Добавить материал

и получить 10 документов
и свидетельство автора

Семенова Альбина Михайловна

ЗАВИСИМОСТЬ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА.

docx
12.12.2022

Публикация педагогических разработок

Бесплатное участие. Свидетельство автора сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Добавить материал

знаки синуса,косинуса и тангенса.docx

Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения Чувашской Республики

«Чебоксарский медицинский колледж»

Министерства здравоохранения Чувашской Республики в городе Канаш

РАССМОТРЕНО и ОДОБРЕНО

на заседании

ЦМКОГСЭ

Протокол № ____

«____» _______________ 20 ___ г.

Председатель ЦМК

____________Л.М Иванова

утверждено

Зав. филиалом БПОУ «ЧМК»

МЗ Чувашии в г. Канаш

____________ Т.Э Фадеева

Методическая разработка теоретического занятия

знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость синусом, косинусом итангенсом одного и того же угла.

учебная дисциплина БД. 04 Математика

специальность 34.02.01Сестринское дело

(базовая подготовка)

Канаш, 2021

Составитель: Семенова А.М., преподаватель высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Рецензент: Иванова Л.М., преподаватель, высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Аннотация

Данная разработка предназначена для изучения темы «Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла» обучающимися 1 курсов СПО. Эта тема является введением в последующие, следовательно, именно ее успешное понимание и отработка послужат базой под изучение других.

Для того чтобы установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным, включить новые знания в систему ранее усвоенных, повторяется тема «Тригонометрия», которая подготавливает учащихся к восприятию нового материала.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 3

1. методический блок. 4

1.1. Учебно-методическая карта. 4

Формы деятельности. 4

1.2. Технологическая карта. 8

2. Информационный блок. 10

2.1. План лекции. 10

2.2 Текст лекции. 11

2.3. Глоссарий. 18

3. Контролирующий блок

ВВЕДЕНИЕ

Методическая разработка занятия на тему «Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла» из раздела «Тригонометрическая функция» составлена на основе Рабочей программы по математике и календарно-тематического плана. Темы занятия взаимосвязаны содержанием, основными положениями.

Цель изучения данной темы узнать знаки синуса, косинуса и тангенса, зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Программный материал данного занятия базируется на знаниях математики. Методическая разработка занятия составлена для проведения теоретических занятий по теме: «Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла» –2 часа. В процессе практического занятия студенты закрепляют полученные знания: определяют знаки синуса, косинуса и тангенса и знакомятся зависимостью между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Методическая разработка предназначена для оказания методической помощи студентам при изучении занятий по теме «Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла». Методическая разработка основывается на учебнике для базового и профильного обучения: Алгебра и начала математического анализа Ш.А Алимов.

1. МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК

1.1. Учебно-методическая карта

Тема занятия	Логарифмы.
Учебная дисциплина	БД.04 Математика
Специальность	34.02.01 Сестринское дело (базовая подготовка)
Курс	I
Группа	9М-11-20, 9М-12-20, 9М-13-20,9М-14-20, 9М-15-20.
Место проведения	Кабинет № 5
Продолжительность занятия	90 мин.
Характеристика занятия	Вид	Вид занятия: Лекция текущая, обзорная.
	Тип	Типы учебных занятий урок изучения нового материала; комбинированный урок
	Форма	Изложение, рассказ, объяснение с демонстрацией наглядных пособий. Формы деятельности Фронтальная.
Технологии обучения	Традиционная технология обучения
Методы обучения	Метод Репродуктивный: упражнения, действия по алгоритму. Интерактивные методы – практическая отработка осваиваемых знаний, умений, навыков на уровне компетенций
Средства обучения	1.По характеру воздействия на обучаемых: ИКТ - презентации; 2.По степени сложности: простые: учебники, печатные пособия.
Методическая цель	Методическая цель - отрабатывать методику контроля результатов выполнения письменных упражнений. - реализовывать индивидуальный дифференцированный подход в процессе выполнения обучающимися заданий для самостоятельной работы;
Цели и задачи занятия	Воспитательная			Формулировать интеллектуальных, нравственных, эмоционально-волевых качеств у обучающихся.		Воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний; Воспитывать ответственность за свои действия и поступки; Вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.
	Образовательная			Обобщение и систематизирование приобретенных знаний по теме Преобразование тригонометрических выражений, используя знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса; Зависимость знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса от положения точки, движущейся по тригонометрической окружности, от произвольного угла;		Вывод основного тригонометрического тождества; обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса числа по заданному значению одного из них. Включить новые знания в систему ранее усвоенных; закрепить изученный на этом уроке.
	Развивающая			Развитие речи, мышления, сенсорной восприятие внешнего мира через органы чувств сферы;		Формировать навыки познавательного мышления. Продолжить развитие умения выделять главное. Продолжить развитие умения устанавливать причинно-следственные связи. Развивать навыки и умения, в выполнении заданий по теме, умение работать в группе и самостоятельно. Развивать логическое мышление, правильную и грамотную математическую речь, развитие самостоятельности и уверенности в своих знаниях и умениях при выполнении разных видов работ. развивать познавательный интерес.
Планируемый результат	Уметь	Преобразовывать тригонометрические выражения. Воспроизвести опорные знания по теме; совершенствовать навыки применения основных тригонометрических формул и формул приведения; формировать навыки решения экзаменационных задач;
	Знать	Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса; Зависимость знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса от положения точки, движущейся по тригонометрической окружности, от произвольного угла; Знаки тригонометрического выражения.
Формированиекомпетенций у обучающихся	Общие (ОК)				Л1. Сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики; Л5. Готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности; Л8. Отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем; М2. Умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты; М5. Владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;
	Профессиональные (ПК)				П1. Сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке; П3. Владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; П4. Владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
Межпредметные связи	Входящие		Алгебра, тригонометрия.				Математический анализ.
	Выходящие		Тригонометрическое тождество				Тригонометрические уравнения.


Внутрипредметные	Синус, косинус, тангенс и котангенс.

Оснащение занятия	Методическое			Методическая разработка занятия.
	Материально-техническое			Ручка, карандаш, тетрадь, линейка.
	Информационное			Компьютер, интерактивная доска.
Список литературы	Основная			1.Алимов, Ш. А. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)10—11 классы / Ш.А. Алимов — М., 2018. – с.455. 2.Колягин, Ю.М. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 11 класс / М. В Ткачева., Н. Е Федерова. — М., 2018. - 384 с.
	Дополнительная			1 Александров А.Д., Геометрия / А.Л.Вернер, В.И. Рыжик (базовый и профильный уровни). 10—11 кл. – 2017. – 344 с. 2. Богомолов, И.Д. Математика: учебник / И.Д. Богомолов. – М., 2018. - 384 с.
	Интернет-ресурсы			1. Калашникова В.А. Методическое пособие: «Конспекты лекций по математике» [Электронный ресурс] /В.А. Калашникова. 2. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа (Математика для техникумов) [Электронный учебник] /Г.Н Яковлев. - Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/78472. 3.http://fcior.edu.ru/ - Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов 4.http://school-collection.edu.ru/ - Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

1.2. Технологическая карта

Деятельность преподавателя	Деятельность обучающихся	Методическое обоснование		Формируемые ОК и ПК
1. Организационный этап -5 мин.
Проверяет готовность обучающихся к занятию. дает положительный эмоциональный настрой, организует, проверяет готовность уч-ся к уроку	Готовятся к началу занятия.	Включение обучающихся в деятельность на личностно значимом уровне.		ОК 1, ОК 4. П1.
2. Этап всесторонней проверки домашнего задания - 10мин.
Выявляет правильность и осознанность выполнения всеми обучающимися домашнего задания; устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях.	По очереди комментируют свои решения. Приводят примеры. Пишут под диктовку.	Повторение изученного материала, необходимого для открытия нового знания, и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого обучающегося.		ОК1, ПК 1, ПК4
3. Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся - 5 мин.
Озвучивает тему урока и цель, уточняет понимание обучающегося поставленных целей урока. Эмоциональный настрой и готовность преподавателя на урок.	Эмоционально настраиваются и готовятся обучающихся на урок. Ставят цели, формулируют тему урока.	Обсуждение затруднений; проговаривание цели урока в виде вопроса, на который предстоит ответить. Методы, приемы, средства обучения: побуждающий от проблемы диалог, подводящий к теме диалог.		ОК 1, ОК 4. П1.
4. Актуализация знаний -30 мин.
Уточняет понимание обучающимися поставленных целей занятия. Выдвигает проблему. Создает условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел, имели представление о пределе числовой последовательности	Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух.		Создание проблемной ситуации. Уч-ся- фиксируют индивидуальные затруднения. Создание условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел.	ОК 1, ОК 4. П1.
5. Первичное усвоение новых знаний- 10 мин.
Создаёт эмоциональный настрой на усвоение новых знаний.	Внимательно слушают, записывают под диктовку в тетрадь.	Создание условий, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел.		ОК1, ПК 1, ПК4
6. Первичная проверка понимания- 10 мин.
Проводит параллель с ранее изученным материалом. Проводит беседу по уточнению и конкретизации первичных знаний;	Отвечают на заданные вопросы преподавателем.	Осознание степени овладения полученными знаниями - каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет.		ОК1, ПК 1, ПК4
7. Первичное закрепление- 5 мин.
Контролирует выполнение работы. Осуществляет: индивидуальный контроль; выборочный контроль. Побуждает к высказыванию своего мнения. Показывает на доске решение, опираясь на алгоритм.	записывают решение, остальные решают на местах, потом проверяют друг друга;	Тренировка и активизация употребления новых знаний, включение нового в систему Режим работы: устная, письменная, фронтальная, индивидуальная.		ОК1, ПК 1, ПК4
8. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция (подведение итогов занятия 5 мин
Отмечает степень вовлеченности обучающихся в работу на занятии. Задает вопросы по обобщению материала.	Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух;	Оценивание работу обучающихся, делая акцент на тех, кто умело взаимодействовал при выполнении заданий		ОК 1, ОК 4. П1.
9. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению5 мин
Обсуждение способов решения домашнего задания. Записывает номера заданий на доске.	Обобщают полученные знания, делают вывод о выполнении задач урока.	Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению		ОК 1, ОК 4. П1.
10. Рефлексия (подведение итогов занятия),5 мин
Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на занятии.	1. Проводят самоанализ: “Чему научились и что нового узнали?”	Осознание своей учебной деятельности; самооценка результатов деятельности своей.		ОК1, ПК 1, ПК4

2. Информационный блок

2.1. План лекции

№ п/п	Изучаемые вопросы	Уровень усвоения
1.	Объяснение темы Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.	1
	1.1 Знаки синуса, косинуса и тангенса.	2
	1.2. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.	2
2.	Закрепление нового материала.
	2.1 Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.	3
	2.2Решение примеров устно № 442.
3.	Решение упражнений (нечетные пункты) на закрепление темы № 443-446 и 458,459.	3
4.	Домашнее задание № 443-446 и 458,459. (четные пункты).	3

Текст лекции

1. Теоретический материал.

Устная работа.

Дайте определение :

-синуса угла α через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α ;

-косинуса угла α через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α ;

-тангенса угла α ;

-котангенса угла α.

Какие знаки имеют координаты точки в зависимости от их положения в системе координат?

У точек первой четверти

у точек второй четверти

у точек третьей четверти

у точек четвёртой четверти

Пример.

В какой координатной четверти находятся точки с указанными координатами

Ответ:

A	B	C	D	E	F
2	4	2	3	1	4

А если точка находится на тригонометрической окружности, то как узнать зависимость знака координат точки от угла поворота вокруг начала координат?

Сегодня на уроке мы узнаем знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научимся определять положение точки на тригонометрической окружности в зависимости от комбинации знаков синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.

Точка Р(1;0) при повороте вокруг начала координат на угол переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты.

Синусом углаявляется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол .

Косинусом углаявляется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол .

Если угол то точка Рₐ находится в первой четверти, здесь , значит

, .

Если угол , то точка Рₐ находится во второй четверти, здесь , , значит , .

Если угол , то точка Рₐ находится в третьей четверти, здесь , , значит

, .

Если угол , то точка Рₐ находится в четвертой четверти, здесь , , значит ,

На рисунке видно какие знаки имеет синус, а какие косинус.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример1. Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Выясним, в какой четверти находится точка, полученная поворотом на угол .

во второй четверти синусы положительны, косинусы отрицательны.

Ответ:

Пример 2. Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Полный угол, при котором точка «обойдёт» всю окружность, равен .

а это значит, что точка после 2 оборотов окажется в первой четверти, где синус и косинус положительны.

Ответ:

Пример 3.

Определить знаки синуса и косинуса угла .

Решение: Угол отрицательный, значит точка получена поворотом по часовой стрелке.

в 4 четверти синусы отрицательны, косинусы положительны.

Ответ: синус отрицательный, косинус положительный.

Пример 4.

Определить знаки .

Решение: Знаем, что, а . Значит, . Точка во второй четверти.

Ответ:

2.Знаки тангенса и котангенса.

Тангенс это отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс это отношение косинуса угла к его синусу: .

Тангенс и котангенс будут положительными там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это первая и третья четверти. Синус и косинус имеют разные знаки во второй и четвёртой четвертях, здесь тангенс и котангенс будут отрицательны. На рисунке изображены знаки тангенса и котангенса.

Пример 5.

Определить знак тангенса угла

Решение , угол второй четверти

Ответ:

Пример 6.

Определить знак тангенса угла .

Решение: Угол в третьей четверти, тангенс положительный.

Ответ:

Вывод: чтобы определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, нужно:

выяснить в какой координатной четверти находится угол;
знак синусов такой же, как ордината точки (у).
знак косинусов такой же, как абсцисса точки (х).
тангенсы и котангенсы положительны там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки(1ч. и 4ч.), отрицательны, где синус и косинус имеют противоположные знаки (2ч. и 3ч.)

Рассмотрим точку В(х;у), лежащую на тригонометрической окружности . Она получена поворотом точки А(1;0) вокруг начала координат на угол .

Синусом угла является ордината точки В(х;у). Косинусом угла является её абсцисса.

Рисунок 1 – точка В на тригонометрической окружности

Образовался прямоугольный треугольник ОВС. По теореме Пифагора

Катет ОС - это абсцисса точки В или , катет ВС- её ордината, или а гипотенуза ОВ - радиус единичной окружности, ОВ=1.Получаем формулу:

(1)

В тригонометрии её называют основным тригонометрическим тождеством. Она связывает синус с косинусом. А это значит, чо зная значения синуса, можно найти значения косинуса и наоборот.

(2)

(3)

В этих равенствах знаки перед корнем определяются по знакам синуса и косинуса.

Пример. Найти , если , .

Выясним знак косинуса. Из условия опрелеляем, что угол в 4 четверти,

Подставим значение в формулу (3), получаем:

Ответ: .

Пример. Могут ли одновременно выполняться равенства и

Чтобы одновременно выполнялись эти равенства, необходимо выполнение условия

. Подставим данные значения в формулу и проверим верно ли равенство: .

;

1=1, верно.

Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.

Пример. Известно, что , найти .

Возведём в квадрат левую и правую части равенста:

; учтём, что ,

;

А какая же зависимость между тангенсом и котангенсом одного угла?

По определению : , .

Перемножим эти равенства и получим формулу, которая связывает тангенс и котангенс:

, (4)

и ,

причём угол и

Из этих формул видно, что тангенс и котангенс являются взаимнообратными числами.

Если , то .

Пример. Могут ли одновременно выполняться равенства и ? Подставляем данные значения в формулу (4) и получаем верное равенство.

Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.

А есть ли связь между тангенсом и косинусом? Рассмотрим равенство

и обе части возведём в квадрат:. Используя формулы (2) и (3), получаем:

, (5)

где

По этой формуле можно находить значение тангенса по заданному значению косинуса и наоборот находить косинус, если известен тангенс.

Пример . Известно, что ; . Найти , и .

Угол в первой четверти, значит все значения положительны. Найдём их по тригонометрическим формулам.

;
;
.

Применяя тригонометрические формулы, можно зная одно из чисел , , и , найти остальные три. Эти формулы являются тождествами.

Определение

Равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называется тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Рассмотрим некоторые приемы

Левую часть приводят к правой, или наоборот правую к левой.
Устанавливают то, что разность левой и правой частей равна нулю.

Пример. Доказать тождество:

Преобразуем левую часть:

Левая часть тождества равна правой. Доказано.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найти , если , .

Из условия видим, что угол в 3 четверти, значит . Используем формулу (2):

Ответ: .

Пример 2.

Найти , если , .

Угол находится в 4 четверти, тангенс отрицательный. Подставим данное значение косинуса в формулу (5) и вычислим значение тангенса.

Ответ: .

Пример 3.

Доказать тождество:

Преобразуем правую часть:

Правая часть тождества равна левой. Доказано.

2. Решение примера устно № 442.

3.Решение упражнений (нечетные пункты) на закрепление темы № 443-446 и 458, 459.

4. Домашнее задание № 443-446 и 458, 459. (четные пункты). Подведение итогов.

2.3. Глоссарий

Термин

Значение

Тождество

- это равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.

Число (пи)

– математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,14.

3. Контролирующий блок

Вариант 1

по теме «Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла»

I вариант

1. Найти значения остальных тригонометрических функций угла по следующим данным:

а) , 0<<;

б) , 270°<<360°;

в), 0<<;

г) , <<;

д) , 180°<<270°.

II вариант

1. Найти значения остальных тригонометрических функций угла по следующим данным:

а) , <<;

б) , 90°<<180°;

в), 90°<<180°;

г), <<;

д) , 0<<90°.

Скачано с www.znanio.ru

Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

Посмотрите также