Поступающим в вузы

П. Т. ДЫБОВ

В. А. ОСКОЛКОВ

ЗАДАЧИ

по МАТЕМАТИКЕ

(с указаниями и решениями)

Москва

ОНИКС

Мир и Образование 2006

УДК 51(076.2) ББК 22.1я721

         Д87

Дыбов П. Т.

Д87 Задачи по математике (с указаниями и решениями) / П. Т. Дыбов, В. А. Осколков. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2006. — 464 с.: ил. — (Поступающим в вузы).

ISBN 5-488-00573-0 (ООО «Издательство Оникс»)

ISBN 5-94666-317-8 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)

Книга содержит более 3000 задач по всем разделам школьного курса математики, а также не входящим в программу средней школы, но часто предлагаемым на вступительных экзаменах в вузы. Большинство задач сборника в разные годы предлагалось на вступительных экзаменах по математике в ведущих вузах России и ближнего зарубежья.

В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения и примеры решения типовых задач, а также задачи для самостоятельного решения. В конце книги даны ответы и методические указания, а к наиболее трудным задачам — подробные решения.

Сборник предназначен для школьников старших классов, абитуриентов, учителей и преподавателей подготовительных курсов.

УДК 51(076.2)

ББК 22.1я721

ISBN 5-488-00573-0

(ООО «Издательство Оникс»)

ISBN 5-94666-317-8

(ООО «Издательство «Мир и Образование»)

© Дыбов П. Т., Осколков В. А., 2006

© Оформление обложки.

    ООО «Издательство Оникс», 2006

Предисловие

Данный сборниê содержит более 3000 задач по всем разделам шêольноãо êурса математиêи. В неãо таêже вêлючены разделы, не входящие в проãрамму средней шêолы, но необходимые при сдаче вступительноãо письменноãо эêзамена по математиêе в университеты, техничесêие и педаãоãичесêие вузы России, а именно в те вузы, êоторые предъявляют высоêие требования ê поступающим.

Большинство задач сборниêа в разные ãоды предлаãалось на вступительных эêзаменах по математиêе в ведущих вузах нашей страны и ближнеãо зарубежья.

Пособие состоит из 11 ãлав, êоторые имеют одинаêовую струêтуру. В êаждом параãрафе приводятся необходимые теоретичесêие сведения и примеры решения типовых задач, а таêже задачи для самостоятельноãо решения, ê êоторым в êонце êниãи даны ответы. Часть из них сопровождается методичесêими уêазаниями, а наиболее трудные — подробными решениями. Сложные задачи иллюстрируются ãрафиêами и чертежами, что способствует развитию у учащихся êаê аналитичесêих, таê и пространственных навыêов.

В êниãе приняты следующие обозначения: задачи, ê êоторым даны решения, отмечены знаêом ; задачи, êоторые сопровождаются методичесêими уêазаниями, — знаêом .

Сборниê предназначен для шêольниêов старших êлассов, учащихся математичесêих и физиêо-математичесêих лицеев. Пособие таêже полезно слушателям и преподавателям подãотовительных êурсов при высших учебных заведениях и абитуриентам, самостоятельно ãотовящимся ê вступительным эêзаменам в вуз.

Авторы

Глава I Алãебраичесêие óравнения и неравенства. Фóнêции одной переменной

§ 1. ЛИНЕЙНАЯ  ФУНКЦИЯ.  ЛИНЕЙНЫЕ  УРАВНЕНИЯ И  НЕРАВЕНСТВА  С  ОДНОЙ  ПЕРЕМЕННОЙ

Модóль действительноãо числа. Определение. Модулем (абсолютной величиной) действительноãо числа a называют число, равное:

1) числу a при a > 0; 2) нулю при a = 0;

3) числу –a при a < 0.

Модуль любоãо числа есть число неотрицательное.

Модуль числа a обозначают |a|. С помощью этоãо обозначения модуль действительноãо числа a можно записать следующим образом:

a при a > 0,

|a| = 0 при a = 0, –a при a < 0. Таê êаê при a = 0 имеем |a| = 0 = a = –a, то определение модуля действительноãо числа можно таêже записать в одной из следующих форм:

a при a l 0, или    2) |a| = a–a припри  aa > 0, m 0.

1) |a| = –a при a < 0   

1.                        Доêажите справедливость неравенства –|x| m x m |x|.

2.                        Доêажите, что при a > 0 неравенство |x| < a равносильно двойному неравенству –a < x < a (при a l 0 неравенство |x| m a равносильно двойному неравенству –a m x m a).

3.                        Доêажите, что для тоãо чтобы число x удовлетворяло неравенству |x| > a, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло одному из двух неравенств: x > a, x < –a.

4.                        Доêажите, что неравенство |a| < |b|:

а) равносильно неравенству –b < a < b, если b > 0;

б) равносильно неравенству b < a < –b, если b < 0.

5.                        Доêажите, что |x + y| m |x| + |y|.

6.                        Доêажите, что |x – y| l |x| – |y|.

7.                        Доêажите, что: а) |xy| = |x| · |y|;      б) ^x-_y = ^----x_y , y − 0.

8.                        _Доê_ажите, _что:

а) если a и b имеют одинаêовые знаêи, то

^a-_b- + -_a^b- l 2,

причем равенство выполняется лишь при a = b;

б) если a и b имеют разные знаêи, то

^a-_b- + -_a^b- m –2,

причем равенство выполняется лишь при a = –b.

Иначе ãоворя, для любых a − 0, b − 0 справедливо неравенство

^a-_b- + _a-^b- l 2,

причем знаê равенства имеет место лишь при a = äb.

9.                        Решите уравнение:

а) ax = x²; б) (a – 2)x = a² – 4; в) (a² – 9)x = a² + 27.

10.                     Решите неравенство:

               а) –4x > 5; б) 5x + 6 m 3x – 8; в) ax m 1;                 ã) ax > 1.

11.                     Решите систему неравенств:

а) –3xx > 1, < 3;     б) –2xx <  > –1;π,     в) x2x > –1, + 1 m 5;      ã) 3xx +  + 2 5l < 0. 0,

12.                     Найдите значения x ° N, удовлетворяющие неравенству 5x – 7 < 2x + 8.

Решите уравнение:

13.                     а) |x – 1| = 3; б) |x + 2| = –1; в) |3 – x| = a; ã) |x – a| = 2.

14.                     а) |x – 3| = x – 3;    б) |x – 3| = 3 – x;   в) |x – 3| = x.

15.                     а) |2x – 1| = |x + 3|;              б) |x – a| = |x – 4|.

16.                     а) |x – 4| + |x + 4| = 9; б) |x – 4| + |x + 4| = 8;

              в) |x – 4| – |x + 4| = 8;             ã) |x + 4| – |x – 4| = 8.

17.                     |x – 3| + |x + 2| – |x – 4| = 3.

18.                     При êаêих значениях a уравнение |2x + 3| + |2x – 3| = = ax + 6 имеет более двух êорней?

Решите неравенство:

19.                     а) |x| > a;               б) |x – 1| > –1; в) |x – 1| > 1.

20.                     а) |x| < a;               б) |x + 2| m –2; в) |x + 2| < 2.

21.                     а) |2x + 1| > x; б) |2x + 3| m 4x.

22.                     а) |1 – 3x| – |x + 2| m 2;       б) |x + 2| + |x – 3| > 5.

23.                     Решите систему неравенств:

   а) |2xx| l – 1 > 3; x,              б) ||xx|  + 2| > 1.m –x,

24.                     При êаêом значении a фунêция f(x) = (a – 2)x + 3a – 4, x ° (–×; +×), является: а) четной; б) нечетной?

25.                     При êаêом значении a фунêция f(x) = (a + 3)x + 5a, x ° (–×; +×), является периодичесêой?

26.                     Найдите значения k, при êоторых фунêция f(x) = (k – 1)x + + k² – 3, x ° (–×; +×): а) монотонно возрастает; б) монотонно убывает.

27.                     Определите значения m, при êоторых фунêция y = (m² – – 4)x + |m|, x ° (–×; +×), имеет обратную фунêцию. Найдите эту фунêцию.

28.                     Дана линейная фунêция f(x). Доêажите, что фунêция F(x) = f(f(x)) таêже является линейной.

Уравнение прямой в прямоóãольной системе êоординат на ^плосê^ости. Пусть на плосêости задана прямоуãольная система êоординат xOy.

_y                                                Тоãда уравнение прямой (рис. 1), не парал-

лельной оси Oy (для êратêости будем называть ее наêлонной прямой), имеет вид y = kx + b, k = tg ϕ,

ãде tg ϕ — уãловой êоэффициент прямой, ϕ — уãол между прямой и положительным направ-

Рис. 1 лениемê_аемоã_о  оси_прямой Ox,  _наb —  _осивеличина Oy; отрезêа, отсеуравнение прямой, параллельной оси Oy и проходящей че-

рез точêу x = x₀ на оси Ox, имеет вид

x   = x₀,   или   x – x₀ = 0;

уравнение прямой, параллельной оси Ox и проходящей че-

рез точêу y = y₀ на оси Oy, имеет вид

y   = y₀,   или   y – y₀ = 0.

Если наêлонные прямые y = kx + b и y = k₁x + b₁ параллельны, то их уãловые êоэффициенты равны: k = k₁. Если же эти наêлонные прямые перпендиêулярны, то их уãловые êоэффициенты связаны соотношением k1 = –1-k .

Уравнение прямой, проходящей через точêу (x₀; y₀) и имеющей уãловой êоэффициент k, записывают в виде y – y₀ = k(x – x₀),

а уравнение прямой, проходящей через точêи M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂), — в виде

-----------------_xx₂−₋x_x¹₁- = ----------------_y^y₂⁻₋^y_y¹₁ .

Если фунêция y = f(x) в точêе (x₀; y₀), ãде y₀ = f(x₀), имеет êонечную производную f′(x₀), то уравнение êасательной ê ãрафиêу фунêции y = f(x) в точêе (x₀; y₀) записывают в виде y – y₀ = f′(x₀) (x – x₀),

а уравнение нормали (т. е. прямой, перпендиêулярной êасательной) ê ãрафиêу фунêции y = f(x) в этой точêе имеет вид

y – y₀ = –_f--------------_′(¹_x0-₎ (x – x₀).

Постройте ãрафиê фунêции:

29.   а) y = 2x;   б) y = –¹-₃ x.

30.   а) y = x – 2;               б) y = 3 – x.

31.   а) y = 2x – 1;             б) y = 1 – 3x.

32.   а) y = |x – 1|;            б) y = –|x + 2|.

33.   а) y = |1 + 2x|;          б) y = –|–4x + 2|.

34.   y = ||x – 1| – 2|.

35.   y = |x + 2| + |x – 3|. 36. y = |2x + 1| – |2x – 2|.

       37. y = x + ----^x_x .                     38. y = x + |x – 1| + --------------^x_x ⁻₋ ²₂- .

Постройте ãрафиê уравнения:

39. -----------x y+ 1- = –1.                         40. |y| + x = –1.

       41. |x| + |y| = 2.                             42. |y – 3| = |x – 1|.

На плосêости xOy уêажите точêи, удовлетворяющие неравенству:

         43. y > x.                                           44. y < –x.

        45. y l |x|.                                       46. x > |y|.

На плосêости xOy уêажите точêи, удовлетворяющие уравнению:

        47. y + |y| – x – |x| = 0.                  48. |x + y| + |x – y| = 4.

       49. |y|x = x.                                      50. |x – y| + y = 0.

51.                     Найдите значение a, при êотором фунêция y непрерывна в точêе x = 0, если

2x + 1   при x m 0, ^{y =} –x + a   при x > 0.

Дифференцирование. Если фунêции u(x) и v(x) определены в области D ÷ R и дифференцируемы в этой области, то производную их произведения находят по формуле

(uv)′ = u′v + v′u

в точêах x ° D, а производную их частноãо — по формуле

^{ u}-v ^_ ^′ = ^u------------------------^′vv⁻₂^v′u

_

в точêах x ° D, ãде v(x) − 0.

52.                     Найдите êритичесêие точêи фунêции:

            а) y = |3x + 1|;                          б) y = |x + 1| + x + 1;

в) y = |x + 1| + |x – 1|; ã) y = |x – 3| – |x + 3|. Найдите интервалы монотонноãо возрастания и убывания фунêции:

53.                     а) y = 3 – x;             б) y = -_x¹ x + 1.

54.                     а) y = 2 + |x – 4|;    б) y = 3 – |x|.

55.                     а) y = –(|x + 10| + |x – 10|);  б) y = |x – 4| – |x + 5|;

в) y = |x + 4| – |x + 3| + |x + 2| – |x + 1| + |x|.

Производные  элементарных  фóнêций

1.  C′ = 0, C = const.

2.  (x^α)′ = αx^{α – 1}, x > 0, при α ° R; x ° R при α = 2n + 1, n ° Z.

3.  (e^x)′ = e^x.   4. (a^x)′ = a^x ln a, a > 0, a − 1.

         5. (ln |x|)′ = -_x¹ .      6. (log_a |x|)′ = ------------_xln¹ _a- , |x| − 0, a > 0, a − 1.

            7. (sin x)′ = cos x.              8. (cos x)′ = –sin x.

9.       (tg x)′ = cos---------------12x , x − -2π + πn, n ° Z.

10.    (ctg x)′ = –-------------_sin¹_2x- , x − πn, n ° Z.

11.    (arcsin x)′ = , |x| < 1.

12.    (arccos x)′ = –           , |x| < 1.

13.    (arctg x)′ = 1--------------+1x2- .

14.    (arcctg x)′ = –--------------_{1 +}¹_x2- .

Если арãумент фунêции, приведенной в таблице, является фунêцией, дифференцируемой в области D ° R, то производные сложных фунêций находят по правилам:

1.                (c f(x))′ = c · f′(x), c = const.

2.                [(f(x))^α]′ = α(f(x))^{α – 1} · f′(x), f(x) > 0 при α ° R; f(x) ° R при α = 2n + 1, n ° Z.

3.                (e^f(x))′ = e^f(x) · f′(x).

4.                (a^f(x))′ = a^f(x) · ln a · f′(x), a > 0, a − 1.

5.                (ln|f(x)|)′ = -----------^f_{f x}^′_{( )}^{( )x}- , f(x) − 0.

6.                (log_a |f(x)|)′ = -------------------_{f x}( )^{f′( )x}_lna- , f(x) − 0, a > 0, a − 1.

7.                (sin f(x))′ = cos f(x) · f′(x).

8.                (cos f(x))′ = –sin f(x) · f′(x).

9.                (tg f(x))′ = cos---------------------f′2( )f xx( ) , f(x) − 2-π + πn, n ° Z.

10.             (ctg f(x))′ = –sin---------------------f′2( )f xx( )- , f(x) − πn, n ° Z.

11.             (arcsin f(x))′ = --------------------------1^f−^{′( )}f^x_{2( )x}- , |f(x)| < 1.

12.             (arccos f(x))′ = –--------------------------1^f−^{′( )}f^x_{2( )x}- , |f(x)| < 1.

13.             (arctg f(x))′ ⁼ ₁----------------------₊^f′_f^{( )}₂^x_{( )x}- .

14.             (arcctg f(x))′ ^{= –}₁----------------------₊^f′_f^{( )}₂^x_{( )x}- .

Найдите точêи эêстремума фунêции:

56.           а) y = |2x – 1|;    б) y = 2 – |3 – 4x|.

57.           а) y = |3x + 2| + |2x – 3|;   б) y = |x + 7| –2|x – 2|.

58.           y = 2|x – 1| – 3|x + 2| + x.

59.           y = |x – 2| + |x – a|.

x + 1 при x < 2,

60.           Дана фунêция y = a           при x = 2, 5 – x при x > 2.

Найдите значения a, при êоторых эта фунêция имеет маêсимум в точêе x = 2.

61.           Найдите наименьшее и наибольшее значения фунêции y = |x – a| на отрезêе [1; 2] (a − 1; a − 2). Решите уравнение:

§ 2. КВАДРАТИЧНАЯ  ФУНКЦИЯ.

КВАДРАТНЫЕ  УРАВНЕНИЯ  И  НЕРАВЕНСТВА

Уравнение ax² + bx + c = 0 (a − 0) называют êвадратным. Выражение D = b² – 4ac называют дисêриминантом êвадратноãо уравнения. Если D l 0, то уравнение имеет два действительных êорня: x₁, 2 = ⁻----------^b±-----------------------------^b₂²_a^{− 4ac} .

Если D = 0, то êорни совпадают: x₁, 2 = –-----₂^b_a- ; если D < 0, то

êвадратное уравнение не имеет действительных êорней. Корни êвадратноãо уравнения связаны с еãо êоэффициентами соотношениями

x₁ + x₂ = –-_a^b- , x₁x₂ = -_a^c- .

Квадратное уравнение x² + px + q = 0 называют приведенным.

ТЕОРЕМА ВИЕТА. Сумма êорней приведенноãо êвадратноãо уравнения равна второму êоэффициенту, взятому с противоположным знаêом, а произведение êорней равно свободному члену: x₁ + x₂ = –p,     x₁x₂ = q.

Если D = p² – 4q l 0, то приведенное êвадратное уравнение имеет два действительных êорня x₁, 2 = ⁻-------------------------------------^{p ±} ₂^{p2 − 4q} ; если D = 0,

то êорни совпадают: x_{1, 2} = –-₂^p ; если D < 0, то уравнение не имеет действительных êорней.

Корнями уравнения ax² + 2bx + c = 0 при D l 0 являются числа

x₁,2 = ⁻----------^b±---------------------^b_a^{2 − ac}- ,

а êорнями уравнения x² + 2px + q = 0 — числа x₁, 2 = –p ä p² − q . Вершина параболы y = ax² + bx + c  находится в точêе с êоординатами – -----2ba- ; ----------------------4ac4a− b2  .

Пусть x₁ = -------------------------------------^{− p −} ₂^{p2 − 4q} и x₂ = ⁻--------------^{p +} -----------------------₂^{p2 − 4q} — êорни приве-

денноãо êвадратноãо уравнения

                                                   x² + px + q = 0                                              (1)

с действительными êоэффициентами, дисêриминант ∆ = p² – 4q > > 0. Тоãда справедливы ТЕОРЕМЫ:

1.          Если в уравнении (1) p > 0, q > 0, то еãо êорни связаны неравенствами x₁ < x₂ < 0.

2.          Если в уравнении (1) p < 0, q > 0, то еãо êорни связаны неравенствами 0 < x₁ < x₂.

3.          Если в уравнении (1) p > 0, q < 0, то еãо êорни связаны неравенствами x₁ < 0 < x₂.

4.          Если в уравнении (1) p < 0, q < 0, то еãо êорни связаны неравенствами x₁ < 0 < x₂.

5.          Если в уравнении (1) p > 0, q = 0, то еãо êорни связаны соотношениями x₁ < x₂ = 0.

6.          Если в уравнении (1) p < 0, q = 0, то еãо êорни связаны соотношениями 0 = x₁ < x₂.

7.          Если в уравнении (1) p = 0, q < 0, то еãо êорни связаны неравенствами x₁ < 0 < x₂.

1.   Решите уравнение:

2.   Решите неравенство:

         а) x² – 3x – 4 > 0;                             б) x² – 3x – 4 m 0;

          в) x² + 4x + 4 > 0;                             ã) 4x² + 4x + 1 m 0;

          д) 2x² – x + 5 > 0;                             е) x² – x + 1 < 0.

3.   Найдите решения системы:

   a) x2x – 2 < 0;² – 5x + 2 = 0,             б) xx + 4 ² – 2lx – 3 = 0, 0;

   в) xx2 – 4 < 0; – 9 l 0,                      ã) xx₂² – 25  – 6x + 5 m 0;l 0,

  д) 2xx² + 6 – 5 > 0;x + 9 m 0,          е) xx22 +  + 6xx + 8 < 0, + 5 = 0;

^ж) |813x – 2| + |x – 974 x – 3| = 1,m 163x².

4.          Пусть x₁ и x₂ — êорни уравнения x² + x – 7 = 0. Не решая уравнение, найдите:  а) x²₁ + x²₂ ;  б) x₁³ + x³₂ ; в) x⁴₁ + x⁴₂ .

5.          Дано уравнение ax² + bx + c = 0. Доêажите, что если x₁, x₂, x₃ — попарно различные действительные êорни этоãо уравнения, то a = b = c = 0.

6.          При êаêих значениях a уравнение

(a² – 3a + 2)x² – (a² – 5a + 4)x + a – a² = 0 имеет более двух êорней?

7.          Уравнение x² + рx + q = 0, ãде p ° Z, q ° Z, имеет рациональные êорни. Доêажите, что эти êорни — целые числа.

8.          Доêажите, что уравнение x² + (2m + 1)x + 2n + 1 = 0 не имеет рациональных êорней, если m ° Z, n ° Z.

9.          При êаêих значениях a êорни уравнения 2x² – (a³ + 8a – – 1)x + a² – 4a = 0 имеют разные знаêи?

10.       Найдите все значения a, при êоторых уравнение x² – ax + + 1 = 0 не имеет действительных êорней.

11.       При êаêих значениях k уравнение x² + 2(k – 1)x + k + 5 = = 0 имеет хотя бы один положительный êорень?

12.       Найдите все значения m, при êоторых оба êорня уравнения 2x² + mx + m² – 5 = 0:  а) меньше 1; б) больше –1.

13.       Найдите все значения k, при êоторых один êорень уравнения x² – (k + 1)x + k² + k – 8 = 0 больше 2, а друãой êорень меньше 2.

14.       Пусть x₁ и x₂ — êорни уравнения x² + 2(k – 3)x + 9 = 0

(x₁ − x₂). При êаêих значениях k будут выполнены неравенства –6 < x₁ < 1 и –6 < x₂ < 1?

15.       Найдите все значения k, при êоторых один êорень уравнения (k – 5)x² – 2kx + k – 4 = 0 меньше 1, а друãой êорень больше 2.

16.       При êаêих значениях m неравенство mx² – 9mx + 5m + + 1 > 0 выполняется для любоãо x ° R?

17.       Найдите все значения m, при êоторых всяêое решение неравенства 1 m x m 2 является решением неравенства x² – mx +

26.                    а) |x² + x – 20| m x² + x – 20; б) |x – 2x²| > 2x² – x;

в) |x² + 6x + 8| m –x² – 6x – 8.

27.                    а) |x² – 6| > 4x + 1; б) |x – 3| > |x² – 3|.

28.                    а) |2x² – x – 10| > |x² – 8x – 22|;

б) |x² – 5|x| + 4| l |2x² – 3|x| + 1|.

29.                    Найдите область определения фунêции:

        а) y =          −x² ; б) y = x –                       1 − x² ; в) y = x² − 4x + 3 ; ã) y =

=                   ; д) y =               16 − x² + x² + x ; е) y = x² − x +                          .

30.                    Доêажите, что фунêция f(x) = ax² + bx + c (a − 0) не является периодичесêой.

31.                    При êаêих значениях a фунêция f(x) = –x² + (a – 1)x + 2 монотонно возрастает на интервале (1; 2)?

32.                    Найдите фунêцию, обратную фунêции f(x) = x² – 6x + 1 на интервале: а) (–×; 3);   б) (5; 7).

Постройте ãрафиê фунêции:

41.   y = |x² – 4| – |x² – 9|.

42.   Найдите производную фунêции:

          a) y = x² – 6x + 15;                     б) y = –x² – x +       5 ;

          в) y = 3x² + x + sin 1;                 ã) y = –4x² – (tg 2)x + π;

д) y = ¹-₂ x² – x 3 + 2 ² ; е) y = –₃¹- x² + πx + arctg 4;

         ж) y = (5x + 1)²;                          з) y = –(0,5x – 4)²;

        и) y = ax² + |a|;                           ê) y = (a – 1)x² – ax.

43.       В уêазанной точêе x₀ найдите значение производной фунêции:

а) y = x² – 5x + 6, x₀ = 1; б) y = –x² + 3x, x₀ = –2;

         в) y = ¹-₂ x² – x, x₀ = 1;                ã) y = –¹-₂ x² + x, x₀ = 0.

44.       В уêазанной точêе x₀ определите уãол между осью абсцисс и êасательной ê êривой:

а) y = 2x² + x, x₀ = 2; б) y = –x² + 2x, x₀ = 3; в) y = ^x----₂² + x 3 ,

x₀ = 0; ã) y = 2x – x², x₀ = 1,5; д) y = 3x + 4x², x₀ = –2.

45.       В уêазанной точêе M (x₀; y₀) составьте уравнение êасательной ê параболе:

а) y = 3x² – 6x + 1, M(0; 1); б) y = –0,5x² – 4x + 3, M(–1; 6,5);

в) y = x² – 4x + 8, M(–2; 4).

46.       При êаêом значении a êасательная ê параболе y = ax² + + x – 3 в точêе M(1; a – 2) параллельна прямой y = 2x – 1?

47.       На параболеy = x² взяты две точêи с абсциссами x₁ = a, x₂ = 3a, a − 0. Через эти точêи проведена сеêущая. В êаêой точêе параболы êасательная ê ней будет параллельна проведенной сеêущей?

48.       Составьте уравнение таêой êасательной ê параболе y = –2x² + 16x – 31, êоторая параллельна оси абсцисс.

49.       Составьте уравнение таêой êасательной ê параболе y = 2x² + 8x, êоторая перпендиêулярна оси ординат.

50.       При êаêих значениях k êасательная ê параболе y = = 4x – x² в точêе M(1; 3):

a) является êасательной ê параболе y = x² – 6x + k;

б) пересеêает параболу y = x² – 6x + k в двух точêах? Найдите êритичесêие точêи фунêции:

в) y = –(x – 2) |x – 2|.

56.  Определите интервалы монотонноãо убывания фунêции:

          а) y = x² – 3x + 1;                              б) y = –x² – 4x + 8;

         в) y = 0,5x² – |x|;                           ã) y = |0,5x ² – |x||.

57.  Определите интервалы монотонноãо возрастания фунêции:

        а) y = ¹-₃ x² – x –      2 ;                      б) y = –2x² + 8x – 3;

         в) y = |x – 4| – x²;                          ã) y = ||x – 4| – x²|.

Определите точêи эêстремума фунêции:

58.  а) y = x²;  б) y = –x²;                в) y = (x – 1)²;

ã) y = –(2 + x)²; д) y = x² + 2x + 100; е) y = –4x² + x – 5.

59.  а) y = x|x|;              б) y = |2x + 3|²;      в) y = (x – 2)|x + 1|.

60.  а) y = x² – 3|x| + 2; б) y = x² + 3|x| + 2;

в) y = x² – |x – 1| + 3.

61.  а) y = |x² – 6|x| + 8|;             б) y = |x² – |x – 2| – 14|.

62.  а) y = |x² – 1| – |x² – 4|;       б) y = |x² – 4| + |x² – 25|.

Найдите наименьшее и наибольшее значения фунêции на уêазанном промежутêе:

63.  а) y = 3x² – x + 5 на отрезêе [1; 2];

б) y = –4x² + 5x – 8 на отрезêе [2; 3];

в) y = x² – 2x + 5 на отрезêе [–1; 2];

ã) y = –x² + 6x – 1 на отрезêе [0; 4].

64.  а) y = x² + |x + 2| на отрезêе [–3; –1];

б) y = (x – 3) |2 – x| на отрезêе [1; 4];

в) y = |x² – 4|x|| на отрезêе [–1; 3].

65.  Пусть x₁ и x₂ (x₁ − x₂) — нули фунêции f(x) = ax² + bx + + c. Доêажите, что существует таêая точêа x₀ ° (x₁; x₂), в êоторой производная фунêции f(x) равна нулю.

66.  Фунêция f(x) = ax² + bx + c задана на отрезêе [x₁; x₂], причем f(x₁) = f(x₂) = A, x₁ − x₂. Доêажите, что найдется таêая точêа x₀ ° (x₁; x₂), в êоторой производная фунêции f(x) равна нулю.

67.  Фунêция f(x) = ax² + bx + c (a − 0) задана на отрезêе [x₁; x₂]. Доêажите существование точêи x₀ ° (x₁; x₂) таêой, что f(x₂) – – f(x₁) = f′(x₀) (x₂ – x₁). Определите абсциссу точêи x₀.

68.  Решите неравенство:

             а) |x² – 3|x – 1|| < x + 2;            б) |x² + 2|x – 3|| l 4x + 5;

         в) x + |x² – 2|2x + 1|| < 0,25;        ã) 2x – |0,5² – |1 – 6x|| m 3.

69.  Пусть x₁ и x₂ — êорни заданноãо êвадратноãо уравнения, удовлетворяющие уêазанному условию. Найдите значение параметра, если:

а) x² + 5x + c = 0, x²₁ + x²₂ = 13;

б) x² + x + a = 0, _x^----1₁ + ----_x¹₂ = ¹-₂ ;

в) x² + px – 5 = 0, x²₁ + x²₂ = 11;

ã) x² + bx – 1 = 0, _x----¹₁ + ----_x¹₂ = 4.

70.  Найдите все значения параметра, при êоторых заданное уравнение имеет решение на уêазанном интервале:

а) x² – 2ax + 8a – 15 = 0, (1; +×);

б) x² + 2bx + 6b – 8 = 0, (–×; –1);

в) x² – 2cx + 5c – 4 = 0, (0; +×);

ã) x² + 2dx + 7d – 12 = 0, (–×; 0).

71.  Найдите значения параметра, при êоторых:

 а) один из êорней уравнения x² + (2a – 1)x + a² + 2 = 0

в 2 раза больше друãоãо;

б) отношение êорней уравнения px² – (p + 3)x + 3 = 0 равно 1,5;

в) отношение êорней уравнения x² + bx + b + 2 = 0 равно 2;

ã) один из êорней уравнения x² – (3c + 2)x + c² = 0 в 9 раз

больше друãоãо.

72.  Найдите все значения параметра, при êоторых уравнение:

 а) 2x² – ( a² − 1 )x + a = 0 имеет два различных положи-

тельных êорня;

б) 3x² + c² − 3c + 2x + 3c = 0 имеет êорни, знаêи êоторых

противоположны;

в) 0,5x² + p² − 5p + 6x + 2p = 0 имеет два различных отри-

цательных êорня; ã ) x² + q² − 5q + 4x – q + 2 = 0 имеет два различных отри-

цательных êорня.

73.  Найдите все значения параметра, при êоторых данное неравенство справедливо для всех действительных значений x, êроме, быть может, уêазанноãо значения x₀. Решите задачу, если:

 а) (a – 3)x² – (a + 1)x + a + 1 > 0, x₀ = 2;

б) (2 – b)x² – (b + 2)x – b – 2 > 0, x₀ = –2;

в) (2c – 1)x² – 2(c + 2)x + 2c + 4 > 0, x₀ = 2;

ã) 3(1 – d)x² – (3d + 1)x – 3d – 1 > 0, x₀ = –2.

74.  При êаêом a разность êорней уравнения 2x² – (a + 1)x + + (a – 1) = 0 равна их произведению?

75.  При êаêих значениях a уравнение (2 – x)(x + 1) = a имеет действительные положительные êорни?

§ 3. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

Решите уравнение:

1.   а) -x1 = 5;     б) -----------x 2− 1- = 0; в) -----------x 4+ 2- = a; ã) --------------2 1− x- = a.

2.   а) -----------x 3− 1- = -x2 ; б) -----------x 2− 1- + x = -----------xx −+ 11- ;

в) --------------^xx²₊⁺3³- = 2; ã) -----------x ¹₋ a- + -----------x ¹₋ 1- = ------------------------------------₍x ₋ a)²₍x ₋ 1) .

Решите неравенство:

6.  а) --------------_x ²_{+ 2}- m 1;          б) --------------_x ²_{− 2}- > ---------------_2x⁻3_{− 1}- ;

 в) ^x----------------------------x²_{2 −}^{− 4}6^xx ₊⁺ 9⁴- + --------------x^{x −}₋ 3²- – 12 < 0;  ã) x – 2 1 – _^{                1}-a ^_ < --------------------^2(x3a^{+ 1)}- .

Постройте ãрафиê фунêции:

7.  а) y = -_x² ;  б) y = –_x-¹ ;             в) y = -----------₂ ¹_{+ x}- ;           ã) y = -----------₁ ¹_{− x}- .

8.  a) y = --------------_x ¹_{− 3}- ;           б) y = –------------------_2x¹_{+ 1}- .

                          2 − x                                           x − 1 − 1

12.   а) y = --------------^x_x ⁻₊ ⁴₂- ;      б) y = --------------_x^{1 −}₊ ^x₃- .

13.   а) y = --------------_x^{x −}₋¹₁- ;       б) y = ------------------------_x^x_{+ 3}^{− 2}_{− 1}- .

14.   а) y = --------------^x_x ⁻₋ ¹₁- + --------------^x_x ⁺₊ ¹₁- – -_x¹ ; б) y = – --------------^x_x²₊⁻₃⁹- – x + -----------_x ²_{− 1}- .

Найдите производную фунêции:

15.   а) y = -_x¹ ;      б) y = –-_x² ;      в) y = --------------------₂(_x¹_{+ 1})- ;      ã) y = -----------₁ ¹_{− x}- .

16.   а) y = 1 – -----------_x ²_{+ 2}- ;        б) y = –3 + ---------------_2x¹_{− 1}- ;

    в) y = ²---------------_x^x₊⁻₁³- ;      ã) y = ---------------₁^x₋⁻₃⁴_x- .

17.В уêазанной точêе найдите значение производной фунêции:

         а) y = -_x³ , x₀ = 1;                       б) y = ----_x¹ , x₀ = –2;

в) y = ²---------------_x^x₋⁻₁¹- , x₀ = 0; ã) y = --------------^x_x ⁻₊ ³₁- , x₀ = 1.

18.                     В уêазанной точêе x₀ определите уãол между осью Ox и êасательной ê êривой:

в) y = ¹---------------⁻_x^2x- , x₀ = 3; ã) y = --------------_x^{x −}₊ ¹₃- , x₀ = –2;

  д) y = -_x¹ – -----------₁ ¹_{− x}- , x₀ = 2; е) y = ²---------------_2x⁻₊^3x₁- + ----_x¹ , x₀ = –1.

19.                     В уêазанной точêе P(x₀; y₀) составьте уравнение êасательной ê êривой:

          а) y = –-_x³ , P(3; –1);           б) y = -----------_x ¹_{− 2}- , P(1; –1);

в) y = --------------^x_x ⁻₊ ³₂- , P^_ 0; –³-₂ ^_ ; ã) y = ---------------₂^x_x⁻₊²₁- – --------------_x ¹_{− 3}- , P_^ 1; –-₆¹ _^ .

20.                     На ãиперболе y = x-----------_x ⁻₊ 1₁- найдите точêу M, в êоторой êасательная ê этой ãиперболе: а) параллельна прямой y = 2x + 1; б) перпендиêулярна прямой y = –¹-₈ x – 3.

21.                     Поêажите, что êасательные, проведенные ê ãиперболе y = ^x-----------_x ⁻₋ ⁴₂- в точêах ее пересечения с осями êоординат, параллельны между собой.

22.                     Составьте уравнение таêой êасательной ê ãиперболе y = x-----------x ++ 95- , êоторая проходит через начало êоординат.

23.                     Доêажите, что фунêция y = _cxax----------------₊⁺_db строãо монотонна на любом интервале (x₁; x₂) при условии ad − bc, c − 0, x = –^d-_c õ õ (x₁; x₂).

24.                     Найдите наибольшее и наименьшее значения фунêции:

а) y = ^x-----------_x ⁻₊ ³₁- на отрезêе [0; 2];

б) y = ²---------------_x^x₋⁺₂¹- на отрезêе [–1; 1].

25.                     Фунêция y = -_x^k (k > 0) задана на отрезêе [x₁; x₂]. Доêажите существование точêи x₀ ° (x₁; x₂) таêой, что y(x₂) – y(x₁) = = y′(x₀)(x₂ – x₁). Найдите êоординаты точêи x₀. § 4. ДЕЛЕНИЕ  МНОГОЧЛЕНОВ.  РАЦИОНАЛЬНЫЕ  ФУНКЦИИ.

УРАВНЕНИЯ  И  НЕРАВЕНСТВА  ВЫСШИХ  СТЕПЕНЕЙ

При делении мноãочлена (полинома) n-й степени

P_n(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ (a_n − 0)

на x – x₀ получаем

                     x--------------Pn−( )xx0- = Qn – 1(x) + x--------------−Rx0- ,                 (1)

ãде Q_{n – 1}(x) — частное (мноãочлен (n – 1)-й степени), R — остатоê.

ТЕОРЕМА БЕЗУ. Остатоê R от деления мноãочлена P_n(x) на x – x₀ равен значению мноãочлена P_n(x) в точêе x₀, т. е. R = = P_n(x₀).

В самом деле, запишем выражение (1) в виде P_n(x) =

= Q_{n – 1}(x)(x – x₀) + R.

Таê êаê P_n(x₀) = Q_{n – 1}(x₀)(x₀ – x₀) + R, то R = P_n(x₀).

Определение. Число x₀ называют êорнем (или нулем) мноãочлена P_n(x), если P_n(x₀) = 0.

Следствие теоремы Безу. Если x₀ — êорень мноãочлена P_n(x), т. е. P_n(x₀) = 0, то P_n(x) делится на x – x₀ без остатêа.

В этом случае P_n(x₀) = Q_n – 1(x₀)(x₀ – x₀) + R = 0 ⇒ R = 0, P_n(x) = Q_{n – 1}(x)(x – x₀).

Пример 1. Решить уравнение 4x³ – 3x² – 1 = 0.

 Леãêо убедиться в том, что x = 1 — êорень мноãочлена 4x³ – 3x² – 1:

 ⇒ 4x³ – 3x² – 1 = (x – 1)(4x² + x + 1).

Ответ: x = 1.

Уравнение

                         a_nxⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + ... + a₁x + a₀ = 0, a_n − 0, n l 1                    (2)

называют алãебраичесêим уравнением n-й степени.

ТЕОРЕМА. Если алãебраичесêое уравнение с целыми êоэффициентами имеет целый êорень, то свободный член уравнения делится на этот êорень.

Пример 2. Решить уравнение 2x³ + 3x² – x + 2 = 0.

 Свободный член уравнения делится на ä1, ä2. Леãêо убедиться, что –2 является êорнем уравнения.

Разделив мноãочлен 2x³ + 3x² – x + 2 на x + 2, получим в частном 2x² – 2x + 1; поэтому исходное уравнение можно записать в виде

(x + 2)(2x² – 2x + 1) = 0.

Это уравнение имеет единственный êорень x = –2, таê êаê дисêриминант êвадратноãо трехчлена 2x² – 2x + 1 отрицателен. Ответ: x = –2.

ТЕОРЕМА. Если алãебраичесêое уравнение с целыми êоэффициентами имеет рациональный êорень ^m---_k- , ãде ^m---_k- — несоêратимая дробь, то свободный член уравнения делится на m, а êоэффициент при старшей степени делится на k.

Пример 3. Решить уравнение 3x³ + x² + x – 2 = 0.

 Свободный член уравнения делится на ä1, ä2, а êоэффициент при старшей степени делится на ä1, ä3. Значит, рациональными êорнями моãут быть числа ä1, ä2, ä¹-₃ , ä²-₃ . Подставив эти числа в уравнение, находим êорень x = ^2-₃ . Разделив мноãочлен на x – ²-₃ , получаем в частном x² + x + 1, поэтому уравнение _ x – 2-₃ _ (x² + x + 1) = 0 эêвивалентно исходному. Оно имеет единственный êорень x = ²-₃ .

Ответ: x = ²-₃ .

1.Решите уравнение:

          а) (x – 1) (x² + 4x + 3) = 0;                      б) (2x + 3)(x² – x + 1) = 0;

        в) x³ + 27 = 0;         ã) 8x³ – 1 = 0;           д) x³ – 1 + x² – 1 = 0;

е) x³ + 8 + x² – 4 = 0;  ж) x³ + 1 + x + 1 = 0;  з) x³ – 8 + x – 2 = 0;

           и) x³ + x² + x + 1 = 0;                              ê) x³ – x² + x – 1= 0.

2.Уравнение x³ + ax² + bx + c = 0, ãде a, b, c — целые числа, имеет рациональный êорень x₁. Доêажите, что x₁ — целое число и что c делится на x₁ нацело.

3.Найдите рациональные êорни уравнения:

                а) x³ + 2x² – x – 2 = 0;                       б) x³ – x² – 8x + 12 = 0;

           в) x³ – 9x² + 27x – 27 = 0;                      ã) x³ + x² + x – 3 = 0;

               д) 6x³ + 7x² – 1 = 0;                                е) 2x³ + x² + 5x – 3 = 0.

4.Пусть x₁, x₂, x₃ — êорни уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0, a − 0. Доêажитеd-a . , что x₁ + x₂ + x₃ = –-_a^b- , x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = -_a^c- , x1x2x3 = –

5.Дано уравнение x³ + px + q = 0. Найдите сумму êвадратов еãо êорней.

6.Решите уравнение x³ + 3x – 3 = 0.

7.Решите уравнение:

а) (x – 1)(x + 3)(x² – x – 6) = 0;

б) (x² – 3x + 2)(x² + 7x + 10) = 0; в) (x² – x – 3) (x² – 2x + 2) = 0;

            ã) (x² – x +1)(x² – 2x + 3) = 0;                д) x⁴ – 16 – 5x(x² – 4) = 0;

 е) x⁴ + 11x² + 10 + 7x(x² + 1) = 0.

8.Уравнение x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0, ãде a, b, c, d — целые числа, имеет рациональный êорень x₁. Доêажите, что x₁ — целое число и что d делится нацело на x₁.

9.Найдите рациональные êорни уравнения:

а) x⁴ + 2x³ – 16x² – 2x + 15 = 0; б) x⁴ – 7x³ + 5x² + 4x + 12 = 0;

           в) x⁴ + x³ – 5x – 5 = 0;                            ã) x⁴ + x³ – 1 = 0;

 д) 6x⁴ – x³ + 5x² – x – 1 = 0.

Решите уравнение:

10.                     a) 2x⁴ – 5x² + 2 = 0; б) x⁴ – 2x² – 3 = 0.

11.                     а) (x – 1)⁴ + (x + 1)⁴ = 16;        б) (2x – 3)⁴ + (2x – 5)⁴ = 2. 12.  a) (x² + 2x)² – 7(x² + 2x) + 6 = 0;

^б) ----------------------------2x_{2 −}¹_{x + 1}- ⁺ ₂----------------------------_x2 ₋³_{x + 3}- ⁼ ₂----------------------------_x2 ¹⁰_{− x + 7}- .

13.                    a) (x – a)x(x + a)(x + 2a) = 3a⁴;

б) (6x + 5)²(3x + 2)(x + 1) = 35.

14.                    a) x² + ----_x⁴₂ – 8^_ x – -_x^{2 }_ – 4 = 0;

 б) 4x⁴ + 6x³ – 10x² – 9x + 9 = 0;

 в) ⁽-------------------^x5⁺₊¹₁⁾⁵- = ⁸¹------₁₁ ;              ã) (x² – 6x – 9)² = x³ – 4x² – 9x. _x

15.                    а) x² + ₍-------------------_x²⁵₊^x₅²₎2- = 11; б) (x² – 16)(x – 3)² + 9x² = 0.

16.                    а) x⁴ + 4x – 1 = 0;    б) x⁴ – 4x³ – 1 = 0;

 в) x⁴ – 2x² – 400x = 9999.

17.                    а) (x³ – 2x) – (x² + 2)a – 2a²x = 0;

 б) (x² – a)² – 6x² + 4x + 2a = 0.

18.                    x⁴ – 4x³ – 10x² + 37x – 14 = 0, если известно, что левая часть уравнения разлаãается на множители с целыми êоэффициентами.

Решите неравенство:

19.                    а) (x + 2)(x – 1)(x – 3) > 0;

б) (x + 2)x(x – 1)(x – 2) < 0;

в) (x + 4)⁵(x + 3)⁶(x + 2)⁷(x – 1)⁸ m 0;

ã) (x + 3)ⁿ(x – 2) < 0, n ° N.

20.                    а) x³ – 3x² – 10x + 24 > 0;       б) x³ + 4x² + 5x + 2 m 0;

в) 2x³ – 3x² + 7x – 3 > 0.

21.                    а) x⁴ – 3x³ + x² + 3x – 2 l 0; б) x⁴ + 6x³ + 6x² + 6x + 5 < 0.

22.                    а) 3x⁴ – 10x² + 3 > 0;               б) 2x²(x – 4)² < 32 – 5(x – 2)².

23.                    а) (x² – x)² + 3(x² – x) + 2 l 0;

б) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) < 48.

24.                    а) (x + 1)⁴ > 2(1 + x⁴);              б) x⁴ – x³ – 10x² + 2x + 4 < 0.

25.                    Доêажите, что мноãочлен P(x) = x⁸ – x⁵ + x² – x + 1 положителен при любом x ° R.

26.                    Пусть P(x) = a₀x^m + a₁x^{m – 1} + ... + a_m – 1 x + a_m и Q(x) = b₀xⁿ + b₁x^{n – 1} + ... + b_{n – 1} x + b_n, m ° N, n ° N, Q(x) Õ 0.

Доêажите, что неравенства -----------_{Q x}P x^{( )}_{( )}- > 0 и P(x)Q(x) > 0 равносильны.

Решите неравенство:

27.                    а) -_x¹ < -----------_x ²_{− 2}- ; б) ^x-----------_{x −}^{+ 4}₂- < _x----------- ²_{+ 1}- ; в) -----------_x¹_{+ 1}- – -_x¹ m -----------_x ¹_{− 1}- – -----------_x ¹_{− 2}- ;

 ã) ^x------------------------²x⁻₋^x1^{+ 1}- + ----------------------------^{x2 −}x³₋^x3^{+ 1}- > 2x – ---------------4x¹₋ 8- ;

д) ----------------------------------------------^{x3 −}x₂²₊^x2₃⁺_x⁵₊^x₂^{+ 2} l 1;   е) _x-----------¹_{+ 5}- + -----------_x ¹_{− 7}- + _x-----------¹_{− 5}- + _x-----------¹_{+ 7}- > 0.

28.                    а) --------------_x2¹_{+ x}- m ₂--------------------------------_x2 ₊¹_{2x + 3}- ;

 б) -----------x ¹₋ 1- – -----------x ⁴₋ 2- + -----------x ⁴₋ 3- – -----------x ¹₋ 4- < ------30¹ ;

в) ⁴--------------------x^x ₋⁻ 4¹⁷ + ¹⁰----------------------2^xx ⁻₋ ¹³3 - > ⁸--------------------2^xx⁻₋³⁰7 + ⁵---------------x^x₋⁻1⁴- .

29.                    а) x^{2 +} ₍-------------------_x^x₊²₁₎2- ^< ₄⁵- ;     б) x^{2 +} ₍-------------------_x⁴₋^x₂²₎2- m 5.

30.                    а) -----------------------_{x x}⁽₍^{x +}₂ ¹₊⁾₁⁴₎- > ¹²⁸--------₁₅- ;               б) x^{3 –} _x----¹₂ l 4^_ x – -_x^{1 }_ .

31.                    x-----------x +− 66-  xx-----------−+ 44- 2 + xx-----------−+ 66-  x-----------x +− 99- 2 < 2-----------------------xx22−+3672 .

32.                    а) |x³ – x| m x;        б) ------------------------_x + ⁴₁ − ₂- l |x – 1|.

Найдите производную фунêции:

33.                    а) y = x³ – 6x² + 1;   б) y = –x³ + ¹-₃ x – 2;

                в) y = x⁴ – 6x + 3;                          ã) y = –¹-₂ x⁴ + x³.

34.                    а) y = (x + 2)(x² – x + 5);

б) y = (3 – x)(x – x²);

в) y = (x² + x + 2)(x² + 2x + 3);

ã) y = x(x – 1)(x – 2)(x – 3).

35.                    а) y = --------------_{1 +}^x_x2- ;        б) y ⁼ ₂--------------¹₊⁻_x^x₂- ;    в) y = --------------^x_x³₊⁻₃^x- ;

ã) y = -------------------₍^x_x⁴₊⁺₁⁴₎^x₂- ; д) y = ---------------------------------------^{(x2 −}_x¹₋⁾⁽₄^{x + 3)} ; е) y = x³ + -----------_{1 −}¹ _x- .

36.                    а) y = (2 – 3x)³⁰;      б) y = 6^_ x² – -_x⁴ + 1 ^_ ⁸ ;

в) y = ^_ ^x--------------_x²₂ ⁺₋ ¹₁- ^_ ² ;          ã) y = (x⁴ – x³ + 5x² – 2)⁸.

В уêазанной точêе x₀ вычислите значение производной фунêции:

37.                    а) y = (x² – 3x + 3)(x² + 2x – 2), x₀ = 0;

б) y = (x³ – 3x + 2)(x⁴ + x² + 1), x₀ = 1;

в) y = (x² – 1)(x² – 4)(x² – 9), x₀ = –2;

ã) y = -------------------_(x^x₋⁵₂₎2- , x₀ = 1;

д) y = ----------------------------------------------_{(1 − x}2₎₍³_{1 − 2x}3₎ , x0 = 0.

38.                    а) y = -----------_x ¹_{+ 2}- + _x--------------₂³_{+ 1}- , x₀ = –1;

б) y = (1 + x³) 5^_  –_x----¹₂ ^_ , x₀ = a;

в) y = 1--------------^a₊⁻_x^x₂- , x₀ = a;

ã) y = [(x² + x + 1)(x² – x + 1)]⁵, x₀ = 0;

д) y = x(x – 1)(x – 2) ... (x – n), x₀ = 0, n ° N.

39.                    В заданной точêе P(x₀; y₀) составьте уравнение êасатель-

40.                    На êривой y = x³ – 3x + 2 найдите точêи, в êоторых êасательная параллельна прямой y = 3x.

41.                    В êаêой точêе êасательная ê ãрафиêу фунêции f(x) = ¹-₃ x³ –

– ₂³- x² – 9x + 8 параллельна биссеêтрисе I и III êоординатных уãлов?

42.       В êаêих точêах линии y = x³ + x – 2 êасательная ê ней параллельна прямой y = 4x + 5?

43.       На êривой y = x²(x – 2)³ найдите точêу, в êоторой êасательная ê ней параллельна прямой y = 24x – 1.

44.       На линии y = ₁--------------₊¹_x2- найдите точêу, в êоторой êасательная параллельна оси абсцисс.

45.       Поêажите, что любая êасательная ê êривой y = x⁵ + 8x + + 1 составляет с осью Ox острый уãол.

Найдите êритичесêие точêи фунêции: 46. а) y = 2x³ – ⁵-₂ x² + x – 3 ;

б) y = x³ – 3³ 3 x² + 3³ 9 x – 3³ 3 ;

                  в) y = 3x³ – x² + 5x + 0,7;               ã) y = (x + 2)²(3x – 1);

               д) y = x³ + 3|x|;                              е) y = |x³| – 9x.

47.                     а) y = x⁴ + 8x² – 64x + 1;

б) y = 3x⁴ + 16x³ + 6x² – 72x – 3;

                 в) y = x⁴ + 6x² + 5;             ã) y = –x⁴ + 4|x|;           д) y = x⁴ + 8|x³|.

48.                     а) y = ^x----₅⁵ – ²-₃ x³ – 3(x + 1);

б) y = 0,6x⁵ – 13x³ + 108x – 5;

в) y = ^_ ^x-----₅⁵ – ³-₂ x⁴ + 3x³_^ + 5^_ ----^x₃³ – -³₂ x^2_ + 4x – 7;

              ã) y = ^x----₇⁷ – 7x + π;              д) y = x² + ¹⁶------_x .

49.                     Найдите интервалы монотонноãо убывания фунêции:

          а) y = 2x³ + 3x² – 12x + 15;                  б) y = x⁴ + ¹-₃ x³ – 2;

         в) y = x⁵ – 20x³ + 1;        ã) y = ^x----------------------------x₂² ₊^{− 3}₃^x_{x +}^{+ 2}₂- .

50.                     Найдите интервалы монотонноãо возрастания фунêции:

          a) y = x³ – 5x² + 3x – 11;            б) y = –x³ + 6x² – 9x + 5;

          в) y = 0,25x⁴ + x² – 6;    ã) y = --------------x^x₂⁺₋²₁- ; д) y = ¹₁------------------------⁻_{+ x}^x ₊⁺ _x^x2₂- .

51.                     Определите точêи эêстремума фунêции: