Формирование метапредметных образовательных результатов в учебно-проектной деятельности учащихся

Формирование метапредметных образовательных результатов в учебно-проектной деятельности учащихся

Задача: Бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 500 литров воды. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей?

Данная проектная задача может быть предложена учащимся 10-11 классов по алгебре и началам математического анализа в рамках изучения темы «Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин». 

Цели решения задачи: 

Общеобразовательные: углубление понимания сущности производной путём применения её для получения новых знаний; установление межпредметных связей.

Развивающие: формирование умений строить доказательство, логическую цепочку рассуждений; формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию.

Воспитательные: воспитание познавательного интереса к учебному предмету; воспитание у учащихся культуры логического мышления. 

Основополагающий вопрос: Какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел наименьшую поверхность.

Учебные вопросы: 

•      Площадь квадрата.

•      Площадь прямоугольника.

•      Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

•      Объём прямоугольного параллелепипеда.

•      Возрастание и убывание функции.

•      Точки максимума и минимума.

•      Область определения функции.

•      Наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке.

Этапы работы над задачей:

Первый этап: Составление математической модели (перевод задачи на язык функций. Для этого выбирается удобный параметр 𝑥, через который интересующая нас величина выражается как функция 𝑓(𝑥)).

1)      Проанализировав условие задачи, выяснить оптимизируемую величину (О.В.), т.е. величину, о наименьшем значении которой идёт речь. Обозначить её буквой S.

2)      Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О.В., принять за независимую переменную (Н.П.) и обозначит её буквой 𝑥. Установить реальные границы изменения Н.П. (в соответствии с условием задачи), т.е. область определения для искомой О.В.

3)      Исходя из условия задачи, выразить S через 𝑥. Математическая модель задачи представляет собой функцию 𝑆(𝑥) с областью определения Х, которую нашли на втором шаге.

Второй этап: Работа с составленной моделью (средствами анализа отыскать наименьшее значение функции на промежутке).

На этом этапе для функции 𝑆(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 найти 𝑦_наим, используя при этом правила нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке.

Третий этап: Ответ на вопрос задачи (интерпретация найденного решения, т.е. «перевод» его с языка функций в терминах задачи).

На данном этапе следует дать конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

Решение задачи: Первый этап. Составление математической модели.

1)      О.В. – площадь поверхности бака, т.к. в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей. Обозначим О.В. буквой S.

2)      Площадь поверхности зависит от измерений прямоугольного параллелепипеда. Сторону квадрата, служащего основанием бака, примем за Н.П. и обозначим её буквой 𝑥. По смыслу задачи 0 < 𝑥 < +∞ , т.е. 𝑋 = (0;+∞) .

3)      Если бак вмещает 500 л воды, то объём V бака равен 500 дм³. Если h – высота бака, то 𝑉 = 𝑥²ℎ, откуда ℎ = 𝑥^𝑉₂.

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной 𝑥 и 4-х прямоугоьников со сторонами 𝑥 и 𝑥^𝑉₂. Значит, ^𝑆 _{𝑥 𝑥} .

Второй этап: Работа с составленной моделью.  Задача сводится к отысканию наименьшего значения функции 𝑆(𝑥) = 𝑥² + ^4𝑉, где 𝑥 ∈

𝑥

(0;+∞).

3

𝑆^′ .

                                       𝑥                                          𝑥

На промежутке (0;+∞) критических точек нет, а стационарная точка только одна: 𝑆^′ = 0 при 𝑥 = 10.

Заметим, что при 𝑥 < 10 выполняется неравенство 𝑆^′ < 0, а при 𝑥 > 10 выполняется неравенство 𝑆^′ > 0. Значит, 𝑥 = 10 – единственная стационарная точка, причём точка минимума функции на заданном промежутке, а потому в этой точке функция принимает наименьшее значение.

Третий этап: Ответ на вопрос задачи.

В задаче спрашивается, какой должна быть сторона основания, чтобы бак имел наименьшую поверхность. Мы выяснили, что сторона квадрата, служащего основанием такого бака, равна 10 дм.

Ответ: 10 дм.