«Зазеркалье» или симметрия в нашей жизни

Управление образования администрации  Муниципального образования городского округа «Воркута» Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 42» г.Воркуты Муниципальный конкурс исследовательских работ обучающихся 5­8 классов Номинация: естественнонаучная Исследовательская работа  по теме «Зазеркалье» или симметрия в нашей жизни Выполнила: обучающаяся 7 а класса МОУ «СОШ № 42» г. Воркуты Семкина Светлана Владимировна  Руководитель: учитель математики и информатики  Козлова Татьяна Сергеевна МОУ «СОШ № 42» г. Воркуты 2 Воркута, 2012 г. Оглавление Введение   1. Симметрия в математике 1.1. Виды симметрии 2. Симметрия в искусстве   2.1. Симметрия в национальном орнаменте Коми     3. Симметрия в природе 5. Симметрия в архитектуре      5.1 Симметрия в  нашем городе Воркуте 6. Симметрия в русском языке           7. Использование векторного графического редактора Open. Office. org. Draw для построения симметричного орнамента   Коми народа       Заключение      Список литературы и электронных источников    Приложение 1 Приложение 2 Приложение 3 Приложение  4 Приложение  5 Приложение 6 3 3 4 5 6 7 10 11 12 12 13 13 15 16 18 19 20 21 23 Введение 4 "Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея,  с помощью которой человек пытался  объяснить и создать порядок,   красоту и совершенство". Герман Вейль. Прикоснёмся   к   удивительному   математическому   явлению   –   симметрия.   В древности слово "симметрия" употреблялось как "красота", "гармония" ("гармония" в  переводе  с  греческого  означает  "соразмерность,  одинаковость  в  расположении частей").   В   наше   время,   наверное,   трудно   найти   человека,   который   не   имел   бы какого­либо   представления   о   симметрии.   Мир,   в   котором   мы   живем,   наполнен симметрией   домов   и   улиц,   гор   и   полей,   творениями   природы   и   человека.   С симметрией   мы   встречаемся   буквально   на   каждом   шагу:   в   природе,   технике, искусстве, науке.  Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в  архитектуре. Древним храмам, башням средневековых   замков,   современным   зданиям   она   придает   гармоничность, законченность. В настоящее время ученые расширяют свои учения о симметрии. Добавляются новые обширные разделы, такие как цветная симметрия, симметрия многомерных   пространств   и   другие.   Свои   новые   результаты   они   излагают   в монографиях.  Выбирая   тему   исследования,   предполагаю,   что   она   поможет   лучше   узнать культуру и наследие своего народа. Значит, выбранная нами тема актуальна. В   чём   заключается   проблема?   На   какой   вопрос   предстоит   ответить? Гипотеза.  Взаимосвязь   геометрических   понятий   при   построении   коми национального орнамента с помощью компьютерных технологий.  Цель   исследования. Целью работы является изучение многообразия симметрии и ее использование.  Задачи исследования.  1. Найти симметричные фигуры и предметы в окружающем мире. 2. Доказать, что действительно нас окружают симметричные предметы. 5 3. Определить значение использования симметрии.  4. Выяснить:   «Симметрия   это   –   гармония   и   красота?   равновесие? устойчивость?» 5. Отыскать изученные виды симметрии в орнаментах Коми.  6. Построить компьютерную модель осевой симметрии. Для достижения поставленной цели и решения задач необходимо:   изучить теоретическую литературу и другие информационные ресурсы по теме «Симметрия»;  провести анализ внешнего вида насекомых, растений, птиц, животных, зданий, предметов быта,  коми­национального орнамента;  показать  пути использования симметрии в жизни человека. Определение предмета исследования. Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений   природы:   листьями,   цветами,   птицами,   животными;   или   творениями человека:   зданиями,   техникой,   –   всем   тем,   что   нас   с   детства   окружает,   тем,   что стремится к красоте и гармонии. Симметрию   можно   обнаружить   почти   везде,   если   знать,   как   ее   искать.   Если посмотреть на листья, бабочку, снежинку, то можно увидеть, что их объединяет то, что   они   симметричны.   Также   симметрию   можно   увидеть   в   природе,   в   предметах домашнего  обихода, в предметах, которых создал человек.  Творчество людей во всех своих   проявлениях тяготеет к симметрии.  Всё красивое радует нас. Мы невольно отмечаем про себя необычный закат, необыкновенные листья растений, строгие формы кристаллов.  1. Симметрия в математике Оказывается, симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство. Симметрия – это правильность форм и определенный порядок. Симметрией   в   математике   называется   зеркальное   отражение   относительно прямой с на плоскости или относительно плоскости с в пространстве.  Определение.  Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой  а  считается симметричной самой себе. (Приложение1. Рис. 1) 6 1.1. Виды симметрии Центральная симметрия, или симметрия относительно точки. О   –   фиксированная   точка.   Любая   точка   (А)   фигуры   F   переходит   в соответствующую точку (В) фигуры F1, т.е. должно выполняться равенство: ОА = ОВ.   обладающие   центральной   симметрией. Приведём   примеры   фигур, Простейшими   фигурами,   обладающими   центральной   симметрией,   является окружность и параллелограмм. (Приложение 1. Рис. 2 и 3) Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности,   а   центром   симметрии   параллелограмма   ­   точка   пересечения   его диагоналей.     В   ряде   элементов   орнаментов   Коми   встречается   и   центральная симметрия. (Приложение 1. Рис. 4) Осевая симметрия, или симметрия относительно прямой. J   –   фиксированная   прямая.   Любая   точка   (Х)   фигуры   F   переходит   в соответствующую точку (У) фигуры F1, т.е. должно выполняться равенство: ХО = ОУ и ХУ перпендикулярна J. (Приложение 1. Рис. 5) Осевая симметрия ­ тип симметрии, имеющий два несколько отличающихся определения. Отражательная симметрия ­  вид движения, при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Например, плоская фигура прямоугольник в   пространстве   осе   симметрична   и   имеет   3   оси   симметрии (две — в плоскости фигуры), если это не квадрат. Вращательная   симметрия.  При   этом   тело   (фигуру,   задачу,   организм) называют   осе   симметричными,   если   они   переходят   в   себя   при любом  (например, малом) повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осе симметричным телом, но конус будет.    У  неразвёрнутого угла  одна ось симметрии ­ прямая, на которой расположена Фигуры, обладающие осевой симметрией. биссектриса угла. 7 Равнобедренный   (но   не   равносторонний)   треугольник  имеет   также   одну   ось симметрии. А равносторонний треугольник ­ три основные симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии, а квадрат ­ четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много ­ любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии. Симметрия поворота. О – фиксированная точка. Луч ОА переходит в луч ОА1 при   повороте   на   заданный   угол   и  ОА   =  ОА1   и   так   выполняется   с  любой   точкой первоначальной фигуры. (Приложение 1. Рис. 12) Параллельный   перенос.  Все   точки   фигуры   смещаются   в   одном   и   том   же направлении  на одно и тоже расстояние. В  декартовых координатах параллельный перенос задаётся формулами:Х1 = Х + а , У1 = У + b. (Приложение 1. Рис. 13). Изучив   виды  симметрии   в   элементах   коми   национального     орнамента,   можно утверждать,   что   в   построении   орнамента   используют,   главным   образом,   принцип симметрии.   Рассматривая   разные   композиции,   легко   увидеть,   что   орнамент   можно продолжать в разные стороны, даже если его первоначальная композиция ограничена и замкнута. 2. Симметрия в искусстве Художники   разных   эпох   использовали симметричное построение   картины. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий.  В  симметричной   композиции   люди   или   предметы   расположены   почти зеркально по отношению к центральной оси картины. Симметрия в искусстве основана на реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами. Одно   из   лучших   ранних   произведений   Рафаэля   –   «Обручение   Марии»   ­ создано в 1504 году. Под солнечным голубым небом раскинулась долина, увенчанная белокаменным   храмом.   На   первом   плане   –   обряд   обручения.   Первосвященник сближает руки Марии и Иосифа. За Марией – группа девушек, за Иосифом – юношей. Обе части симметричной композиции скреплены встречным движением персонажей. На   современный   вкус   композиция   такой   картины   скучна,   поскольку   симметрия слишком очевидна. (Приложение 2. Рис. 1­ 3) Композицию   натюрморта   или   пейзажа   легко   представить   в   виде   схемы,   на которой ясно видно, симметрична или асимметрична построена композиция. 8 Для   симметричной   организации   композиции   характерна   уравновешенность   ее частей по массам, по тону, цвету и даже по форме. В таких случаях одна часть почти зеркально похожа на вторую. В симметричных композициях чаще всего имеется ярко выраженный центр. Как правило, он совпадает с геометрическим центром картинной плоскости. Если точка схода смещена от центра, одна из частей более загружена по массам   или   изображение   строится   по   диагонали,   все   это   сообщает   динамичность композиции и в какой­то мере нарушает идеальное равновесие. Правилом симметрии пользовались еще скульпторы Древней Греции. Примером может служить композиция западного фронтона храма Зевса и Олимпии. В основу ее положена   борьба   лапифов   (греков)   с   кентаврами   в   присутствии   бога   Аполлона. Движение   постепенно   усиливается   от   краев   к   центру.   Оно   достигает   предельной выразительности   в   изображении   двух   юношей,   которые   замахнулись   на   кентавров. Нарастающее движение как бы сразу обрывается на подступах к фигуре Аполлона, спокойно и величественно стоящего в центре фронтона. (Приложение 2. Рис. 4) 2. 1. Симметрия в национальном орнаменте Коми "Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам  высшей математике". Герман Вейль. Орнамент ­ это отпечаток  души народа.  Восхищаясь рукотворной красотой орнаментов,   воплощенных   в   предметах   декоративно­прикладного   искусства   – коврах, гобеленах, вышивке, – мы не задумывались о роли геометрии в создании этих произведений. Между тем сочетание таланта мастера и его геометрических умений   занимает   важное   место   в   орнаментальном   искусстве.   Орнамент   (от   лат. оrnаmеntum – украшение) – это узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных   элементов.   Орнамент   предназначен   для   украшения   различных предметов   (посуды,   мебели,   текстильных   изделий,   оружия)   и   архитектурных сооружений. По   характеру   композиции   и   расположению   на   украшаемой   поверхности орнамент может быть нескольких видов:  ленточным (его еще называют бордюром);   сетчатым;   розетчатым.  9 В  народном творчестве, где орнамент нашел наибольшее  распространение, постепенно складывались устойчивые формы и принципы построения орнамента, во многом   определившие   национальные   художественные   традиции   разных   народов. Каждая эпоха, каждая национальная культура выработала свою систему орнамента – мотивы, формы, расположения на украшаемой поверхности. Поэтому часто по орнаменту можно определить, к какому времени и к какой стране относится то или иное произведение искусства.  В каждом из нас существует память рода или генетическая память, которая хранит всё, что окружало наших предков. Пробудить эту дремлющую в нас память нам   помогло   многоцветье   орнаментов.   Каждая   эпоха,   каждая   культура вырабатывали свою систему орнаментов. В   каждом   национальном   орнаменте   узоры   были   не   случайны,   а   глубоко символичны. Для   народного   изобразительного   искусства   коми   наиболее   характерной формой декорирования является орнамент – узор, состоящий из повторяющихся, ритмично   упорядоченных   мотивов.   Исследователи   отмечают   близость геометрических   узоров  коми   к  орнаменту   поволжских  финнов,   народов   Северо­ Восточной Европы (эстонцев, карел, населения русского Севера) и Северо­Западной Сибири (хантов, манси). Вероятно, близость мотивов орнамента различных народов была обусловлена их общей древней основой. (Приложение 3 Рис. 1)  В   научной   литературе,   посвященной   изучению   народного   искусства   коми, высказывается   несколько   точек   зрения   по   поводу   происхождения   и   развития различных   композиций   и   вариантов   геометрического   орнамента   у   коми.   В частности,   в   геометрическом   орнаменте   вязаных   изделий   коми   выделяется   три основных   варианта:   ижемский   –   с   преобладанием,   так   называемых   семеричных бордюров; вашко­мезенский и среднесысольский  – широкие бордюры и сетчатые узоры;  верхневычегодский  –   для   которого  характерны   особенности  1   и  2  групп узоров. В   зависимости   от   мотивов   выделяется   несколько   групп   геометрического орнамента коми:  10 1. Узоры   из   простых   геометрических   мотивов­точек,   квадратов, прямоугольников, ромбов, крестиков, диагональных линий, треугольников – представлены в большинстве видов техники. 2. Узоры в поперечную и продольную полоску, узоры из комбинированных квадратов,   прямоугольников   и   ступенчатых   ромбов   характерны   для вязания на спицах, резных изделий и меховой мозаики. С   точки   зрения   симметрии   всё   многообразие   орнаментальных   композиций коми сводится к нескольким категориям. В орнаменте народов коми представлены следующие   виды:   бордюр;   сетчатый   узор;   диагонально   –   геометрические   узоры; семеричные бордюры. Приведём пример только такого вида, как бордюр – это узор, состоящий из ряда   равных   фигур,   ритмично   расположенных   вдоль   одной   прямой,   т.е.   оси бордюра. Любой бордюр обладает переносной симметрией вдоль оси (оси переноса). (Приложение 3 Рис. 2). Бордюры обладают и зеркальной симметрии. (Приложение 3 Рис. 3). Бордюры, которые имеют поперечные оси симметрии. (Приложение 3 Рис. 4).   Бордюры,   у   которых   ось   переноса   является   осью   скользящего   отражения. (Приложение 3 Рис. 5). Бордюры, которые имеют поворотные оси 2­го порядка, перпендикулярные к плоскости бордюра. (Приложение 3 Рис. 6). Бордюры, которые основанные на комбинирование оси скользящего отражения с поворотными осями 2­ го   порядка,   перпендикулярными   к   плоскости   бордюра.   (Приложение   3   Рис.   7). Бордюры, основанные на комбинировании зеркальных отображений. (Приложение 3 Рис. 8). Обладая своей неповторимостью и своеобразием, прикладное искусство коми несёт в себе общечеловеческие ценности, являясь неотъемлемой частью российской и мировой культуры. В   обычаях   мастериц   коми   было   расшивать   орнаментом   головные   уборы, рукава одежды, подолы сарафанов, плечевую часть рубах, пояса, кушаки, фартуки. Многообразие орнаментов трудно представить. 11 Узорное вязание на пяти спицах занимает одно из значительных мест среди других видов традиционного искусства коми. Украшаются в основном рукавицы и чулки, реже перчатки. (Приложение 3 Рис. 9). Геометрические преобразования связаны с большим и глубоким искусством, которым обладает народ коми. Орнамент для коми – своеобразная знаковая система, отчасти заменяющая письменность и сопровождающая каждого человека на всём его жизненном пути. Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики. Можно   любоваться   листьями   и   цветами,   понаблюдать   за   бабочками   на   лугу, 3. Симметрия в природе присмотреться к снежинкам на окнах, узорам на коврах, причудливой резьбе на храмах и соборах и… увидеть во всём этом проявление законов симметрии. Когда   мы   летом   собирали   ягоды   (смородину,   клубнику),   увидели,   что   они центрально   симметричны.   На   разрезе   оказалось,   что   они   представляют   собой окружность, а окружность, как известно, имеет центр симметрии. (Приложение 4 Рис. 1).   Фиалки,   которые   выращивает   моя   мама,   обладают   осевой   симметрией. (Приложение 4 Рис. 2). Из литературы я узнала, что центральной симметрией обладают цветок  одуванчика, мать­ и ­  мачехи, цветок кувшинки. Симметричные цветы более привлекательны для пчел, так как у них больше нектара. Обратим внимание на побеги листорасположения – это тоже своеобразный вид осевой симметрии. (Приложение 4 Рис. 3) Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на ее   поверхности   расположены   строго   закономерно   —   по   двум   спиралям,   которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21. (Приложение 4 Рис. 4)  Теперь   необходимо   остановиться   на   животном   мире   и  выяснить,   как связан животный мир и симметрия. Если  мы нарисуем бабочку на листе бумаги, то особую роль для этой плоской фигуры   будет   играть   вертикальная   прямая,   проходящая   посередине   туловища бабочки. По обе стороны от этой прямой на одинаковом расстоянии от неё находятся одинаковые элементы рисунка. В этом случае говорят, что данная плоская фигура симметрична относительно прямой, а прямую, которая разделяет фигуру на правую и левую половины, называют осью симметрии. В раскраске бабочки можно обнаружить 12 небольшие   отклонения.   Поэтому   говорят,   что   симметрия   бабочки   не   является математически точной. (Приложение 4 Рис. 4). Животные   симметричны   слева   направо,   а   не   сверху   вниз.   Это   называют двусторонней   симметрией.   Животные   эволюционировали,   таким   образом   из­за необходимости   быть   устойчивыми   и   способными   к   быстрому   движению.   Если   бы животные были не симметричные, т. е., например, имели бы две ноги с одной стороны и одну с другой, им было бы очень сложно балансировать или быстро передвигаться. Неустойчивый и медлительный представитель не может уйти от хищника и с трудом добывает себе пропитание. (Приложение 4 Рис. 5). Таким образом, получается, что: 1. В   любом   растении   можно   найти   какую   ­   то   часть,   обладающую   осевой, центральной симметрией. 2. Центральная симметрия характерна для плодов растений и некоторых цветов. 3.   Симметрия форм придает им красоту.   4. Симметрия в архитектуре Симметрию можно назвать залогом успеха в строительстве. Почти все здания в мире, во избежание разрушения, строятся исключительно симметрично. Вот почему симметрия так важна в строительстве. Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное   сочетание   этих   начал   делает   возводимое   человеком   сооружение памятником   архитектуры.   Архитектурный   облик   здания   архитектор   создает   с помощью строительного материала, образ же его созидается творческим мышлением. Одним   из   художественных   средств,   которые   он   использует,   является   композиция здания.   От   неё   в   первую   очередь   зависит   впечатление,   которое   оставляет архитектурное   сооружение   Элементы   симметрии   можно   увидеть   в   общих   планах зданий,   архитектуры   фасадов,   в   оформлении   внутренних   помещений,   колоннах, потолках и т.д.  В большинстве случаев они обладают осевой симметрией. Главной оси, объединяющей   всю   композицию,   могут   сопутствовать   подчиненные   оси,  определяющие симметрию   частей.   Характерный   пример   многоосевой   симметрии   —   здание  Главного адмиралтейства в Санкт­Петербурге. (Приложение 5. Рис.1). 5.1 Симметрия в  нашем городе Воркуте 13 Расскажем о нашем наблюдении. Прогуливаясь по улицам города, были сделаны несколько   снимков.   Рассматривая   эти   фотографии,   увидели,   что     большинство архитектурных   сооружений   нашего   города   имеют   ось   симметрии.     Если   разбить строение на маленькие пристройки, обнаружим, что они обладают осевой симметрией. Сравнивая фасады зданий, имеющие  и не имеющие ось симметрии, можно утверждать, что с симметричной композицией здания ясны и уравновешенны. Симметрия придает гармоничность,   законченность,   что   присуще   архитектурной   композиции   города Воркуты (Приложение 5. Рис.2­5). Таким образом, видно:  симметрия широко используется в архитектуре;  использование симметрии при строении зданий и домов создают красоту и гармонию. 6. Симметрия в русском языке Симметрия используется в таких видах искусства, как литература, русский язык, музыка, балет, ювелирное искусство. Если присмотреться к печатным буквам М, П, Т, Ш, В, Е, З, К, С, Э, Ж, Н, О, Ф, Х, можно увидеть, что они симметричны. Причем у первых четырех ось симметрии проходит вертикально, а у следующих шести – горизонтально, а буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии. Симметрию можно увидеть и в целых словах, таких, как «казак», «шалаш» ­  они читаются одинаково как слева направо, так и справа налево. А вот целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами): «Искать   такси»,   «Леша   на   полке   клопа   нашел».   Такие   фразы   и   слова   называются палиндромами. В музыке ряд музыкальных форм строятся симметрично. В знаменитых фуэте балерина вращается на одной ножке 6 раз, 12 … 32 раза! Эти движения однотипны, и именно   их   повторяемость   порождает   эстетический   эффект,   служащий   достойным завершением танца. Оказывается, симметрия используется не только в математике, но и в русском языке и литературе, в балете. 7. Использование векторного графического редактора Open.Office.org.Draw для построения симметричного орнамента   коми народа 14 Для изображения симметричного орнамента  коми­национального  бордюра, как вариант украшения предметов одежды, использован векторный графический редактор Open.Office.org.Draw.   В   данном   рисунке   применяются   следующие   графические примитивы: линия, треугольник, ромб.  Положение и цвет элементов устанавливается с помощью меню Формат – Положение и размер. В изображение используется осевая (зеркальная) и поворотная симметрия.  Этапы работы:  1. Выбор осей симметрии и их изображение на листе. 2. Изображение простейших элементов орнамента строго симметрично оси  симметрии. (Приложение 6. Рис. 1­2). 3. Дополнение центрального рисунка симметричной лентой. (Приложение 6. Рис.  3­4). 4. Экспорт созданного рисунка в формат JPEG. Заключение В ходе исследования мы рассмотрели  несколько  направлений:  Симметрия в математике;  Симметрия в архитектуре;  Симметрия в буквах и словах;  Симметрия в природе;  Симметрия в искусстве;  Симметрия как отражение души народа; Проведенные   исследования   показали,   что   симметрия       является   одним   из принципов гармонического построения мира. «Сфера влияния» симметрии поистине безгранична. Всюду она определяет гармонию природы, мудрость науки и красоту. Оказывается, что без симметрии наш мир выглядел бы совсем по­другому. Ведь это именно на симметрии основаны многие законы сохранения. И без этих симметрий не было бы законов сохранений, которые во многом управляют нашим миром. В XX же веке ученые самых разных специальностей начали заниматься изучением орнамента во всем его многообразии: в бытовых предметах древних культур, в поэзии и музыке, в архитектуре и танце. В  орнаменте стали видеть нечто большее, чем просто украшение. В основе любого орнамента лежит строгая ритмическая закономерность. Через ритмы, их   строгое   упорядочивание   (или   лучше   сказать,   через   их   чуткое   восприятие)   в орнамент   входит   математика.   Трудно   сказать,   кто   больше   сегодня   занимается изучением  орнамента  –   искусствоведы   или  математики.  В   понимании   структуры  и технологии   создания   (восприятия)   орнаментов   математики,   пожалуй,   достигли 15 большего. Ведь математическая правильность, чисто численные соотношения, входят в самую суть искусства орнамента, становятся выразительным средством. Вдумайтесь, это   очень   характерно   для   искусства   XX   века:   "Число   становится   выразительным средством". Повсеместность   симметрии   кажется   странной,   если   не   видеть   того,   что симметрия   является   самой   сутью   нас   самих   и   того   мира,   в   котором   мы   живем. Симметрично   тело   человека,   симметрична   его   жизнь.   Будущее   и   прошлое симметричны по отношению к настоящему. Причудливые узоры причин и следствий всех наших поступков также необычайно симметричны. Так что симметрия – пожалуй, чуть ли не самая главная вещь во Вселенной. Действительно,   симметрию   мы   можем   наблюдать   везде.   Она   противостоит   хаосу, беспорядку. Значит, симметрия – гармония и красота, равновесие, устойчивость. 16 Список использованной литературы и электронных источников 1. Вейль Герман «Симметрия», Наука, 1968,  192 2. Жеребцов   И.Л.   "Населенные   пункты   республики   Коми",   Историко­ демографический справочник, Москва, 2001г. 3. Климова Г. "Текстильный орнамент Коми", Сыктывкар, 1984г. 4. "Связь   времён",   сост.   Жеребцов   И.Л.   и   Курочкин   М.И.,   Фонд   "Покаяние", Сыктывкар, 2000г. 5. Энциклопедия "Республика Коми", КНЦ УрО РАН, Сыктывкар, 1999г. 6. "Республика   Коми.   Административно­территориальное   деление",   Президиум Верховного совета республики Коми, Сыктывкар, 1992г. 7. http://wikikurgan.orbitel.ru  8. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%E8%EC%EC%E5%F2%F0%E8%FF 9. http://www.schoolbase.ru/  10. СЫКТЫВКАР ­ инфо – http://www.syktyvkar.komi.ru 11. http://irinmorozova.narod.ru/best.htm ,  12. http://www.milogiya2007.ru/simmetr01.htm  http://fio.ifmo.ru/archive/group19/c1wu9/str01a.htm 17 Приложение 1 Виды симметрии  Рис.1   Рис. 2   Рис.3   Рис.4 Рис. 5  Рис.6   Рис.7  Рис. 8   Рис. 9  Рис. 10  Рис. 11 Приложение 1 18  Рис. 12  Рис. 13 Симметрия в искусстве 19 Приложение 2 Рис.1 Рис.2 Рис. 3 20 Рис. 4 Симметрия в национальном орнаменте Коми 21 Приложение 3 Рис.1   Рис. 2 Рис.3   Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 Рис.7 Рис. 8  Рис. 9 Симметрия в природе 22 Приложение 4  Рис. 1  Рис. 2  Рис. 3   Рис. 4  Рис. 5   Рис. 6 Симметрия в архитектуре Здание Главного адмиралтейства в Санкт­Петербурге 23 Приложение 5 Здание  Воркутинского горно­экономического колледжа  Рис. 1 Здание ДК на п. Северном  Рис. 2  Рис. 3 Здание Воркутинского механического завода Приложение 5 24 Церковь Иверской иконы Божией Матери  Рис. 4  Рис. 5 Компьютерная модель симметричного рисунка по мотивам коми­национального орнамента 25 Приложение 6  Рис. 1  Рис. 2 Приложение 6 26  Рис. 3  Рис. 4  Рис. 5