Физический смысл производной

1. Обучающие Физический смысл производной     познакомить учащихся с физическим смыслом производной, рассмотреть использование механического истолкования производной при решении задач, связанных с физическим  смыслом, расширить знания учащихся о производной, ввести понятие второй производной, закрепить навыки вычисления производных. 2. Развивающие     развитие логического мышления при установлении связи физических величин с понятием производной, развитие монологической речи в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий (аргументированная  математическая речь), развитие умений наводить справки с помощью учебника, дополнительной литературы, интернета, развиваем познавательный интерес к предмету. 3 Воспитывающие    воспитание устойчивого интереса к предмету, воспитание навыков коммуникативности в работе (умение слушать; признать ошибку; оказать помощь товарищу) воспитание таких качеств личности, как инициатива, организованность, привычка к системному труду, дисциплина,  добросовестное отношение к порученному делу, самостоятельность. Девиз урока: “Добывай знания сам!” Форма проведения урока: семинар. К семинару учащиеся готовят вопросы: 1. О происхождении терминов “производная”, “предел” и их обозначений. 2. Физический смысл производной. 3. Применение производной в физике. Ход урока 1. Организационный момент. 2. Учитель. “Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой­нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно малых во второй половине XVII века” Ф.Энгельс. Посмотрите на слова Ф.Энгельса. Речь идет о производной. Производная – одно из фундаментальных понятий математики.  Оно возникло в 17 веке в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики, но в первую очередь  следующих задач: – определение скорости прямолинейного движения, – построения касательной к кривой. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.  Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциальное исчисление. С его помощью был  решен целый ряд задач теоретической механики, физики, астрономии. В частности, используя методы дифференциального  исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки 18 века. Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были обоснованны теоретически. И только в начале 19  века французский математик О.Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела. Вопрос классу: Вспомним определения предела и производной. Смотрим “Презентация 1”. XVII век. Зарождение дифференциального исчисления. Мы живем в 21 веке и сейчас используем уже известные нам  обозначения. А с чего все начиналось? Каково происхождение терминов и обозначений? Сообщение учащегося о происхождении терминов и обозначений предела и производной. 3. Актуализация знаний. К доске вызываются двое учащихся:  “Заполните таблицу” и “Найди ошибку”. Остальные в это время по вариантам выполняют задание “Заполните “окошки”(5 мин.). “Заполните таблицу”: Функции Производные функций у=х5­17/х2+28х+16 у=х2/(4х­7) У/= У/= у= у= У/=­1/х2 У/=14х+14 “Найди ошибку”: Проверьте правильность заполнения таблицы. Функция у Производная функции У/ 3х3­27х2+15 9х2­54х+15 х3/(3­х2) х2(х­3)(х+3)/(3­х2)2 1/х+4х2 (8х3­1)/х2 100х3+35х2 300х2+70х “Заполните “окошки””: Вариант 1 Вариант 2         (..........) /=х2­6х+8; (14/(х4­8х2+2))/=(..........); (..........) /=24х3+13х2+5; ((3­х)/8)/=(..........). (..........) /=х3+5­6х4; (13х/(х­2))/=(..........); (..........) /=0,5х2+4х; (1/7 х3­24х2­х/2)/=(..........). Класс сдает листочки и проверяет ответы у доски (5­7 мин.). Перед проверкой ещё раз повторяем правила  дифференцирования (смотрим “Презентация 2”). 4. Проблемная задача. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам S1(t)=2,5t2­6t+1, S2(t)=0,5t2+2t­3. В какой момент времени скорости их равны, т.е.V1(t 0 )=V2(t 0 ), t 0 ­? “Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение” Ф.Энгельс. Учитель. Рассмотрим физический смысл производной. Учащиеся, которые готовили этот вопрос, защищают свои проекты (остальные слушают, делают записи в тетради, уточняют  непонятные моменты). Проекты учащихся о применении производной в физике:  физический смысл производной,  вторая производная (понятие) и ее физический смысл. Презентация учащегося. После просмотра презентации записываем вывод: В чем состоит физический смысл производной? ­­­­­Если материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) , то производная функции y= S(t)выражает мгновенную скорость материальной точки в момент времени t0 , т.е. v=S (′ t).Производная от координаты по времени есть скорость  .Производная от скорости по времени есть ускорение. 5. Закрепление и проверка уровня усвоения  ­ решение примеров. Пример 1. Решим задание В9 (№ 119975) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  отсчета в метрах,  момент времени  — расстояние от точки   — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в   .  , где   Решение. 1. Найдем производную функции  : 2. Найдем значение производной в точке  : Ответ: 60 м/с. Пример 2. Решим задание В9 (№ 119978) Материальная точка движется прямолинейно по закону  отсчета в метрах,   — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее  скорость была равна 3 м/с?  — расстояние от точки    , где  Решение. Если нам известна скорость точки в некий момент времени , следовательно нам известно значение производной в точке   . Найдем производную функции По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени   равно 3. Получаем уравнение: Отсюда    с. Ответ: 8 Пример 3. Аналогичное задание.  Задание В9 (№119979) Материальная точка движется прямолинейно по закону  отсчета в метрах,   — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее  скорость была равна 2 м/с? — расстояние от точки  , где   Решение. Найдем производную функции   : По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени   равно 2. Получаем уравнение: Решим его: ,   ­ не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным. Ответ: 7 Пример 4. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=65t2+45t+3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t —  время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3 с.