Қарапайым тригонометриялық теңдеулер және оларды шешу.

Сабақ жоспары Сабақ нөмірі: №32 Пәні: алгебра Сыныбы: 10 Б Күні: Сабақтың  тақырыбы:    Қарапайым  тригонометриялық теңдеулер және оларды шешу.     Сабақтың міндеттері: Білімділігі:  Оқушыларды  тригонометриялық функциялардың  графигін салу   арқылы қасиеттерімен                             таныстыру. Есеп шығаруда қолдана білуге үйрету Дамытушылығы:  Оқушының   график салу шеберлігін   қалыптастыру және практикамен                              ұштастыруға үйрету, шығармашылығын  және ойлау қабілетін дамыту Тәрбиелігі: Оқушыны графикті тануға үйрету, сұрақтарға нақты жауап беруге баулу. Сабақтың түрі:  Жаңа сабақты меңгерту Сабақтың көрнекілігі: Компьютер, видеопроектор, карточка, слайдтар Сабақтың барысы:  1. Ұйымдастыру кезеңі 2. Үй тапсырмасын тексеру:  3. Жаңа сабақты түсіндіру:    Аныктама.  Тригонометриялық   функциялардың   белгісіз   аргументmepl   түрінде   берілген   теңдеулерді тригонометриялық теңдеулер деп атаймыз.    Мысалы, 2sin х = 1;   ctgx =1;     tg   cos 5x • cos x = cos 4x • cos 2x, т. c. c.  4 tgx x 2 ;   3cos x = 7sinх;e; 4sin2 x + 2cos2 x = 3sin2 x;  Тригонометриялық   тецдеулерді   шешу   дегеніміз  —  теңдіктің   сол  жағында  және  оң   жағында   тұрған врнектерді тепе­теңдікке әкелетін аргументтің мәндерін табу. Тригонометриялық теңдеулерді шешудің өзіне тән ерекше әдістері бар: 1)  тригонометриялық тендеудің 6ip шeшiмi бар болса, онда ол шешім шексіз кайталанады; 2)   тригонометриялық тендеудің  eкi  жақ бөлігін ортақ көбейткіш болатын — тригонометриялық функцияға бөлуге болмайды, ce6e6i теңдеудің ең болмағанда 6ip шeшiмi жоғалады. Кез келген тригонометриялық теңдеулерді тепе­тең түрлендірілгеннен кейін sin х= a,  cos х = a, tg х = a,  ctg х = а (1) теңдеулерінің ең болмағанда 6ipeyiнe келеді.  Теңдеулердің оң жағындағы а саны кез келген нақты сан, ягни aR. Анықтама. (1) mүpiндe берілген тригонометриялық теңдеулерді қарапайым тригонометриялық теңдеулер деп атайды. Енді қарапайым теңдеулерді  шешуді қарастырайық.  I. sin х = а теңдеуін шешейік. у = sin х      D(f)=R.       E(f)= [­1; 1] кeciндіci, ягни   , функция шектелген. (1) теңдіктің оң жағындағы а санының   абсолют   шамасы  \а\   >  1   болса,   онда   sin  х   =   а  тендеуінің   шешiмi   жоқ.   Сондықтан   теңдеудің   оң жағындағы  а  саны  \а\     1   шартын   қанағаттандыру   керек.   Теңдеуді   шешу   үшін  у  =   sin  х  және  у=а функцияларының графиктерін 6ip координаталық жазықтыққа салайық (41­сурет). sin x 1 41­сурет Абсцисса осіне  параллель  у  =  а(0  <  а  < 1)  тyзyi  синусоида кисығымен шексіз көп нүктелерде  қиылысады. Қиылысу   нүктелерінің  абсциссалары  sin  х   =   а  тендеуінің  шешімдері  болып   табылады.  у  =  sin  х  функциясы периодты функция болғандықтан, sin х= a тендеуінің 6ip период ішіндегі барлық шешімдерін тапсақ жеткілікті. Қалған шешімдер функцияның  периодтылық  касиетімен анықталады. Аргумент [0; 2л;] кесіндісінде  өзгергенде, sin х = а теңдеуінің у = а түзуімен қиылысу нүктелерімен абсциссалары х1 = , х2 =  ­ а болады. Eндi sin х функциясының периоды 2­ге тең екенін ескеріп, теңдеудің барлық шешімдерін жазу үшін мынадай формулалар шығарып аламыз: Осы шешімдерді 6ip формуламен беруге болады: х=  + 2k, kZ, x  =  ­ a  + 2k, kZ. х= (­1) n• + п; nZ. (2) (3) (4) (4) формуладан (2) жене (3) формулалармен жазылған шешімдерді алуға болатынына көз жеткізейік. Егер п = 2k болса, онда (4) формуладан х = (­1)2к • + 2k =  + 2k, kZ.  Бұл (2) формуланы береді. Енді  п = 2k+ 1 болса, онда (4) формуладан  x  =  ( ­ 1 ) 2 к + 1    + (2k + 1) = ­ + 2k +  = ­ + 2k, kZ.  Бұл (3) формуланы береді Ал sin  = а болса, онда а = arcsin а екенін ескеріп, (4) формуланы келесі түрде жазамыз: (5) формула sin х = а теңдеуі шешімінің жалпы mүpi болып табылады. sin х = а теңдеуінің дербес шешімдері темендегі кестеде керсетілген. х = (­1)п • arcsin а + п, nZ. (5) Мысалдар қарастырайық. 1­мысал. 2sin х =  3  теңдеуін шешейік. sin   екенін   ескерсек,   онда.   Illeшyi.   Бұл тендеудің радиандық шешімдері, ал градустық шешімepi х = (­1)п • 60° + 180° • п, nZ. .  Енді   Znn ,  arс arс sin sin      x ;   n  1 x 3 2  3 3 2 3 2   n  1 x  3   Znn ,  . 2­мысал. 2sin (2х ­ 1) = 1 теңдеуін шешейік. 1 Шешуi. sin (2х ­ 1) =  2 1 ;     2х ­ 1 = (­1)п arcsin 2   +  п; п Z;     2х= 1 +(­1)п  6   пп.  Z   бұдн Жауабы: (­1)п   3 + п немесе (­1)п • 60° + 180°  • n,nZ.   n  1 x 1 2   2 12 n ; Zn   болады n n ;  1 1 2   Жауабы:    2 12 П. cos х = а теңдеуінің шешімдерін анықтайық. у =  cos  х  функциясының анықталу  облысы барлық нақты сандар  жиыны (х  R),  ал функцияның  мәндер жиыны    [­1; 1] кесіндісі, яғни /cos x/  1, функция шектелген. Егер теңдіктің оң жағындағы сан \а\ > 1 болса, онда   cos   х   =  а  теңдеуінің   шешімі   жоқ.Сондықтан   теңдіктің   оң   жағындағы  а  саны  \а\  <   1  шартын қанағаттандыруы керек. Тендеудің шешімін табу үшін косинусоида қисыгын және ордината осіне параллель у = а (0 < а < 1) түзуін графиктерін бip координаталық жазықтыққа салайық (42­сурет). Zn  Косинусоида кисыгы мен у = a түзyi шексіз көп нүктелерде қиылысады. Қиылысу нүктелерінің абсциссалары         cos х = а тендеуінің шешімдері болады. у = cosx периодты функция, оның ең кіші оң периоды 2. Сондықтан cos х = а тендеуінің 6ip период ішіндегі  барлық шешімдерін тапсақ жеткілікті. Қалган шешімдер функцияның периодтылығымен анықталады.  Сонымен қатар функция жұп болғандықтан, [­ ; ] кесіндісінде у = cos х функциясы мен у = а, (0 < a < 1),  тузуінің қиылысу нүктелерінің абсциссалары симметриялы сандар болады. Демек, а саны cos х = а теңдеуінің 6ip ineiniMi болса, онда екшпп шепшун (­а). Ещц cos х функциясьшъщ периоды 2л>ге тец екенш ескерш, тендеудщ барлык шеш1мдерш жазу ушш темендеп  формулаларды аламыз: х = a + 2пп, keZ, (6) х =  ­a + 2пп, keZ. (7) Осы формулаларды 6ipiKTipin жазуга болады, ягни (8) х  =  ± а  + 2я/г; keZ. Ещц cos а = а болса, онда a = arccos а екенш ескерсек, (8) формуланы келеи турде жаза аламыз: х = ± arccos а + 2пп; keZ. (9) (9) формула cos х = a Temieyi шеппмшщ жалпы Typi. cos  x  =  а  тендеушщ  дербес  шешЬмдерт  COS X = 1cos лг = ­1cos х — 0х = 2тсл, п е Zх = к + 2кп, п е   керсетейш. Z л; = ^ + 7ш, лё 2 3­мысал. 2cos х = ­1 тендеуінің шешімін табайык. Illeiuyi. Бершген тецдеущ шешу ушш em жак белЫн де 2­ге + 2тг/г, k e Z , белезшз. Сонда cos х = ­ j, ал х = ± arccos v   2 У х  = ± ­ f  + 2%k, k e Z . Калган шеппмдер функциянын периодтылык касиетамен анык­талады. Х  Е [­V 2 4.Есеп шығару: № 81 а, ә,   №83а, ә,      5. Оқушыларды бағалау    6. Үйге  тапсырма   беру :  №84 б 1 Г   14 60 интервалында tg х = а тендеушщ шеппмш а деп уйгарсак, ондатендеудш барлыкшеш1мдер1 х =  a  +  n k , k e  Z  форму­ласымен аныкталады. tg а = а, ал а = arctg а болгандыктан, сонгы формула мына турге келедк (10) формула tgx ­ a Tenaeyi шешгмшщ жалпы Typi. Тура осылай, ctgx = а тендеушщ meumvwepi жалпы турде  бершген х = arcctg a  +  n k , k e Z х = arctg а + nk, k е Z. (Ю) (11) 60 Жауабы: ±­т­ + 2nk, ksZ. 2 4­мысал. 3 cos x = 4 тендеуш шешешк. 3 Illeiuyi. cos x = —. Тецдштщ оц жагындагы сан г > 1, демек, бершген тецдеудщ nieniiMi жок, ce6e6i |cos х\ < 1. Жауабы: тецдеудщ memiMi жок. форму ласымен аныкталады. tg х = а жене ctg х = а тендеулершщ дербес шепимдер1 темендеп кестеде бершген. ctg X = ­1 х =■­г  + пп, п е Z 4 t g x = 0 х =  кп, п е  Z ctg х =  0 X=J+ ПП,П€ Z III. tg х = а жане ctg х = а тендеулерМн шеиижн табайык,. Барлык накты сандар жиыны у = tgx функциясыныц мэндер жиыны екет белгип, ягни tg х ё R. Сондьщтан tg х = а тендеушщ а­ныц кез келген мвшнде memiMi бар. у  =  t g x  функциясыныц графига тангенсоида кисыгы у  =  а   TyeyiMeH, кез келген период гшшде, 6ip гана нуктеде  киылысады. Сол киылысу нуктесшщ абсциссасы tg х = а тендеушщ memiMi (43­сурет). ­­­­­ i$\y=tgx У=а   /J J0JJа­2л­ЩУ"   а­лк /  2 / аж / п+а 2 /Зя /   2я+а 2 / 15л/    *х 2 J 1 43­ сурет Мысалдар келпрейгк. Ъ­мысал. tg х = л/3 тендеуш шешешк. Illeiuyi. х = arctg ­Уз + nk, h e Z ,   онда x  =  j + n k , k ( E Z . Q­мысал. ctg j =  1 тендеуш шешешк. Uleiuyi. j = arcctg 1 + kn,  ­f= \+fee, ft e Z;  x = j + 2 n k , k e Z . Жауабы: ^+%k, k e  Z. 1. Тригонометриялык тендеулер мен алгебралык тендеулердщ арасында кандай айырмашылык бар? 2. Тригонометриялык тендеулер шенимшщ шекс1з кеп болу  ce6e6i  неде? Алгебралык тендеулерде осындай жагдайлар кездесе ме? Жауабын тусшд1рщдер. 3. Тригонометриялык тендеудш ею жак белшн де 61рдей кебейткнн — тригонометриялык функция болган жагдайда кандай турленддру колданылады? Жауабы: •£+ 2nk, k e   4.2sin х + cos х = 3 тендеу1 карапайым тригонометриялык тендеуге жата ма? 4.Есеп шығару: №     5. Оқушыларды бағалау    6. Үйге  тапсырма   беру :  §7, №67(в)