Числовая последовательность, способы её задания и свойства

Этапы урока/

время

Действия педагога

Действия ученика

Оценивание

Рубрика

Ресурсы

Начало урока/

2 мин

Приветствие. Сообщение темы, цели урока и ожидаемого результата

Записывают число и тему урока. Совместно с учителем формулируют цели урока.

 Слайд 1-3

Середина урока/

36 мин

Изучение нового материала.

Метод математической индукции

Вообразим очередь, где первой стоит женщина, за ней снова женщина, а за ней снова женщина. Верно ли, что все стоящие в очереди — женщины?

Конечно, верно! Раз первые три человека в очереди — женщины, то, скорее всего, это очередь за косметикой, или за чем-нибудь таким, в чём нуждаются и разбираются исключительно женщины, и мужчин в этой очереди нет.

Рассмотрим два утверждения:

1. Первый человек в очереди есть женщина.
2. За женщиной в очереди может стоять только женщина.

Из этих двух утверждений строго следует, что в очереди стоят только женщины. Мы можем последовательными шагами показать, что любой человек в очереди — женщина.

Таким образом, метод математической индукции заключается в следущем:

         Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа  n (например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n²). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает его справедливость и при n=k+1. Тогда утверждение считается доказанным для всех n.

Рассмотрим пример

Найти формулу для вычисления суммы k первых нечетных чисел.

  Попробуем подсчитать такую сумму для некоторых значений k:

k=1;     1=1=1²;

k=2;     1+3=4=2²;

k=3;     1+3+5=9=3²;

k=4;     1+3+5+7=16=4²;

Таким образом, 1+3…+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)².

Получим:

1+3+…+(2n-1)+(2n+1)=n²+(2n+1)=(n+1)², ч.т.д.

             Знаменитый математик 17 века Пьер Ферма высказал предположение, что простыми являются все числа вида 2²ⁿ+1.Он показал, что первые пять числе 2²⁰+1=3, 2²¹+1=5,2²²+1=17, 2²³+1=257, 2²⁴+1=65537 – простые и сделая по индукции предположение, что для всех n числа вида 2²ⁿ+1- простые.

Однако это предположение оказалось не верным, т.к. в 18 веке Л.Эйлер нашёл, что 2²⁵+1=4294967297=641∙4700417 – составное число.

            Итак, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой потом надо доказать.

            Идея последовательного перехода от натурального числа n к следующему за ним числу n+1 осуществляется в строгой форме в одном из самых важных методов математических доказательств называется методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем:

            Утверждения P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

               1)Оно справедливо для n=1;

               2)Из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n=k следует его справедливость для n=k+1.

Само доказательство методом математической индукции состоит из следующих частей.

1. Проверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных чисел при котором гипотеза имеет смысл (базис).
2. Сделав предположение, что гипотеза верна для некоторого значения k, стремятся доказать справедливость ее для k+1.
3. Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n.

Устно отвечают на вопросы, с объяснением.

Ознакамливаются с математической индукцией

Разбирают совместно с учителем примеры

ФО: Словесная оценка учителя

Презентация

Слайд 3-6

Закрепление материала

Работа с классом

Задача

Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей пожавших нечетное число рук – четно.

Решение

Пронумеруем все рукопожатия в мире от первого (его не обязательно должны были совершить Адам и Ева) до произвольного натурального n. Очевидно, что при n=1 утверждение задачи справедливо. Предположим, что оно верно при каком-то n=k, то есть количество людей участвовавших в рукопожатиях с номерами от 1 до k и сделавших нечетное количество рукопожатий, четно.

Докажем справедливость этого утверждения для n=k+1, возможны три варианта осуществления k+1 рукопожатия: друг другу пожимают руки:

• два особых человека;
• два неособых человека;
• один особый и один неособый человек.

В каждом из этих трех случаев количество особых людей либо уменьшается на два, либо увеличивается на два, либо неизменяется.

Утверждение доказано.

Работа с учебником №________________

Учащиеся выполняют задание в тетрадях:

Затем решение оформляется на доске.

ФО: Словесная оценка учителя

Учебник 9класса

Групповая работа

Группа 1.

Задача 1. Чему равно количество кусочков, на которые прямых (не проходящих через одну точку) делят плоскость на части? Одна прямая — на две части, две — на четыре. А пятнадцать прямых?

Задача 2. Доказать, что 1 ³ -2 ³ +3 ³ -4 ³ +…+(2n-1) ³ -(2n) ³ =-n ² (4n+3) для любого натурального n.

Задача 3.Доказать, что 11 ²ⁿ -1 при произвольном натуральном n делится на 6 без остатка.

Группа 2.

Задача 1. Плоскость разделена на части прямыми. Докажите, что эти части можно раскрасить в два цвета так, что соседние куски будут раскрашены в разные цвета.

Задача 2. Доказать, что 1+х+х ² +х ³ +…+х ⁿ =(х ⁿ⁺¹ -1)/(х-1).

Задача 3.Доказать, что при любом n 7 ⁿ -1 делится на 6 без остатка.

Группа 3.

Задача 1. Докажите что сумма углов выпуклого -угольника равна , (или радиан). В частности для треугольника получаем , а для четырехугольника —

Задача 2. Доказать, что при любом n справедливо утверждение: 1 ² +2 ² +3 ² +…+n ² =n(n+1)(2n+1)/6.

Задача 3.Доказать, что 3 ^3n-1 +2 ^4n-3 при произвольном натуральном n делится на 11. 

Группа 4.

Задача 1. Докажите, что при каждом натуральном , начиная с , существует выпуклый -угольник, имеющий ровно три острых угла.

Задача 2. Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n ² .  

Задача 3.Доказать, что (11 ⁿ⁺² +12 ²ⁿ⁺¹ ) делится на 133 без остатка.

Ребята, мы завершаем урок.

ü    В чём суть метода математической индукции?

ü    Для какого типа утверждений применяется метод      математической индукции?

ü    В выполнении каких шагов состоит метод математической индукции?

Класс разбивается на 4 группы. В каждой группе назначается координатор, который будет оказывать помощь остальным участникам группы.

Решают задачи; делают соответствующие выводы и записи в тетрадь; оценивают участие каждого в работе группы .

ФО: ВЗО

Приложение 1

Слайд 7

Индивидуальная работа

Докажите утверждения для любого натурального

а)    кратно 6

б)  кратно 9

Решают задания, при возникновении вопросов обращаются к учителю

ФО : Взаимопроверка

Приложение 2

Слайд

Конец урока / 2 мин

Домашнее задание: №______________

Рефлексия деятельности.

«Дерево ВLOOB»

Выбери себе одного человечка из 20, который наиболее соответствует твоему положению сейчас.

ФО: СО

Слайд 5

Маркеры