Делимость чисел.Решение задач

7­8 классов  Делимость и остатки Задача 1. Пользуясь признаками делимости,  определите, какие из чисел: 24, 45, 99, 101, 132, 256, 900, 12568 делятся на 3, 4, 6, 7, 8, 9 и 15.    Задача 2. Найдите последнюю цифру числа 250. Задача 3.   Не используя калькулятор и не вычисляя в столбик, найдите остаток от деления на 15 значения выражения:   2120 +1918  ­  1716.  Задача 4. Найдите НОД и НОК чисел: 5 000, 2646, 420. Задача   5.  Как   погрузить   21   бочку,   из   которых   7   полны   яблок,   7   пусты,   а   7   наполнены наполовину, на 3 машины так, чтобы на всех машинах было поровну бочек и яблок (пересыпать яблоки нельзя)? Задача 6. Винни­Пух ходит в гости к Кролику каждый третий день, Пятачок ходит в гости к Кролику каждый четвертый день, а ослик  Иа – каждый пятый день. 1 декабря 2006 года у Кролика   оказались   вместе   все   друзья.   Какого   числа   они   впервые   после   1   декабря   снова встретятся все вместе у Кролика?  Задача 7. Хулиган Петя рвет школьную стенгазету: сначала на несколько частей, потом одну из  получившихся частей ­ еще на столько же, как и в первый раз, и т.д. Проделав эту операцию 11 раз,   он   устал   и   попросил   друга   Васю   посчитать   число   кусков.   Вася   насчитал   34  куска.   На сколько кусков каждый раз разрывал Петя?  Задача 8.  Найдите наименьшее число, дающее при делении на 2 остаток 1, при делении на 3 остаток 2, на 4 — остаток 3, на 5 — остаток 4, на 6 — остаток 5.  1 Домашнее задание  для  7­8 классов Тема 3. Делимость Ответы и решения Критерии оценки Количество баллов Выполнено верно и полностью Выполнено не полностью, или с ошибками, не повлиявшими на   правильность дальнейшего хода решения Выполнено неверно или ученик не приступил к решению 2 1 0    Задача 1.  Решение. На 3 делятся 24, 45, 99, 132, 900. На 4 делятся 24, 132, 256, 900, 12568. На 6 делятся  24, 132, 900. На 7 не делится ни одно из данных чисел. На 8 делятся 24, 132, 256, 12568. На 9  делятся 45, 99, 900. На 15 делятся 45, 900.   Задача 2.  Решение. Выпишем несколько начальных степеней двойки: 21 =2,  22 =4,  23 =8,  24 =16,  25 =32,  26  =64,  27 =128,  28 =256,  29 =512 и т.д. Заметим, что последние цифры в степенях повторяются,  например, 21,  25, 29  ­ оканчиваются на 2, длина «цикла» равна 4, поэтому последняя цифра  числа 250 определяется остатком от деления числа 50 на 4. Остаток равен 2, значит, последняя  цифра числа  250  совпадает с последней цифрой числа 22 . Ответ:  4.   Задача 3.  Решение.  Найдем остатки от деления на 15 всех чисел, входящих в выражение: при делении 21  на 15  получается остаток 6, при делении 20 – 5, при делении 19 – 4, при делении 18 – 3, при  делении 17 – 2, при делении 16 – 1. Остаток от деления (2120) на 15 равен 0 ­ остатку от деления числа  30 (65) на 15. Остаток от деления (1918) на 15 равен 12 ­ остатку от деления числа 12 ( 43) на 15.   Остаток от деления (1716) на 15 равен 2 ­ остатку от деления числа  2 ( 21) на 15. Остаток от деления на 15 значения выражения  2120 +1918  ­  1716  равен 10 (10=0+12­2). Ответ: 10.  Задача 4.  Решение. Запишем каноническое разложение чисел: 5000 = 2354; НОК (5 000, 2646, 420) = 23335472 = 6615000. НОД (5 000, 2646, 420) = 2. 2646 = 23372;420 = 22357. Ответ. НОД(5 000, 2646, 420) = 2; НОК (5 000, 2646, 420) = 6615000. Задача 5.  Решение. Если вес половины бочки с яблоками принять за х кг, то имеем  (х27) кг ­ вес яблок во всех полных бочках, и  х7 – вес яблок во всех бочках, наполовину наполненных, то есть, 2 общий вес яблок – (х37) кг. Тогда на одну машину надо погрузить (х7) кг. В любой машине будет по 7 бочек, из них не более 3 полных бочек.  Один   из   вариантов:   пусть   в   первой   –   3   полных,   тогда,   это   уже  х6,   тогда   добавим   одну полупустую и 3 пустых. Осталось 4 полных, 6 полупустых и 4 пустых, их делим поровну на остальные 2 машины. Ответ. В первой – 3 полных, 1 полупустая и 3 пустых; во второй и  третьей – по 2 полных,  3 полупустых и 2 пустых. Примечание: возможны другие варианты загрузки машин. Задача 6.  Решение.  Для ответа надо найти НОК чисел 3, 4, 5. Это – 60. Значит, они встретятся 30 января (30 дней осталось  в декабре, и еще через 29 дней, на тридцатый  день января). Ответ. 30 января 2007 года. Задача 7.  Решение: Так как Петя все время рвет на одинаковое число кусков, например на х, то в первый раз у него получится х частей, во второй раз у него получается (1(х ­1)+ х) частей: х – более мелких и   (х ­1) – более крупных. В третий раз (2(х ­1)+ х) частей  и т.д., то есть каждый раз число кусков у него увеличивается на (х ­1), через 11 таких операций общее количество частей будет иметь вид (10(х – 1)+ х).  10(х – 1)+ х = 34. Значит, х = 4. Петя каждый раз рвал на 4 части. Ответ: на 4 части. Задача 8.  Решение. Очевидно, что условия «при делении на 2 остаток 1» и «при делении на 3 остаток  2» автоматически выполняются, если выполняется условие «на 6 — остаток 5», потому нас  интересует выполнение условий «на 4 — остаток 3, на 5 — остаток 4, на 6 — остаток 5». Рассмотрим условие «при делении на 6 остаток 5», тогда число имеет вид 6а +5. Из условия «при делении на 5 остаток 4» число имеет вид 5 в +4. И из условия «при делении на 4 остаток 3» число имеет вид 4 с +3. Очевидно, что а, в, с – разные целые числа. 6 а +5= 4 с +3. Тогда, 6а +2= 4 с или  3 а +1 = 2 с, значит,  а – нечетное число.  С другой стороны, 6 а +5= 5 в +4, 6 а +1= 5 в, 5 а +(а +1)= 5 в, значит, а +1 кратно 5.  То есть,  а – нечетное и при делении на 5 дает остаток – 4. Наименьшее а, удовлетворяющее условию – 9, тогда число равно 69+5=59. Ответ: 59.  3