Факультативное занятие по алгебре 8 класс

Факультативное занятие в 8 классе Цель:  Тема: «Простые и составные числа» 1. Формирование понятий просто и составное число; признаков делимости. 2. Формирование различных методов доказательства. 3. Формирование действий, адекватных понятиям и теоремам «Делимость чисел». 4. Формирование мыслительных операций: анализ, синтез, сравнение, конкретизация и  обобщение. Ход урока. I. Актуализация знаний. *Устные упражнения. 1. Продолжите ряд чисел: 3, 13, 23, 43… (53, 73, так как записаны простые числа,  оканчивающиеся на 3). 2. Исключите лишнее число: 17, 3, 40, 2 (40 так как это число составное, остальные –  простые). 3. Вписать в каждую клеточку по одной цифре так, чтобы все двузначные числа, образованные двумя соседними цифрами были простыми и различными: 2 9 7 1 3 7 3 1 1 7 7 4. О числе известно, что оно: a) Двузначное, b) Простое, c) Полный квадрат, d) Кратно 7. Найдите это число, если известно, что три из высказываний истинны, одно ложно. *Полуписьменные упражнения (можно делать записи в тетрадь): 1. Назовите все простые делители суммы 3n + 3n+1 + 3n+2 + 3n+3 (2, 3, 5 так как данное  выражение тождественно равно 40*3n. 2. Дано число 92n – 1. Назовите некоторые делители этого числа (2, 5, 10…, так как 92n имеет  последнюю цифру 1, значит 92n – 1 имеет последнюю цифру 0). 3. Внимание! Существует ли квадрат, у которого длина стороны целое число, а площадь равна  201201201201? (Методом от противного. Нет, так как если сторона квадрата целое число,  то а2 – квадрат натурального числа. Значит 201201201201 – квадрат, но это число делится  на 3, но не делится на 9, следовательно квадратом быть не может). 4. Написать общий вид (формулу) всех нечетных натуральных чисел, больших 1 и не кратных  3 (т.к. числа нечетны, то не делятся на 2, значит искомые числа имеют вид 6n ± 1, n   ϵ N). 5. Верно ли, что при любом нечетном а число (100 + а)5 + 1 всегда будет составным? (нет,  контрпример: а = ­99; а = ­101). *Решение задач. №74 (Н.Я. Виленкин ­ 8), стр. 102 Известно, что р, 2р + 1, 4р + 1 – простые. Чему равно р? Решение: При р = 3, 2р + 1, 4р + 1 – простые. Докажем, что других значений р нет. Т.к. р > 3 => р = 6k ± 1, где k ϵ N р – простое Пусть р = 6k – 1, тогда 2р + 1 = 12k – 1, 4p + 1 = 24k – 3 = 3 (8k – 1) – составное.   Пусть р = 6k + 1, тогда 2р + 1 = 12k + 3 – составное. Ответ р = 3. Рассмотрим блок задач, каждая следующая из которых может быть решена с использованием  выводов из предыдущих задач. 1. Докажите, что (n3 – n: 6 ꓯ n ϵ N) Решение: n3 – n = n(n ­ 1)(n + 1) – произведение 3­х последовательных натуральных чисел,  хотя бы одно из них четно, одно кратно 3, значит n3 – n кратно 6. 2. р – простое. Доказать, что (р2 ­ 1) : 6, р > 3. Решение: р2 – 1 = (р ­ 1)(р + 1) Числа р – 1 и р + 1 – четные, т.к. р – простое, р > 3. Значит (р ­ 1)(р + 1) : 2 р – 1, р, р + 1 – три последовательных, натуральных числа, одно из них кратно 3, р таким  числом быть не может, т.к. р – простое, р > 3. Следовательно (р ­ 1)(р + 1) кратно 3. Так как (р ­ 1)(р + 1) : 2 => (р ­ 1)(р + 1) : 6  (р ­ 1)(р + 1) : 3 3. Доказать, что (21999 ­ 1)(21999 + 1) кратно 3. 21999 – 1, 21999,21999 + 1 – три последовательных натуральных числа, одно из которых кратно 3, понятно, что 21999 не кратно 3.  Следовательно (21999 ­ 1)(21999 + 1) кратно 3. 4. Доказать, что (b3 + 47b) кратно 6 ꓯ b. Решение: b3 + 47b = (b ­ 1)*b*(b + 1) + 48b, так как (b ­ 1)*b*(b + 1) кратно 6, 48b кратно 6,  то и сумма делится на 6. 5. Доказать: (210 – 28 + 26 – 24 + 22 – 1) : 9 Решение: 210 – 28 + 26 – 24 + 22 – 1 = 3(28 + 24 + 1) = 3*273 : 9 6. Найти все значения n ϵ N, при которых числа вида n3 – n2 + n – 1 были бы простыми. Решение: n3 – n2 + n – 1 = (n – 1)(n2 + 1) – простое, если n = 2. Если n > 2, то число  составное. Значит, ответ n = 2. 7. При каких n ϵ N число n4 + 4 является составным числом? Решение: n4 + 4 = (n2 + 2n + 2)(n2 ­ 2n + 2) – составное, (n2 + 2n + 2)(n2 ­ 2n + 2) будет  простым, если одно из них простое, а другое равно 1. n2 + 2n + 2 = 1 => n2 + 2n + 1 = 0 => (n + 1)2 = 0 => n = ­1, но n ϵ N. n2 ­ 2n + 2 = 1 => n = 1. Итак, множитель n2 ­ 2n + 2 при n = 1 равен 1, а n2 + 2n + 2 равен 5 при n = 1. Значит, если n = 1, то n4 + 4 – простое, если n ≥ 2, то n4 + 4 – составное. Ответ: n ≥ 2. 8. Если n ϵ N, то 4n – 3 не может быть квадратом натурального числа. Решение: заметим, что 4n – 3 – число нечетное. Для доказательства используем метод от  противного. Пусть 4n – 3 = (2k ­ 1)2 4n – 3 = 4k2 – 4k + 1 4n = 4k2 – 4k + 4 4n­1 = k2 – k + 1 4n­1 = k(k – 1) + 1 k(k – 1) : 2 ꓯ k  ϵ  N, k > 1; k(k – 1) + 1 –  число нечетное. Получили противоречие, так как левая часть равенства кратна 2, а правая – нет. Значит  сделанное предположение неверно, и число 4n – 3 не является квадратом натурального  числа. 9. Доказать, что 7х + 3 не является квадратом натурального числа ни при каком целом х.  Решение: рассмотрим другое доказательство, отличное от 8.  7х + 3 – число, которое делится на 7 с остатком 3 при любом целом х. Задачу переформулируем так: может ли квадрат целого числа при делении на 7 давать  остаток 3? Проверим. Рассмотрим классы делимости целых чисел на 7: 7m, 7m ± 1; 7m ± 2; 7m ± 3. Используем метод перебора. (7m)2 = 49m2 : 7 (7m ± 1)2 = 49m2 ± 14m + 1 делится на 7 с остатком 1 (7m ± 2)2 = 49m2 ± 28m + 4 делится на 7 с остатком 4 (7m ± 3)2 = 49m2 ± 42m + 9 делится на 7 с остатком 2 Как видно, число ни одного из классов не обладают свойством, что квадрат при делении на  7 дает остаток 3, значит таких чисел нет. Домашнее задание: №398, №3.126, №3.127, №3.128 Сборник задач по алгебре, 8­9. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л.И.