Алгоритм решения дробных -рациональных неравенств

Алгоритм решения дробных ­ рациональных неравенств ❑ ❑+❑ ❑−❑ ❑  >(<) ❑ ❑+❑ ❑ 1. Перенести все в одну сторону с противоположным знаком. 2. Разложить знаменатели на линейные множители или их степени. 3. Привести к общему знаменателю:  разложить на множители в знаменатели дробей;  под общей дробной чертой выписать множители первой дроби;  приписать к нему недостающие множители второго, третьего,…знаменателя,  одинаковые сомножители записать в виде степеней. и записать его под общей дробной чертой. 4. Записать под каждой дробью дополнительные множители. 5. В числители общей дроби записать результаты умножения числителя каждой дроби на  дополнительные множители, при этом используя:  правила умножения одночлена на одночлен;  правила умножения многочлена на многочлен  правило раскрытия скобок. 6. В числители привести подобные и разложить его на множители. Получим:  >(<) 0     (…)(…)(…) (…)(…)       ­дробное ­ рациональное неравенство вида I­III I. Линейные неравенства и неравенства сводимые к ним (если осталась одна  линейная скобка). Алгоритм решения x-b>(<)0, (x-a)²≠0, (x-c)²≠0, (x-d)²≠0, √e−x ≠0, (x-m)²≠0, (x-k)²≠0; Пусть числа a(<)0   <=> x> (<) b, x≠a, x≠c, x a b c d e m n k x a b c d e m n k x Ответ: (b,c)(c,d)(d,e) Ответ: (­∞,a) (a,b).  2. Нестрогие неравенства: (х−a)²(x−b)(x−c)²√(e−x) (x−d)²(x−n)²(x−k)²  ≥(≤)0    <=> ! м е т с и с е и н е н и д е ъ б О x-b≥(≤) 0, e-x≥(≤)0, (x-a)²≠0, (x-k)²≠0, (x-m)²≠0. я и н е л е д е р п о   . л б О или               (x-a)²≠0, X ≤ e, X ≠ d, X ≠ k, X ≠ m. . р п о . л б О (x-c)²≠0 X ≤ e X ≠ d x≠ k x ≠m . р п о . л б О или           или  √e−x =0 X ≠d X ≠k X ≠m . р п о . л б О    <=>                                                                                                                                x =a, x≤e, x≠d, или x≠k, x≠m. x≠c, x≤e, или x≠d, x≠k. x=e, x≠d, x≠k, x≠m. ! X ≥(≤)b, м е т с и с ю и н е н и д е ъ б О x≤e, x≠d, или x≠k, x≠m.                                                              x=a, т.к a∈ обл.опред.;x=c, т.к. c∈ обл.опред; x=e, т.к. e∈ обл.опред; b         d        e       m      k       x Объединим полученные решения:      a         b       c          d                              e                                                     x Ответ: [b;d)(d;e], x=a.                                                                                         b           d              e                    m              k                                                  x      x≤b или x=a или x=c или x=e               Объединим полученные решения;                                                                                                                                      a           b           c             d                e                                             x Ответ: (­∞;b), x=c, x=e. II. Квадратные неравенства и неравенства сводимые к ним (когда две линейные  функции). 1). ax²+bx+c>(<)0   <=> a(x­ x1 )(x­ x2 ) >(<)0 (D>0) x−a x−b  >(<)0 <=> (x­a)(x­b) >(<)0  2).  x−a x−b  ≥(≤)0 <=>  {(x−a)(x−b)≥(≤) x−b≠0. , 3).   Неравенства вида 1)­3) решаем с помощью параболы (когда две линейные функции). Решая неравенства вида 1) ­3) изображаем одну из шести парабол. Т.о. в неравенствах I­II вида проводится пропедевтика решения неравенств методом  интервалов.  (х−a)²(x−b)(x−c)²√(e−x) (x−d)2(x−m)2(x−k)(n−x)²  >(<)0     <=> x−b x−k >(<)0 (x-a)²≠0 (x-c)²≠0 <=> √e−x >0 . д е р п о . л б О (x-d)²≠0 <=> (x-b)(x-k)>(<)0 x≠a x≠c x x−b x−k ≥(≤)0 x≤e x≠m x≠n . или д е р п о . л б О x≠a x≤e x≠d x≠m x≠n или X=c x≤e x≠d x≠m x≠n x=e x≠d x≠m x≠n или <=> x≠d (x-b)(x- k)≥(≤)0 x≠k x≤e x≠m x≠n        ил и X=a x≤e x≠d x≠m x≠n ил и X=c x≤e x≠d x≠m x≠n ил и X=e x≠d x≠m x≠n +                    _                                                                    +                                                                                                                                              b          d         e           m         n            k                                              x (­∞;b] или x=a или x=c или x=e. [b;d)(d;e]  или x=a или x=c или x=e. Объединим полученные решения:         a      b         c        e                                         x                                                                                                     a          b         c        d         e                            x  Ответ:   (­∞;b]  , x=c,  x=e. Ответ: [b;d)(d;e) ,  x=a.  III. Неравенства высших степеней. Метод интервалов (если остается линейных скобок больше или равно трем). (х−a)²(x−b)(x−c)²√(e−x) (x−d)2(x−m)2(x−k)(n−x)  >(<)0     <=> x−b (x−k)(n−x) >(<)0        x≠a x≠c x   e­x≥0           или x≠d x≠m √e−x =0                                              (x-c)²=0 x≤e x≠d или x≠m x≠d x≠m Ответ: (­∞;b], x=c, x=e. Ответ: [b;d)(d;e], x=a.