Елементарна теорія статичної моделі «витрати – випуск»

Елементарна теорія статичної моделі «витрати – випуск»

Для зручності математичного дослідження модель записують у  векторно-матричній формі

де  - одинична матриця розміру ,

          З погляду загальної теорії керування можна розглянути:

задачу аналізу або спостереження

задачу синтезу  або планування

,

(показує процес планування валової продукції по заданому вектору кінцевої продукції).

Вектор валової продукції можна знайти за формулою

=(I-A)^-1,

G=(I-A)^-1,

=G,

де G - обернена матриця Леонтьєва  або мультиплікатор Леонтьєва. Матриця G дорівнює

G=(G_ij), , .

Ця матриця зветься матрицею коефіцієнтів повних матеріальних витрат. Елемент G_ij показує потребу в валовій продукції і-ої галузі для виробництва одиниці кінцевої продукції j-ї галузі.

Виникає питання відносно умов, за яких існує така матриця (I-A)^-1 , що для будь-якого невід'ємного вектора , ≥0, вектор (I-A)^-1 також невід'ємний. Матриця А зветься невід'ємною, якщо всі її елементи є невід'ємними. Для економічних систем матриця А завжди невід'ємна, але вона має бути також продуктивною.

Умови продуктивності матриці А зв'язані з використанням одного з тверджень:

1)    максимальне власне число λ(A) матриці А менше 1;

2)    матриця (I-A) має невід'ємну обернену матрицю;

3)    матричний ряд

I+A+A²+...+A^r+… = ,

A⁰=I,

(так званий ряд Неймана матриці А) збігається, при цьому його сума дорівнює оберненій матриці (I-A)^-1

=(I-A)^-1,

4)    послідовні головні мінори матриці (I-A) додатні.

         З умови 3) випливає, що рішення задачі синтезу можна одержати итераційно, обчислюючи по формулі:

де приблизне рішення задачі  одержане по попередньому рішенню .

           Виконаємо пошук власних чисел матриці

          де  - власний вектор.

          Приклад: дано матрицю  

. Необхідно знайти  і .

           Величини  і  зв'язані рівнянням

.

           Щоб така система рівняння мала ненульове рішення, її визначник має дорівнювати 0.

;

;

; ;

Виконаємо перевірку:

,

,

таким чином для  

                       для .