Поурочные разработки по Алгебре и началам анализа 11 класс к УМК А. Г. Мордковича - 2011 год
Зачетная работа по теме Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств - Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Цель: проверить знания учащихся по вариантам одинаковой сложности.
Ход уроков
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Варианты зачетной работы
Вариант 1
А
1. Решите уравнение:
2. Решите систему уравнений:
3.
Решите неравенство:
4.
Решите уравнение:
В
5. Дана функция f(x) = 4х2 - х. Решите уравнение f(f(х)) = 33.
6.
Решите уравнение:
7.
Решите систему уравнений:
8.
Решите неравенство:
C
9.
Решите уравнение:
10.
Найдите все пары (х; у) положительных чисел х и у, которые являются решениями
системы уравнений:
11.
Найдите значения а, при которых произведение действительных корней
уравнения принимает
наименьшее и наибольшее значения. Найдите также эти значения.
Вариант 2
А
1. Решите уравнение:
2. Решите систему уравнений:
3.
Решите неравенство:
4.
Решите уравнение:
В
5. Дана функция f(х) = 5x2 -х. Решите уравнение f(f(x)) = 76.
6.
Решите уравнение:
7.
Решите систему уравнений:
8.
Решите неравенство:
C
9.
Решите уравнение:
10.
Найдите все пары (х; у) положительных чисел х и у, которые являются решениями
системы уравнений:
11.
Найдите значения a, при которых произведение действительных корней
уравнения принимает
наименьшее и наибольшее значения. Найдите также эти значения.
III. Ответы и решения
Вариант 1
9.
ОДЗ уравнения задается условием sin х ≠ 0. Запишем уравнение в
виде: или
или
Такое
уравнение является однородным. Поэтому разделим все члены уравнения на sin2x
и получим: 2ctgx + 13ctgx + 15 = 0. Решения уравнения: ctgx = -5 (тогда
) и
ctgx = -3/2 (откуда
).
Ответ:
10.
Прологарифмируем каждое уравнение по основанию 2 и запишем систему в виде Разделим
первое уравнение на второе:
или
3у - 11 = 2у - 6, откуда у = 5. Подставим эту величину, например, во второе
уравнение: 2log2x = 2, тогда log2x = 1 и x = 2. Система
имеет единственное решение (2; 5).
Ответ: (2; 5).
11.
ОДЗ уравнения задается неравенством 14a - 4a2 - 10 ≥ 0
или 2a2 - 7a + 5 ≤ 0, откуда а ∈ [1; 5/2].
Так как данное квадратное уравнение имеет корни, то его дискриминант D = 14а -
4a2 – 10 - 4(-2а2 + 8а - 7) = 4а2 -
18а + 18 ≥ 0. Решение этого неравенства С
учетом ОДЗ находим диапазон изменения параметра а ∈ [1; 3/2].
По теореме Виета произведение корней данного квадратного уравнения у = -2а2 +
8а - 7. Функция у(а) имеет максимум при а = 2. На отрезке а ∈ [1; 3/2]
функция у(а) возрастает. Поэтому при а = 1 функция принимает наименьшее
значение
при
а = 3/2 - наибольшее значение
Ответ: наименьшее значение (-1) при а = 1 и наибольшее значение 0,5 при а = 1,5.
Вариант 2
9. ОДЗ уравнения задается условием cos х ≠ 0. Запишем уравнение в виде 49cos2 х + 11sin x cos x = 4, или 0 = 4sin2 x + 4cos2 x- 11sin x cos x - 49cos2 x, или 0 = 4sin2 x - 11sin x cos x - 45cos2x. Такое уравнение является однородным. Поэтому разделим все члены уравнения на cos2 x и получим: 0 = 4tg2 x - 11tg x - 45. Решения уравнения: tg x = 5 (тогда х = arctg5 + πn, n ∈ Z) и tgx= -9/4 (откуда х = arctg(-9/4) + πn).
Ответ:
10.
Прологарифмируем каждое уравнение по основанию 2 и запишем систему в виде Разделим
первое уравнение на второе:
или
16у - 4 = 3у + 9, откуда у = 1. Подставим эту величину, например, во второе
уравнение: 4log2x = 4, тогда log2x = 1 и х = 2. Система
имеет единственное решение (2; 1).
Ответ: (2; 1).
11.
ОДЗ уравнения задается неравенством a2 + a - 2 ≥ 0,
откуда a ∈ (-∞; -2] U [1; +∞). Так как данное квадратное
уравнение имеет корни, то его дискриминант D = a2 + а – 2 - (2а2 -
4) = -а2+ а + 2 ≥ 0. Решение этого неравенства а ∈ [-1; 2]. С
учетом ОДЗ находим диапазон изменения параметра а ∈ [1; 2]. По
теореме Виета произведение корней данного квадратного уравнения у = 2а2 -
4. Функция у(а) имеет минимум при а = 0. На отрезке а ∈ [1; 2]
функция y(a) возрастает. Поэтому при а = 1 функция принимает наименьшее
значение при
а = 2 - наибольшее значение
Ответ: наименьшее значение (-2) при а = 1 и наибольшее значение 4 при а = 2.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.