Факультативное занятие "Линейные и квадратные уравнения с параметром"

Уравнения содержащие параметр. Урок 1: Линейные и квадратные уравнения с параметром. Цели: Познакомить с понятием параметр. Дать определение уравнения с параметром, области   определения   уравнения   с   параметром,   решения   уравнения   с   параметром. Формировать   умение   решать   линейные   и   квадратные   уравнения   с   параметром, развивать   логическое   мышление,   умение   работать   в   проблемной   ситуации, активировать познавательную и творческую деятельность. I. Объяснение нового материала. Ход урока Изучение   многих   физических   процессов   и   геометрических   закономерностей   часто приводит   к   решению   задач   с   параметрами   («параметр»   с   греч.  parametron  – отмеривающий). В обыденной жизни мы употребляем слово «параметр» как величину, характеризующую какое­либо   основное   свойство   процесса,   явления   или   системы,   машины,   прибора (напряжение, электрическое сопротивление, масса, коэффициент трения и др.). В математике параметр – это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. В задачах с параметрами наряду  с неизвестными фигурируют  величины, численные значения которых хотя и не указанны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве.   При   этом   параметры,   входящие   в   условие,   существенно   влияют   на логический и технический подход решения и форму ответа. Интересная часть решения задачи – выявить, как зависит ответ от параметра. С параметрами мы встречались, когда вводили понятия:  Функция прямая пропорциональность: у = кх (х и у – переменные, к – параметр, к ≠ 0);  Линейная функция: у = кх +b (х и у – переменные, к и b – параметры);  Линейное уравнение: ах +b= 0 (х – переменная, а и b – параметры, а ≠ 0);  Квадратное уравнение: ах2 +bх + с = 0 (х – переменная, а, b и с – параметры, а ≠ 0). Пусть дано уравнение вида f(a, x) = g(a, x), где а, х – переменные величины. Переменная а,   которая   при   решении   этого   уравнения   считается   постоянной,   называется параметром, а само уравнение – уравнением, содержащим параметр. Под областью определения уравнения  f(a,  x) = 0 с параметром  а  будем понимать все такие системы значений х и а, при которых f(a, x) имеет смысл. Решить   уравнение   (с   переменой  х  и   параметром  а)   –   значит   на   множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получаемых из данного при всех допустимых значениях параметра а. Итак, линейным уравнением с параметром называется уравнение вида ах = b, где х – переменная, а и b – параметры. При решении линейных уравнений с параметрами качественное изменение происходит при переходе коэффициента а через нуль. То есть контрольными значениями будут те значения коэффициента при переменной х, при которых он обращается в нуль, т.к. при таких значениях невозможно деление   на коэффициент при  х  (а при иных значениях параметра   такое   деление   возможно);   следовательно,   меняется   процедура   решения уравнения, в этом и состоит качественное изменение уравнения. Схема 1. «Решение линейных уравнений» ах = b а = 0 а ≠ 0 b ≠ 0 b = 0 х = Нет корней х – любое II. Устная работа. 1. ах = 7 2. (а – 3)х = 6 3. (а – 3)х = а – 6 4. ах = а 5. ах – а + 3 = 4х III. Закрепление пройденного материала. 1. (а2 – 25)х = а2 – 7а + 10 2. (b−1)(x+3) + 3bx−5 3b−11 b−1 2x+7 x+3    =  IV. Объяснение нового материала. Уравнение вида  ах2  +  bх  +  с  = 0,  а  ≠ 0, где  а,  b  и  с  – коэффициенты, называется квадратным. При решении квадратных уравнений с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х2 обращается в 0. Дело в том, что если этот коэффициент   равен   нулю,   то   уравнение   превращается   в   линейное   и   решается   по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, решение которого зависит от дискриминанта. Схема 2. «Решение квадратных уравнений» ах2 + bx + c = 0 а = 0 Линейное уравнение а ≠ 0 D < 0 D > 0 D = 0 Нет корней Один корень Два корня V. Закрепление пройденного материала. 1. x2 + (3b – 2)x – 6b = 0 2. x2 – (3a – 2)x – 2a2 – a – 3 = 0 3. (a + 1)x2 – 2x + 1 – a  = 0 4. abx2 + (a2 – b2)x + (a – b)2 = 0 VI. Самостоятельная работа. 1. Решите уравнение ах = а3 – а . 2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (а2 – а)х = а2 + 6а не имеет решений. 3. Решите уравнение   a−b− 1 4. Решите уравнение х2 + 5ах + 4а2 = 0. x = 1 2b a+b  . VII. Домашняя работа. Решить уравнения: 1. (а – 3)3х + 4(а – 1) = 8 + (а – 1)(а – 3)х; 2. (b+2)x−3 = 2с−5 (с−1)(х−3) − 5 х+3 ; x−1 =0; 3(с–3)х–5 (с–1)(х2−9) 3. 1 ; х−4 х+1 + 2 а+1 = 4. (а+1)(х+1) 5. bx2+2x(b+2)+2b+1=0; 6. (2b2−b−6)x2=4(b+1)x−2 .