вещества С  К М х = 9;      26+9=35. Ответ: 35кг. Решение I 10 4 5 8 II 16 1 4 4 12+х = 0,6х+15,6; III х 1 х IV 26 + х 3 5 0,6(26 + х) 2. Из двух сплавов первый содержит 7 кг, второй 8 кг меди. Получили новый сплав, содержащий 18 % меди. Какое % содержание меди в первом сплаве, если во втором на 20 % её больше?  Состояние вещества С  К М II 8 у у 8 III 15 18,0 0,18 15 Решение I 7 х х 7      х 8  у у 2,0 7 5,2 х 3 х = 12%   Ответ: 12%. 3. Имеется два сплава меди и цинка.  Первом меди в 2 раза больше, чем цинка, а во втором – в 5 раз меньше. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди.  Состояние вещества медь  цинк Решение I 2х х II у 5у III 2(2х + у) х + 5у (2х+у)*2 = х+5у,         х = у,        14 Ответ: в два раза. 3х = 6у = 6х. 4. Имеются два сплава из цинка, меди и олова. Первый содержит 40% олова, второй 26 % меди. Процентное содержание цинка одинаково в обоих сплавах. Сплавив 150 кг первого и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором 30 % цинка. Сколько кг олова в новом сплаве?  Состояние вещества С  К М Состояние вещества С  К М Решение Цинк I 150 х 150х Олово I 150 0,4 60 II 250 х 250х II 250 0,44 110 III 400 0,3 120 III 400 170 Ответ: 30%. 400 х = 120 ,         х = 0,3 = 30%. 5. Вычислить вес сплава серебра с медью, зная, что, сплавив его с 3 кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90 % серебра, а, сплавив его с 2 кг сплава, содержащего 90 % серебра получат сплав, содержащий 84 % меди.  Состояние вещества С  К М Состояние вещества С  К М Решение Ситуация первая I х 0,01у 0,01ху Ситуация вторая I х 0,01у 0,01ху II 3 1 3 II 2 0,9 1,8 III х + 3 0,9 0,9(х + 3) III х + 2 0,84 0,84(х + 2) 15      01,0 ху 7,2 9,0 3 х   01,0 84,0 ху х 8,1 х = 3кг,    у = 80%.. 68,1 Ответ: 3кг. 80%. 6. Имеется два слитка сплавов меди и олова. Первый – 3 кг содержит 40 % меди, второй – 7 кг содержит 30 % меди. Какой величины нужно взять каждого куска, чтобы получить 8 кг сплава, содержащего 32% меди?  Состояние вещества С  К М Решение I х 0,4 0,4х II 8 ­ х 0,3 0,3(8 – х) III 8 0,32 8*0,32 0,4х + 0,3(8 ­ х) = 8*0,32;             х = 1,6кг.         8 ­ 1,6 = 6,4кг. Ответ: 6,4кг. 7. В   сплав   магния   и   алюминия,   содержащего   22   кг   алюминия,   добавили   15   кг магния, после чего содержание магния повысилась на 33 %. Сколько весил сплав первоначально?  Состояние вещества С К М Решение I х х 22 х х ­ 22 II 15 + х  х 7  х 15 х ­ 7 х х   7 15 х 22   –  х х = 25.  = 0,3. Ответ: 25. 8. Сплав меди и алюминия равен 10 кг  и содержит  15 % меди. Сколько алюминия  оказалось в сплаве?  10*0,75 = 7,5. Ответ: 7,5кг Решение 9. Из   40   т   железной   руды   выплавляют   20   т   стали,   содержащей   6   %   примеси. Сколько % примеси содержится в руде?  16 Состояние вещества С К М Решение I 40 х 20 + 1,2 II 20 0,06 1,2 Ответ: 53%. х =  2,21  = 53%. 40 10. В 100 кг сплава меди и цинка содержание меди составляет 45% . Сколько   кг чистого цинка надо добавить к сплаву, чтобы количество меди составило 20 % количества цинка?  Состояние вещества С К М Решение I 100 0,45 45 II 100 + х 0,2 0,2(100 + х) Ответ: 125кг. 45 = 0,2(100 + х);              х = 125кг. 11. В первом сплаве медь и цинк находятся в отношении 1 : 3, во втором 3 : 5. Сколько кг первого сплава надо сплавить с 15 кг второго, чтобы в новом сплаве медь и цинк находились в отношении 13 : 27?  Состояние вещества С  К М Решение I х 1 4 1 х 4 х = 10 II 15 3 8 3 *15 8 III 15 + х 13 40 (15 + х)*  13 40 Ответ: 10. 12. Содержание меди в первом сплаве 20 %, а во втором 40 % .10 кг первого и 7 кг второго сплавили с 3 кг чистой меди. Определить % содержание меди в сплаве?  Решение Состояние вещества I II III IV 17 С  К М 10 0,2 2 7 0,4 2,8 3 1 3 20 х 20х Ответ: 39%. 20х = 7,8;             х = 0,39 = 39%. 13. Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг содержит 45 % меди. Сколько надо добавить к этому сплаву меди, чтобы новый сплав содержал 60 % меди?  Состояние вещества С К М Решение I 36 0,45 II 36 + х 0,6 36* 0,45 0,6(36 + х) 36*0,45 = 0,6(36 + х) х = 13,5 Ответ: 13,5. 14. Имеются два слитка меди. Процентное содержание меди в первом слитке на 40 % меньше,   чем   во   втором.   После   того,   как   оба   слитка   сплавили,   процентное содержание меди стало 36 %. Найти процентное содержание в первом слитке и во втором, если в первом было 6 кг меди, а во втором 12 кг.  Состояние вещества С  К М Решение I 6 х х 6 II 12 х 4,0 0,4 + х 12 12 х 4,0 18 ;   =  36,0 III 18 36,0 0,36 18 6  +  х х = 20%;            20% + 40% = 60%. Ответ: 20%, 60%. 15. Имеется два сплава золота и серебра. В первом их отношение  1 , во втором  2 .  2 3 На сколько больше надо взять второго сплава, чтобы получить 19г. Сплава, в  котором отношение золота и серебра  7 ? 12 18 Состояние вещества С  К М Решение: I х 1 3 1 х 3 II у 2 5 2 у 5 III 19 7 19 7     х 1 3 х  19 у 2 5  у  .7 Ответ: х = 9, у = 10.  16. Имеется два слитка золота и серебра. В первом их отношение 1:2, во втором 2:3. Если сплавить 1/3 первого слитка и 5/6 второго, то в полученном слитке будет столько золота, сколько  в первом было серебра. Если же 2/3 первого сплавить с 1/2 второго, то в получившемся слитке серебра будет на один 1кг больше, чем золота во втором слитке. Сколько золота в каждом? Состояние вещества С  К М Решение I х 2 3 2 х 3 II у 3 5 3 у 5 1 ( 3 1  3 х 5 6 у ) =  2 х 3 х III 1  5 3 6 1 3 1 ( 3 1  5 3 6 х IV 2  1 х 3 2 у у у ) 19 Растворы. 1. В каких пропорциях нужно смешать 50 % ­ ый раствор кислоты и 70 % ­ ый, чтобы получить 65 % ­ ый раствор кислоты?  Состояние вещества С  К М Ответ: 1/3. Решение I х 0,5 0,5х 0,15х = 0,05у,        х  =  у 1 3 II у 0,7 0,7у III х + у 0,65 0,65(х + у) 2. Смешали 30 % ­ ый и 10 % ­ ый растворы соляной кислоты. Получили 600 гр. 15 % ­ ого раствора. Сколько граммов взяли каждого раствора?  Состояние вещества С  К М Решение I х 0,3 0,3х II у 0,1 0,1у III 600 0,15 90  y 600 x  3.0 x y 1.0    90  х = 150  ,  у = 450 . Ответ: 150; 450. 3. Если смешать 8 кг и 2 кг серной кислоты, то получим 12% ­ ый раствор. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов, получим 15% ­ ый раствор. Определить концентрацию каждого. Решение Первая ситуация Состояние вещества I II III 20 С  К М 8 х 8х Вторая ситуация Состояние вещества С  К М I z х zх 2 у 2у II z у zу 10 0,12 1,2 III 2z 0,15 0.3z 8 x  2 x y 2.1  3.0 y    х = 0,1.    у = 0,2. Ответ: 10% . 20%. 4. К   120   гр.   раствора,   содержащего   80%   соли   добавили   480   гр.   раствора, содержащего 20% соли. Сколько процентов соли получилось в растворе? Состояние вещества С  К М Решение I 120 0,8 96 600х = 192  х = 0,32 = 30%. II 480 0,2 96 III 600 х 600х Ответ: 30%. 5. Смешали Р% ­ ый раствор кислоты с 10 %­м и получили 600г. 15%­ого раствора. Сколько гр. взяли каждого раствора?  Состояние вещества С  К М Решение I х 0,01Р 0,01Рх II у 0,1 0,1у III 600 0,15 90 21   600 y x   01.0 Px 1.0  300 х =  Р 1,0 1               90 y .     у = 600 ­ х. Ответ:  300 Р 1,0 1 , 600 – х. 6. Первый  раствор   содержит 0,8  кг.  безводной   серной   кислоты,  а  второй 0,6  кг. Процентное содержание серной кислоты в первом растворе на 10 % больше, чем во втором. Какова масса каждого раствора, если их общая масса 10 кг. Состояние вещества С  К М Решение I х 8,0 х 0,8     у  10 х 8,0 6,0 у х х = 4   у = 6.   .1.0 III 10 1,4 II у 6,0 у 0,6   Ответ: 4. 6. 7. Смешали 10% и 25% растворы соли получили 3 кг. 20% ­ го раствора. Какое количество каждого раствора использовано? Состояние вещества С  К М Решение I х 0,1 0,1х II у 0,25 0,25у III 3 0,2 0,6     у 3 х   1.0 .6,0 х 25.0 х = 1.  у = 2. у         Ответ: 1; 2. 22 8. После смешения двух растворов, один из которых содержит 48 гр., а другой 20г. безводного   йодистого   калия,   получили   200г.   нового   раствора.   Концентрация первого на 15% больше концентрации второго. Найти концентрацию каждого.  Состояние вещества С  К М Решение I х 48 х 48 II у 20 у 20 III 200      у ,200  х 48 20 х у х = 120.      у = 80.  .15.0           48  = 0,4 = 40%.       120 20  = 0,25 = 25%. 80 Ответ: 40%, 25%. 9. В сосуд ёмкость 6 лит. налито 4 лит. 70%­ого раствора серной кислоты. Во второй сосуд   такой   же   ёмкостью   налито   3   лит.   90%­ого   раствора   серной   кислоты. Сколько литров надо перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нём получился r %  раствора серной кислоты. Состояние вещества С  К М Ответ: х =  70) ­r(4 r90 Решение I 4 0,7 2.8 х =  70) ­r(4 r90 II х 0,9 0,9x III 4 + х 0,01r 2.8 + 0.9x 10.Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды надо добавить к 30 кг. воды, чтобы концентрация соли стало 1,5%. Состояние вещества С  К М Решение I 30 0,05 30*0,05 II х 0 0 III 30 + х 0,015 0,015(30 + х) 1,5 = (30 + х)*0,015.         х = 70. 23 Ответ: 70. Сушка. 1. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие 12% . Сколько сухих грибов получится из 22 кг. Состояние вещества С К М Решение I 22 0,1 2,2 2,2 х =  88,0  = 2,5. II х 0,88 2,2 Ответ: 2,5. 2. Яблоки при сушки теряют 84% своей массы. Сколько надо взять свежих яблок что бы приготовить 16 кг. сушеных. Решение 16  = 100 16,0 3. Собрали 140 кг. Грибов, влажность которая составляет 98% после подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов.  Состояние вещества С К М Решение I 140 0,02 2,8 8,2 07,0  = 40. II х 0,07 2,8 Ответ: 40. 4. 17 кг свежих грибов содержат 90% воды, сухие содержат 15% воды. Сколько получится сухих грибов? Состояние вещества С К М Ответ: 2кг. Решение I 17 0,1 1,7 7,1 85,0  = 2кг II х 0,85 1,7 24 Переливание. 1. В сосуде 729 литров чистой кислоты. Отлили а литров, долили водой. Так сделали 6 раз, получили 64 литра чистой кислоты. Найти а.  Решение )n а нА а ) 6 ,               729 Ак = Ан (1 ­  64  = (1 ­  729 а = 243. Ответ: 243. 2. В сосуде 20 литров спирта. Часть отлили и долили водой. Затем ещё раз отлили и долили водой. После этого в сосуде оказалось спирта втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили в первый раз?  Решение а ) 2 ,     20 а  = 0,5.      а = 10. 20 Ан =20,      Ак =5. 5  = (1 ­  20 1 ­  Ответ: 10л. 3. Из   бака,   наполненного   спиртом,   вылили   часть   и   долили   водой.   Опять   вылили столько   же   и   долили   водой.   После   этого   в   баке   осталось   49   литров   чистого спирта.   Вместимость   бака   64   литра.   Сколько   литров   вылили   в   первый   раз,   и сколько во второй?  Решение 49  = (1 ­  а ) 2 ,               а = 8л. 64 64 49  = 1 ­  а ,        а = 7л. 64 56 Ответ: 8л., 7л. 4. Из сосуда, вмещающего 30л. спирта , отлили некоторое количество его и долили водой, потом отлили смеси на 2л. больше. В сосуде осталось 12л. чистого спирта Сколько литров жидкости отливали каждый раз. а )(1 ­  30 14  ­  а )( 15 30 2а 12  = (1 ­  ). 30 30 2  = (1 ­  а ).  30 5 15t 2  ­ 29t + 8 = 0.       t =  Ответ: а = 10л. 1 ,   t =  3 Решение: 8 . 5 25 ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ «СЛОЖНЫЕ  ПРОЦЕНТЫ» 1. На товар снизили цену на 15% , затем еще на 12%. Какова цена товара, если он стоил 18руб.? Ак = 18*(1­0,15)(1­0,12) = 13,464. Ответ: 13руб.46коп. Решение. 2. Первоначальная цена товара 16руб. После двух снижений на одно и то же число процентов цена стала 9руб. На сколько процентов цена снижалась каждый раз? Решение. 9  = (1­ 0,01Р); 16 3 ; 1 ­ 0,01Р =  4 0,01Р = 0,25 Р = 25%. Ответ: 25% 3. Имеется два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40% меди, второй 32%.   Какого   веса   надо   взять   куски   этих   слитков,   чтобы   после   их   переплавки получить 8кг. Сплава, содержащего 35% меди. Решение. Состояние вещества С  К М I х 0,4 0,4х II у 0,32 0,32у III 8 0,35 2,8   ,8 у х   4,0 х 32,0 8,2  х = 3кг.   у = 5кг.     Ответ: 3кг. 5кг. 4. Имеются два разных сплава меди. В первом меди содержалось на 40% меньше, чем во втором. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в первом и втором сплавах, если известно, что меди в первом сплаве было 6кг., а во втором 12кг.? Состояние вещества Решение. I II III 26 С  К М 6 х х 6 12 х4,0 х + 0,4 12 50 0,36 18 12 6  +   = 50; х 50х + 2х ­ 2,4 = 0;   х4,0 Ответ: 20%. 60%. х = 0,2. 5. Один раствор содержит 30%, а второй 55% азотной кислоты. Сколько надо взять первого и второго, чтобы получилось 100 литров 50%­го раствора азотной кислоты? Состояние вещества С  К М Решение. I х 0,3 0,3х II у 0,55 0,55у III 100 0,5 50 100 у 55,0   у х    3,0 х 50  х = 20л. у = 80л. Ответ: 20л. 80л. 6. Имеется 5 л. 70%­го раствора серной кислоты. Сколько литров 80%­го раствора серной кислоты надо долить в этот раствор, чтобы получить 72% раствор серной кислоты? Состояние вещества С  К М Решение. I 5 0,7 3,5 II х 0,8 0,8х III 5 + х 0,72 0,72(5 + х) Ответ: 1,25л. 3,5 + 0,8х = 0,72(5 + х); х = 1,25л. 7. Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг. Пресной воды надо добавить, если морской взято 80кг., чтобы содержание соли было 2%? Состояние вещества Решение. I II III 27 С  К М 80 0,05 4 х 0 0 80 + х 0,02 0,02(80 + х) Ответ: 120. 0,02 (80 + х) = 4; х = 120. 8. Из сосуда содержащего 48 литров спирта и долили водой. Потом еще раз отлили столько же и долили водой. В сосуде осталось 27 литров чистого спирта. Сколько литров отливали каждый раз. Решение. а )n; нА а )²; 48 а )²; 48 3 ; 4 А к  = (1 ­  А н 27  = (1 ­  48 9  = (1­  16 а  =  1 ­  48 а = 12л. Ответ: 12л. 28