Инструкционная карта по математике "Физический смысл производной"

Краткий справочный материал Тема: Физический смысл производной. Примеры решений задач  )   xf ( 0 xf ( 0 при Δt 0→ Физический смысл производной.  Производной   функции  f    в   точке  x0 называется   число,   к   которому стремится разностное отношение   x ) f   x x Мгновенной скоростью поступательного   движения   тела   в момент   времени называется отношение очень малого перемещения ∆s   к малому промежутку времени ∆t, за это перемещение   который   произошло    t  При  ∆t 0, → υ(t) =S’(t). Скорость­производная   от   пути   по времени. Ускорением  называется   величина, равная   отношению   малого   изменения скорости   ∆υ  к   малому   промежутку времени ∆t, за которое произошло это перемещение      При Δt 0, а(→ t)=υ’(t). Ускорение­производная от скорости по времени. Отношение заряда  Δ  q, переносимого через   поперечное   сечение   проводника за   интервал   времени  Δ  t,   к   этому интервалу   времени   называется  силой тока. Пример 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)  = ­ t4+6t3 + 2t2+ 9t ­ 22 , где x — расстояние от точки отсчета в  метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите  ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с. Решение. 1. Найдем производную функции  x(t) = ­ t4 +6t3 + 2t2+ 9t ­ 22:  x'(t) = ­4t3 + 18t2+ 4t + 9 2. Найдем значение производной в точке t = 3:  x'(3) = ­4×33 + 18×32+ 4×3 + 9  x'(3) = 75. Ответ: 75 м/с. Пример 2. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)  = t3 ­ 6t2­ 8t + 4, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t —  время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент  времени (в секундах) ее скорость была равна 88 м/с? Решение. Найдем производную функции  x(t) = t3 ­ 6t2­ 8t + 4:  x'(t) = 3t2­ 12t ­ 8 По условию, скорость точки равна 88 м/с. Получаем уравнение:  x'(t) = 3t2­ 12t – 8 =88 Решим его: 3t2­ 12t – 8 =88 3t2­ 12t – 96 =0, разделим обе части уравнения на 3, t2­ 4t – 32 =0 t1 = 8, t2 = ­ 4 – не соответствует условию задачи: время не может быть  отрицательным. Ответ: 8 Пример 3. Точка движется по закону s(t)=2t³­3t (s – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислите скорость движения точки, ее ускорение в момент времени 2с. Дано: Решение: Задания для самостоятельной работы 1.   Материальная   точка   движется прямолинейно   по   закону x(t)   = t2 + 7t ­ 3 , где x  — расстояние от точки отсчета   в   метрах, t  —   время   в секундах,   измеренное   с   начала движения.   Найдите   ее   скорость   (в метрах   в   секунду)   в   момент времени t = 10c. 2.   Материальная   точка   движется прямолинейно   по   закону x(t)   = t2– 13t +   23 ,   где x —   расстояние   от точки отсчета в метрах, t — время в секундах,   измеренное   с   начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с? 3.  Тело   массой   6   кг   движется прямолинейно по закону  кинетическую    Найти энергию   через   3   с   после тела  начала движения. 4.   Точка   движется   прямолинейно по . Найти скорость и ускорение точки в момент  закону    . → При   ∆t 0   производная от заряда по времени. i(t)=q’(t).   Сила   тока   ­ При   ∆t→o, производная от работы по времени.  P=A’(t).   Мощность   – s(t)= 2t³­3t  t=2с ______________ υ (2)=? а(2)=? υ (t)=s’(t) υ (t)= (2t³­3t)’=6t²­3 υ (2)= 6∙2²­3=21 м/с a(t)= ’(t)υ а(t)=(6t²­3)’=12t a(2)=12∙2=24м/с² Ответ:  (2)= 21 м/с; a(2)=  24м/с² υ     ei  =   Ф’(t).   ЭДС от ЭДС   индукции   равна   скорости изменения магнитного потока, ΔФ – изменение магнитного потока  → При   ∆t 0         индукции– магнитного потока по времени Единицы измерения  Скорость – [м/с] Ускорение – [м/с2] Сила – [Н] Энергия – [Дж] производная   Пример 4 Маховик вращается вокруг оси по закону  Найдите его угловую скорость  вращения в радианах,  φ (t)= t φ  в момент времени 2с (  – угловая скорость рад/с) ω ω 4­5t.   – угол  4­5t  Дано: φ (t)=t t=2с  ______________ φ (2)=? Решение: ω φ ’(t) (t)=  ω (t)=(t 4­5t)’= 4t³­5 ω (2)=4∙2³­5=32­ 5=27рад/c ω Ответ:  (2)= 27рад/c Пример 5 Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону х(t)=2­ 3t+2t².Найдите скорость тела и его кинетическую энергию через 3с  после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент  времени? (t измеряется в секундах, х – в метрах) Дано: m=2кг х(t)=2­3t+2t² t=3c  ______________ υ E=?  F=? Решение: υ (t)= х’(t) υ (t)=(2­3t+2t²)’=­3+4t υ (3)= ­3+4∙3=9м/с  (3)=? E=   E= =82 Дж  F=ma a(t)= ’(t)υ a(t)=(­3+4t)’=4м/с  F=2∙4=8H υ Ответ:  (3)= 9м/с; E=82 Дж;  F=8H Пример 6 Точка совершает колебательные движения по закону  х(t)=2sin3t. Докажите, что ускорение пропорционально координате х. Дано: х (t)= 2sin3t  ______________ а(t) (t)=х’(t); (t)=(2sin3t)’=6cos3t υ Решение: a(t)= ’(t)=х’’(t); υ υ a(t)=(6cos3t)’=­18 sin3t=­ 9∙х(t) Ответ: a(t)=­9∙х(t)